1、第二节 二项式定理 考情解读 命 题 规 律 考点 二项展开式中的特定项或 系数问题 二项式系数及项的系 数问题 多项式展开式中的特定项 或系数问题 考查频次 近年为单独命题 卷,5年1考 卷,5年3考 卷,5年1考 考查难度 中等 中等 常考题型及 分值 选择题,5分 选择题,5分 命 题 趋 势 预计高考对本部分的考查以二项展开式为主,主要以多项式的综合命题为主.复习时注 意:熟练应用二项展开式,幵对多项式展开式加以注意. 基础导学 知识梳理 1. 二项式定理 ( + ) = 1.其中右端为 ( + ) 的二项展开式. 0 0 + 1 1 + + 0 2. 二项展开式的通项公式，第 +1
2、项为 +1= 2. 性质 性质描述 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 4 增减性 二项式系数 Ckn 当 6 （ ） 时,是递减的 2 最大值 n 当 n 为偶数时,中间的一项 2 取得最大值 当 n 为奇数时,中间的两项 7 和 8 取得最大值 各二项式系数和 0 + 1 + 2 + = 2 3. 二项式系数 （1）定义：二项式系数为3 （2）二项式系数的性质 0 , 1 , 2 , , = +1 2 +1 2 n 1 2 +1 2 知识拓展 1.一对易混概念 二项展开式中第 +1 项的 （1）二项式系数是 , 而不是 +1. （2）项的系数是该项的数字因数. 2.两个常
3、用公式 （1） 0 + 1 + 2 + = 2 . （2） 0 + 2 + 4 + = 1 + 3 + 5 + = 2 1. （展开式的奇数项、偶数项的二项式系数相等） 3.三个重要特征 （1）字母 的指数按降幂排列由 到 0. （2）字母 的指数按升幂排列由 0 到 . （3）每一项字母 的指数与字母 的指数和等于 . 重难突破 考点一 通项公式法解决特定项或系数问 题 典例研析典例研析 【例1】 C 28 （1）2018全国卷(2+ 2 ) 5 的展开式中4 的系数为( ) A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 （2）2019天津卷(2 1 83) 8 的展开式中的常数项为 .
4、解析 (2+ 2 ) 5 的展开式的通项 +1 = 5 (2)5 (21)= 25 103, 令103 = 4 ,得 = 2 ,所以4 的系数为22 5 2 = 40 .故选 . 解析 二项展开式的通项公式为 +1= 8 (2)8 ( 1 83) = (1) 8 28 23 84 = (1) 8 284 84 , 令84 = 0, 得 = 2, 即 3= (1)2 8 2 20= 8 2 = 28, 故常数项为 28. 5 解析( 2 +)9 展开式的通项 +1= 9 ( 2)9 = 9 2 9 2 ( = 0,1,2,.,9), 令 = 0, 得常数项 1= 9 0 2 9 20= 2 9
5、2= 16 2, 要使系数为有理数,则只需 9 2 ,则 必为奇数, 满足条件的 有 1,3,5,7,9,共五种, 故系数为有理数的项的个数是 5. （3）2019浙江卷在二项式( 2 +)9 的展开式中,常数项是 ,系数为有理数的项的个数 是 . 16 2 方法技巧： 通项公式法即利用二项展开式的通项公式,根据题意,对相应的指数进行赋值,从而解决指定项问题的方法.此方法 适用于已知二项式,求常数项、指定项的系数等问题.破解此类题的关键点： （1）求通项,根据二项式( + ) 的展开式的通项公式 +1= ( = 0,1,2, ), 整理出 +1 = ( ). （2）找方程,依题设条件中的指定项
6、的相关信息,寻找关于 的方程. （3）解方程,通过解方程,求出 的值. （4）得结论,把 的值代入通项公式,得结论. 对点训练对点训练 1 3 1. 二项式( 1 )6( 0) 展开式中2 项的系数为 15,则实数 = . 解析由题意可知 +1= 6 62(1) ,0 6, , 则2项的系数是6 2 2 = 15,又 0, 则 =1 . 2. ( 1 2 4 )8 的展开式中的有理项共有 项. 解析( 1 2 4 )8 的展开式的通项为 +1= 8 ( )8( 1 2 4 )= ( 1 2) 8 163 4 ( = 0,1,2,8), 为使 +1 为有理项, 必须是 4 的倍数,所以 = 0
7、,4,8,故共有 3 个有理项,分别是 1= ( 1 2) 0 8 04 = 4, 5= ( 1 2) 4 8 4 = 35 8 , 9= ( 1 2) 8 8 82 = 1 2562. 重难突破 考点二 赋值法解决二项展开式中各项系 数和问题 （2）若(2 1 ) 的展开式中含 的项为第 6 项,设(13) = 0+ 1 + 22+ ,则 1+ 2+ 的值为 . 典例研析典例研析 【例2】 255 （1）设(5 1 ) 的展开式的各项系数之和为 ,二项式系数之和为 ,若 = 240 ,则展开式中含 的项 为 . 150 解析 二项式(2 1 ) 的展开式的第 6 项是 5+1= 5(1)52
8、 15, 令2 15 = 1, 得 = 8 .在二项式(13)8 的展开式中,令 = 0 ,得 0 = 1; 令 = 1, 得 0+ 1+ 8= (2)8= 256 .所以 1+ 2+ 8= 255 . 解析由已知条件4 2 = 240 ,解得 = 4, +1= 4 (5)4( 1 )= (1)544 4 3 2, 令4 3 2 = 1, 得 = 2, 3= 150 . 方法技巧： 赋值法是指对二项式中的未知元进行赋值,从而求得二项展开式的各项的系数和的方法.此方法体现的是从一般到 特殊的转化思想.破解此类题的关键点： （1）赋值,认真观察已知等式,给未知元合理赋值.常赋的值有1,1,0 等.
