1、专题专题 2525 步步高型解直角三角形步步高型解直角三角形 一、单选题一、单选题 1如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的 D处，而此时 1米的杆影长恰好 为 1米，现量得BC为 10米，CD为 8米，斜CD与地面成 30 角，则杆的高度AB为（ ）米 A64 3 B10 34 C8 D6 【答案】A 【分析】 如图： 延长 AB 交水平线于点 E,过 C作 DE的垂线,垂足为 F,则 CF=BE,BC=EF,根据题意可知CDE=30 结合 CD=8运用三角函数可得CF=4， DF=4 3,即BE=CF=4,DE=EF+DF=10+4 3;又由1米的杆影长恰好为1米，
2、 则 AE:DE=1:1,解得 AE=10+4 3;最后由 AB=AE-BE 即可解答 【详解】 解：如图：延长 AB交水平线于点 E,过 C作 DE 的垂线,垂足为 F,则 CF=BE,BC=EF CDE=30 ，CD=8 CF=CD sin30 =8 1 2 =4，DF=CD cos30 =8 3 2 =4 3 DE= EF+DF=10+4 3 又1 米的杆影长恰好为 1米 AE:DE=1:1，即 AE=DE=10+4 3 AB=AE-BE=10+4 3-4=6+4 3 故答案为 A 【点睛】 本题考查了锐角三角函数解直角三角形，根据题意正确构造直角三角形并灵活运用三角函数解三角形是解 答
3、本题的关键 2如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3，A4，在 x 轴正半轴上，点 B1，B2，B3，在直线 y 3 3 x（x0）上，若 A1（1，0） ，且 A1B1A2， A2B2A3， A3B3A4，均为等边三角形，则线段 B2019B2020的长 度为（ ） A22021 3 B22020 3 C22019 3 D22018 3 【答案】D 【分析】 设 BnAnAn+1的边长为 an，根据直线的解析式能够得出AnOBn=30 ，再结合等边三角形的性质及外角的性 质即可得出OBnAn=30 ，OBnAn+1=90 ，从而得出 BnBn+1= 3an，由点 A1的坐标为（1，0
4、） ，得到 a1=1， a2=1+1=2， a3=1+a1+a2=4， a4=1+a1+a2+a3=8， ， an=2n1 即可求得 B2019B2020= 3a2019=3 2 2018=22018 3 【详解】 设等边 BnAnAn+1的边长为 an， 点 B1，B2，B3，是直线 y= 3 3 x上的第一象限内的点， AnOBn=30 ， 又BnAnAn+1为等边三角形， BnAnAn+1=60 ， OBnAn=30 ，OBnAn+1=90 ， BnBn+1=OBn= tan30 n a = 3an， 点 A1的坐标为（1，0） ， a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，
5、a4=1+a1+a2+a3=8， an=2n1 B2019B2020= 3a2019=3 2 2018=22018 3， 故选：D 【点睛】 本题考查了一次函数的规律探究问题，等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解直角三角形等，解题 的关键是找出规律 BnBn+1=OBn= 3an，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是 关键 二、解答题二、解答题 3如图，小明的家在某住宅楼AB的最顶层，他家对面有一建筑物CD，他很想知道建筑物的高度，他首 先量出A到地面的距离 AB为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角为30，看建筑物顶部D的 仰角为53且AB，CD都与地面垂直，点
6、A，B，C，D在同一平面内 （1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号） ； （2）求建筑物CD的高度（结果精确到1m） 参考数据：sin530.8，cos530.6，tan531.3，31.7 【答案】 （1）AB与CD之间的距离16 3m； （2）建筑物CD的高度约为51m 【分析】 （1）作 AMCD于 M，根据矩形的性质得到 CM=AB=16，AM=BC，根据正切的定义求出 AM； （2）根据正切的定义求出 DM，结合图形计算，得到答案 【详解】 解： （1）作AMCD于M， 则四边形ABCM为矩形，53DAM，30CAM 16CMAB，AMBC， 在Rt ACM中，tan CM CA
7、M AM 则 16 16 3 tantan30 CM AM CAM 答：AB与CD之间的距离16 3m； （2）在Rt AMD中，tan DM DAM AM ， 则tan16 1.7 1.335.36DMAMDAM 35.36 1651DCDMCMm 答：建筑物CD的高度约为 51m 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题 的关键 4如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，13CD米，斜坡CD的坡度为5:12，高为DE，在斜坡 下的点C处测得楼顶 B的仰角为64，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45，其中A CE、 、在同 一直
8、线上 （1）求DE的长度； （2）求大楼AB的高度 （参考数据：sin640.9，tan642） 【答案】 （1）DE =5 米； （2）AB =34 米 【分析】 （1）根据坡度的定义，设5DEx，12ECx，再利用勾股定理求出 x 的值，从而得到 DE 的长度； （2）过点 D作DFAB于点 F，设BFx，根据锐角三角函数用 x表示出 DF和 CA，再利用DFEA 列式求出 x 的值，最后算出 AB的长 【详解】 解： （1）斜坡 DC的坡度是 5:12， 设5DEx，12ECx ， 根据勾股定理， 222 DEECDC，即 22 2 51213xx，解得1x ， 5DE （米） ； （2
9、）如图，过点 D作DFAB于点 F， 设BFx，5ABx ， 在Rt BDFV中， tan1 BFx DFx BDF ， 在Rt ABC中， 5 tan2 BAx CA BCA ， DFEA， 5 12 2 x x ，解得29x， 29 534AB （米） 【点睛】 本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是掌握构造直角三角形并利用锐角三角函数去解直角三角 形的方法 5 如图， 在坡角为 28 的山坡上有一铁塔 AB， 其正前方矗立着一大型广告牌， 当阳光与水平线成 45 角时， 测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为10米， 落在广告牌上的影子CD的长为6米， 求铁塔AB的高（AB、 CD
10、 均与水平面垂直，结果保留一位小数，参考数据：sin280.47，cos280.88） 【答案】铁塔 AB 的高为 10.1m 【分析】 根据题意过点 C作 CEAB于 E，过点 B作 BFCD于 F，在 Rt BFD 中，分别求出 DF、BF的长度，在 Rt ACE中，求出 AE、CE的长度，继而分析即可求得 AB的长度 【详解】 解：过点 C作 CEAB于 E，过点 B作 BFCD于 F， 在 Rt BFD 中， DBF=28 ，BD=10， DF=BD sinDBF100.47=4.7， BF=BD cosDBF100.88=8.8， ABCD，CEAB，BFCD， 四边形 BFCE 为
11、矩形， BF=CE=8.8，CF=BE=CDDF=1.3， 在 Rt ACE 中，ACE=45 ， AE=CE=8.8， AB=8.8+1.3=10.1 答：铁塔 AB 的高为 10.1m 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目所给的坡角构造直角三角形并利用三角函数的 知识求解 6西安市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB） ，放置在教学楼的顶部 （如图所示） 小明在操场上的点 D 处， 用 1 米高的测角仪 CD， 从点 C测得宣传牌的底部 B 的仰角为 30 ， 然后向教学楼正方向走了 5 米到达点 F处，又从点 E测得宣传牌的顶部 A
12、的仰角为 45 ，已知教学楼高 BM 16米，且点 A，B，M在同一直线上，求宣传牌 AB 的高度 （结果保留根号） 【答案】宣传牌 AB的高度为（15 320）米 【分析】 根据题意构造直角三角形，利用三角函数求解 【详解】 解：如图： 过点 C作 CGAM于 G， 得矩形 CDMG和矩形 EFMG， MGCDEF1 （米） ， BM16（米） ， GB15 （米） ， 设 AB为 x， AEG45 EGAG15+x，CG20+x， 在 Rt CBG中，BCG30 ， tan30 3 3 BG CG ， 即 315 320 x ， 解得 x15 320（米） 答：宣传牌 AB的高度为（15
13、320）米 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角和俯角定义 7如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树 BH和教学楼 CG 的高，先在 A 处用高 1.5米的测角仪 AF测得古 树顶端 H 的仰角HFE为45，此时教学楼顶端 G 恰好在视线 FH 上，再向前走 10 米到达 B 处，又测得 教学楼顶端 G 的仰角GED为60，点 A、B、C三点在同一水平线上 （1）求古树 BH的高； （2）求教学楼 CG的高 （参考数据：21.4, 31.7） 【答案】 （1）古树 BH 的高为 11.5 米； （2）教学楼 CG 的高约为 25 米 【分析】 （1）由45H
14、FE知10HEEF，据此得1.5 10 11.5BHBEHE； （2）设DEx米，则3DGx米，由45GFD知GD DFEFDE，据此得310 xx，解 之求得 x的值，代入31.5CGDGDCx计算可得 【详解】 解： （1）在Rt EFH中，9045HEFHFE， 10HEEF ， 1.5 10 11.5BHBEHE， 古树的高为 11.5 米； （2）在Rt EDG中，60GED， 603DGDEtanDE ， 设DEx米，则3DGx米， 在Rt GFD中，9045GDFGFD， GD DFEFDE， 310 xx ， 解得：5 35x， 31.53 5 351.5 16.55 325C