9、 （2）求参数,通过合理赋值,建立关于参数的方程,幵解方程,求出参数的值. （3）得结论,求出指定项的系数和. 对点训练对点训练 C D 3. 在( + 3 ) 的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为 64,则3 的系数为( ) A. 15 B. 45 C. 135 D. 405 解析令( + 3 ) 中 为 1,得各项系数和为4 , 又展开式的各项的二项式系数和为2 , 各项系数的和与各项二 项式系数的和之比为 64, 4 2 = 64, 解得 = 6, 二项式的展开式的通 项公式为 +1= 6 36 3 2, 令6 3 2 = 3, 求得 = 2, 故展开式中3 的系数为6 2 32=
10、 135 .故选 . 4. 若(1+)(12)8= 0+ 1 + 99, , 则 12+ 222+ 929 的值为( ) A. 29 B. 291 C. 39 D. 391 解析(1+ )(12)8= 0+ 1+ 22+ + 99, 令 =0, 得 0=1; 令 =2, 得 0+ 12+ 222+ + 929= 39, 12+ 222+ + 9 29= 391 .故选 . 重难突破 考点三 求非二项式结构的展开式的特定 项（或系数） 典例研析典例研析 【例3】 A （1）2019全国卷理(1+22)(1+)4 的展开式中3 的系数为( ) A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 （2）
11、如果(1+ +2)( )5( 为实常数）的展开式中所有项的系数和为 0,则展开式中含4 项的系数 为 . 5 解析 (1+)4 的二项展开式的通项为 +1= 4 ( = 0,1,2,3,4) ,故 (1+22)(1+)4 的展开式中3 的系数为4 3 +24 1 = 12 .故选 . 解析 (1+ +2)( )5 的展开式所有项的系数和为(1+1+12)(1 )5= 0 , = 1 . (1+ +2)( )5= (1+ +2)( 1)5 = (31)( 1)4= 3( 1)4( 1)4, 其展开式中含4 项的系数为4 3(1)3 4 0(1)0 = 5 . 解析由题意, (2 +1)10= (
12、 1)+110 = 10 0 ( 1)0110+10 1 ( 1)119+10 2 ( 1)218+10 3 ( 1)317+10 10( 1)10 10= 10 0 +10 1 ( 1)+10 2 2( 1)2+10 3 3( 1)3+10 1010( 1)10, 因为 10 3 出现在10 2 2( 1)2+10 3 3( 1)3 = 10 2 2(22 +1)+10 3 3(332+3 1) 中,所以3 的系数为10 2 (2)+10 3 (1) = 90120 = 210 . （3）(2 +1)10 展开式中3 项的系数为 . 210 方法技巧： 方法 解读 适合题型 拆分法 ( +
13、)2( +) = ( 2+2 + 2)( +) , 然后展开 可结合成二项式的和或差 （ + +） = ( + )+ , 将( + ) 看作一项 = ( ) ,将 拆分为两项的和或差 合幵法 ( + ） ( +)= ( + )( +) ( +) ( , , ) 有公因式或含完全平方公式 ( + +) = (+) 通项法 ( + )( +) , 分别求（ + ） 的通项 +1 和（ +） 的通项 h+1 ,然后将 +1 h+1 求解 两二项式无公因式 对点训练对点训练 C C 5. 2017全国卷( +)(2 )5 的展开式中33 的系数为( ) A. 80 B. 40 C. 40 D. 80
14、解析(2 )5 的展开式的通项为 +1= 5 (2)5()= (1)255 5. 其中23 项的系数 为(1)3 22 5 3 = 40,32 项的系数为(1)2 23 5 2 = 80. 于是( +)(2 )5 的展开式中33 的 系数为40+80 = 40 . 6. (2+ +)5 的展开式中,52 的系数为( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 解析(2+ +)5= (2+)+5 的展开式中只有5 2(2 +)32 中含52, 易知52 的系数为5 2 3 1 = 30 .故选 . 4 246 7. (1+ 3 )6(1+ 1 4 )10 展开式中的常数项为 . 解析分别