15、GDGDCx （）， 答：教学楼 CG的高约为 25 米 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决 问题，属于中考常考题型 六、拓展探索题 8如图，已知楼AB高30m，从楼顶A处测得旗杆C的俯角为60，又从离地面5m的一窗口E测得旗杆 顶C的仰角为45，求旗杆CD的高.（结果精确到0.1m， 31.73 ， 21.41 ） 【答案】14.1m 【分析】 过点 C作 CGAE，垂足为点 G，由题意得CEF=45 =CEG，ACG=60 ，设 CG=x，在 Rt ACG 中， AG=CGtanACG= 3x，在 Rt ECG中，EG= t
16、an CG CEG =x，根据 AG+EG=AE，列方程3x+x=30-5， 得到 CF=EG= 25( 31) 2 ，于是得到结论 【详解】 解：过点 C作 CGAE，垂足为点 G， 由题意得CEF=45 =CEG，ACG=60 ， 设 CG=x， 在 Rt ACG中，AG=CGtanACG= 3x， 在 Rt ECG 中，EG= tan CG CEG =x， AG+EG=AE， 3x+x=30-5， 解得：x= 25( 31) 2 ， CF=EG= 25( 31) 2 ， CD= 25( 31) 2 +514.1m 答：该旗杆 CD的高为 14.1m 【点睛】 此题主要考查了仰角与俯角问题
17、，正确应用锐角三角函数关系是解题关键 9 小华和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度 PA， 检验自己掌握知识和运用知 识的能力如图所示，旗杆直立于旗台上的点 P 处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆 影子的顶端 F 处此时，量的小华的影长 FG2m小华身高 EF1.6m；然后，在旗杆影子上的点 D处，安 装测频器 CD测得旗杆顶端 A 的仰角为 49 ，量得 CD0.6m，DF5m，旗台高 BP1.2m已知在测量 过程中，点 B、D、F、G在同一水平直线上，点 A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于 BG， 求旗杆的高度 PA（参考数据：sin4
18、90.8，cos490.7，tan491.2） 【答案】旗杆的高度 PA为 9m 【分析】 过 C 作 CHAB 于 H，则四边形 BDCH 是矩形，根据矩形的性质得到 CHBD，BHCD0.6m，设 BD CHx，则 BF（5+x）m，根据三角函数的定义得到 AHCHtan491.2x，求得 AB1.2x+0.6，根据相 似三角形的性质即可得到结论 【详解】 解：过 C 作 CHAB 于 H，则四边形 BDCH 是矩形， CHBD，BHCD0.6m， 设 BDCHx，则 BF（5+x）m， 在 Rt AHC 中，tanACH AH CH ， AHCHtan491.2x， AB1.2x+0.6
19、， 连接 EG， ABFEFG90 ，AFBEGF， ABFEFG， ABBF EFFG ， 1.20.65 1.62 xx ， 解得：x8.5， AB10.8， AP10.81.29.6（m） ， 答：旗杆的高度 PA为 9m 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常 用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 10如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂 AB 长为 40cm，灯罩 BC长为 30cm，底座厚度为 2cm，灯臂与 底座构成的BAD=60 ， 使用发现，光线最佳时灯罩 BC与水平线所成的角为 30 ，此时灯罩顶
20、端 C到桌面 的高度 CE是多少 cm？ 【答案】 （20 3+17）cm 【分析】 过点B作BMCE于点M，BFDA于点F， 在Rt BCM和Rt ABF中， 通过解直角三角形可求出CM、BF 的长，再由 CE=CM+BF+ED 即可求出 CE 的长 【详解】 过点 B作 BMCE 于点 M，BFDA于点 F，如图所示 在 Rt BCM中，BC=30cm，CBM=30 ， CM=BCsinCBM=15cm 在 Rt ABF中，AB=40cm，BAD=60 ， BF=ABsinBAD=20 3cm ADC=BMD=BFD=90 ， 四边形 BFDM 为矩形， MD=BF， CE=CM+MD+D
21、E=CM+BF+ED=15+20 3+2=203+17（cm） 答：此时灯罩顶端 C到桌面的高度 CE 是（20 3+17）cm 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用以及矩形的判定与性质，通过解直角三角形求出 CM、BF的长是解题的关 键 11 如图， 在坡角为 20 的山坡上有一铁塔 AB、 其正前方矗立着一大型广告牌， 当阳光与水平线成 45 角时， 测得铁塔 AB 落在斜坡上的影子 BD10 米， 落在广告牌上的影子 CD5米， 已知 AB， CD均与水平面垂直， 请根据相关测量信息，求铁塔 AB 的高 （sin200.34，cos200.94，tan200.36） 【答案】铁塔 AB