15、求两个因式的通项： +1= 6 3, +1= 6 3 +1 = 10 4 ,则 6 310 4= 6 10 3 4 ,又0 6,0 10 , 则 3 4 = 0 ,解得 = = 0 , = 3 且= 4 , = 6 且= 8 . 即常数项为1+6 3 10 4 +6 6 10 8 = 4 246 . 重难突破 考点四 二项式系数或项的系数的最值问 题 典例研析典例研析 【例4】 A （1）已知二项式( + 1 3 ) ( 0) 的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大,展开式中2 项的系数为 84,则 的值为( ) A. 1 B. 1 4 C. 2 D. 1 2 （2）在(12) 的展开式中
16、,偶数项的二项式系数之和为 128,则展开式二项式系数最大的项 为 . 1 1204 解析 由二项式系数的性质知,2 1= 128 ,解得 = 8,(12)8 的展开式共有 9 项,中间项,即第 5 项的二项式 系数最大, 4+1= 8 414(2)4 = 1 1204 . 解析由展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大可知 = 9 ,则展开式的通项公式为 +1= 9 ( )9( 1 3) = 9 9 9 2 3= 9 9 9 2 5 6( = 0,1,2,3,9), 令9 2 5 6 = 2, 则 = 3, 所以9 3 93 = 9 3 6 = 84 ,解得 = 1 ,因为 0 ,所以 =
17、1 . 方法技巧： （1）二项式系数的最大值,根据( + ) 的二项式系数性质求解. （2）项的系数的最值,利用不等式法.求出展开式的通项公式 +1= = 为最大系数,则 +1, 1,求 的整数解. 对点训练对点训练 112 B 8. 设 为正整数,( 2 3) 的展开式中仅有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为 . 解析依题意得, = 8, 所以展开式的通项 +1= 8 8( 2 3) = 8 84(2), 令84 = 0 ,解得 = 2 ,所以展开式中的常数项为 3= 8 2(2)2 = 112 . 9. ( + 1 3 )2 ( ) 的展开式中只有第 6 项系数最大,则其常数
18、项为( ) A. 120 B. 210 C. 252 D. 45 解析由已知得,二项式展开式中各项的系数和二项式系数相等.由展开式中只有第 6 项的系数2 5 最大,可得展开 式有 11 项,即2 = 10, = 5 .( + 1 3 )10 展开式的通项为 +1= 10 5 1 2 3= 10 5 5 6, 令5 5 6 = 0 可得 = 6, 此时 7= 10 6 = 210. 课时作业 一、单项选择题 B C 1. (1+2)5 的展开式中,2 的系数等于( ) A. 80 B. 40 C. 20 D. 10 解析 +1= 5 15 (2) = 5 2 , 令 = 2, 则可得含2 项的
19、系数为5 2 22= 40 . 2. 在(1+)6 的展开式中,含3 项的系数为( ) A. 30 B. 20 C. 15 D. 10 解析在(1+)6 的展开式中,含2 的项为 3= 6 2 2= 152, 故在(1+)6 的展开式中,含3 的项的系数为 15. D 3. (2 1 2) 6 的展开式中,常数项是( ) A. 5 4 B. 5 4 C. 15 16 D. 15 16 解析 +1= 6 (2)6( 1 2) = ( 1 2) 6 123, 令123 = 0 ,解得 = 4 . 常数项为( 1 2) 4 6 4 = 15 16 .故选 . B C 4. 二项式( +1) ( )
20、的展开式中2 的系数为 15,则 = ( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 解析因为( +1) 的展开式中2 的系数为 2, 所以 2 = 15, 即 2 = 15, 亦即 2 = 30 ,解得 = 6( = 5 舍）. 5. 已知( )8展开式中常数项为 1 120,其中 是常数,则展开式中各项系数的和是() A. 28B. 38C. 1 或38D. 1 或28 解析由题意知8 4 ( )4= 1 120 ,解得 = 2 ,令 = 1 ,得展开式中各项系数的和为(1 )8= 1 或38 . A D 6. ( 2)8 的展开式中,62 项的系数是( ) A. 56 B. 56 C.
21、28 D. 28 解析二项式的通项为 +1= 8 8( 2), 令8 = 6, 即 = 2, 得62 项的系数为 8 2( 2)2 = 56 . 7. 已知( )5 的展开式中含 3 2 的项的系数为 30,则 = ( ) A. 3 B. 3 C. 6 D. 6 解析( )5 的展开式的通项为 +1= 5 ( )5 ( )= ( )5 52 2 , 依题意,令52 = 3 ,得 = 1, ( )15 1 = 30, = 6 .故选 . C D 8. (2+ 1 2 2)3 展开式中的常数项为( ) A. 8 B. 12 C. 20 D. 20 解析 (2+ 1 2 2)3= ( 1 ) 6,
22、+1= 6 6(1 ) = 6 (1)62, 令62 = 0 ,得 = 3 , 常数项为6 3(1)3 = 20 . 9. 已知(2 1)10= 0+ 1 + 22+ 99+ 1010, 则 2+ 3+ 9+ 10 的值为( ) A. 20 B. 0 C. 1 D. 20 解析令 = 1, 得 0+ 1+ 2+ 9+ 10= 1 ,再令 = 0, 得 0= 1, 所以 1+ 2+ 9+ 10= 0, 又 易知 1= 10 9 21 (1)9= 20 ,所以 2+ 3+ 9+ 10= 20. D A 10. 已知(1+ )(1+)5 的展开式中2 的系数为 5,则 = ( ) A. 4 B. 3
23、 C. 2 D. 1 解析(1+)5 中含 与2 的项为 2= 5 1 = 5, 3 = 5 22 = 102, 2 的系数为10+5 = 5 , = 1 . 11. (13)5= 0+ 1 + 22+ 33+ 44+ 55 ,求| 0|+| 1|+| 2|+| 3|+| 4|+| 5| =( ) A. 1 024 B. 243 C. 32 D. 24 解析令 = 1 得 0 1+ 2 3+ 4 5= | 0|+| 1|+| 2|+| 3|+| 4|+| 5| = 1(3)5= 45= 1 024 . C 解析（解法一）(1+ 1 2)(1+) 6 = 1(1+)6+ 1 2 (1+)6,(1
24、+)6 的展开式中的2 的系数为6 2 = 15, 1 2 (1+)6 的展开式中的2 的系数为6 4 = 15 ,所以所求展开式中2 的系数为15+15 = 30 . （解法二）因为(1+ 1 2)(1+) 6 = (1+2)(1+)6 2 , 所以 (1+ 1 2)(1+) 6 展开式中2 的系数等于(1 +2)(1+)6 展开式中4 的系数,而(1+2)(1+)6 的展开式中 4 的系数为6 4 +6 2 = 30 ,故(1+ 1 2)(1+) 6 展开式中2 的系数为 30. 解法三 因为(1+ 1 2)(1+) 6 = (1+2+2)(1+)62(1+)6 2 = (1+)8 2 2
25、(1+)6 ,所以(1+ 1 2)(1+) 6 展开式中2 的 系数为8 4 26 3 = 30 .故选 . 12. 2017全国卷(1+ 1 2)(1+) 6 展开式中2 的系数为( ) A. 15 B. 20 C. 30 D. 35 二、填空题 6 13. 在( 1)4 的展开式中, 的系数为 . 解析由题意得 +1= 4 ( )4(1) = (1)4 4 2, 令 4 2 = 1, 得 = 2, 所以所求系数为(1)24 2 = 6 . 14. ( 2)6 的展开式中,二项式系数最大的项的系数为 （用数字作答）. 160 解析二项式系数最大的项是 4= 6 33(2)3 = 16033
26、. 10 16. 已知(1+3) 的展开式中,后三项的二项式系数的和等于 121,则展开式中二项式系数最大的项 为 . 15 8 (3)8 和15 7 (3)7 解析由已知得 2 + 1 + = 121, 则 1 2 ( 1)+ +1 = 121,即 2+ 240 = 0 ,解得 = 15 （舍去负值）,所以展开式中二项式系数最大的项 是 8= 15 7 (3)7 和 9= 15 8 (3)8 . 15. 若将函数() = 5 表示为() = 0+ 1(1+)+ 2(1+)2+ 5(1+)5, 其中 0, 1, 2, 5 为实数,则 3= . 解析由于() = 5= (1+)15, 所以 3= 5 3(1)2 = 10 .