22、 的高约为 11 米 【分析】 过点 C作 CEAB于 E，过点 B作 BNCD于 N，在 Rt BND 中，分别求出 DN、BN 的长度，在 Rt ACE 中，求出 AE、CE的长度，继而可求得 AB 的长度 【详解】 过点 C作 CEAB于 E，过点 B作 BNCD于 N， 在 Rt BND 中， DBN=20 ，BD=10， DN=BDsinDBN10 0.34=3.4， BN=BDcosDBN10 0.94=9.4， ABCD，CEAB，BNCD， 四边形 BNCE 为矩形， BN=CE=9.4，CN=BE=CDDN=1.6， 在 Rt ACE 中，ACE=45 ， AE=CE=9.4
23、， AB=9.4+1.6=11（米） 答：铁塔 AB 的高约为 11米 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用三角函数 的知识求解 12遥感兴趣小组在如图所示的情景下，测量无人机的飞行高度，如图，点, ,A B C在同一平面内，操控手 站在坡度是3:1,i 坡面长4m的斜坡BC的底部C处遥控无人机，坡顶B处的无人机以0.3/m s的速度， 沿仰角38a 的方向爬升，25s时到达空中的点A处，求此时无人机离点C所在地面的高度（结果精确到 0.1 ,m参考数据： 380.62sin，380.79cos， 380.78,21.4131.73ta
24、n , ） 【答案】无人机离点C所在地面的高度大约为8.1m，见详解 【分析】 过B点作,BDCD过A点作AECD于E，交FB的延长线于G，根据题意可得2 3BDm，然后 根据解直角三角形的方法进行求解即可 【详解】 解：过B点作,BDCD过A点作AECD于E，交FB的延长线于G， 3:1,4iBCm， 2 3 ,BDm 2 3 ,EGm 0.3 257.5 ,ABm 在RtAGB中， 384.65AGAB sinm 2 34.658.1AEAGGEm 故此时无人机离点C所在地面的高度大约为8.1m 【点睛】 本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意作出辅助线构造直角三角形，然后利用三角
25、函数值进 行求解即可 13如图甲楼 AB的高为 40 米，小华从甲楼顶 A测乙楼顶 C 仰角为 30 ，观测乙楼的底部 D 俯角为 45 ； （1）求甲、乙两楼之间的距离； （2）求乙楼的高度（结果保留根号） 【答案】 （1）40 米； （2） 40 3 40 3 米 【分析】 （1）过点A作AECD于E，则四边形ABDE为矩形，由45可求得两楼之间的距离 AE 的长度； （2）解直角三角形 ACE可以得到 CE 的值，进一步得到乙楼的高度 CD 的大小 【详解】 解： （1）过点A作AECD于E， 则四边形ABDE为矩形， 40DEAB米， 45 40AEDE米 即两楼之间的距离为 40 米
26、； （2）在Rt ACE中， 30，40AE 米， tan30 CE AE ， 340 3 40 33 CE ， 则楼高为： 40 3 40 3 DECE（米） 答：乙楼的高度为 40 3 (40) 3 米 【点睛】 本题考查解直角三角形，综合应用各平面图形的性质及锐角三角函数的知识是解题关键 14 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想， 某森林保护区开展了寻找古树活动 如图， 在一个坡度 （或 坡比）i1：2.4 的山坡 AB 上发现有一棵古树 CD测得古树底端 C到山脚点 A 的距离 AC26米，在距山 脚点 A水平距离 6 米的点 E 处，测得古树顶端 D的仰角AED48 （古树 C
27、D与山坡 AB的剖面、点 E在 同一平面上， 古树CD与直线AE垂直） ， 则古树CD的高度约为多少米？ （参考数据： sin480.73， cos480.67， tan481.11） 【答案】古树 CD 的高度约为 23.3m 【分析】 延长 DC交 EA的延长线于点 F，则 CFEF，令 CFk，则 AF2.4k，根据勾股定理求出 k=10，得到 AF 24，CF10，EF30，在根据锐角三角函数求出 DF即可得到答案. 【详解】 延长 DC交 EA的延长线于点 F，则 CFEF， 山坡 AC上坡度 i1：2.4， 令 CFk，则 AF2.4k， 在 Rt ACF 中，由勾股定理得， CF
28、2+AF2AC2， k2+（2.4k）2262， 解得 k10， AF24，CF10， EF30， 在 Rt DEF 中，tanE DF EF ， DFEFtanE30 tan48 30 1.1133.3， CDDFCF23.3， 因此，古树 CD的高度约为 23.3m. 【点睛】 此题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确理解题意，构建直角三角形利用锐角三角函数解决 问题是解题的关键. 15如图，某办公大楼正前方有一根高度是 15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杄顶端E的俯角 是45，旗杄底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是 10 米，梯坎坡长BC是 10 米，梯坎坡度 4 1: 3
29、 BC i， 求大楼AB的高 【答案】大楼AB的高为 27 米 【分析】 过点E作EFAB于点E， 作BGCD于点G， 根据题意可得， AEF=45 ， 得AF=EF， 根据坡度 4 1: 3 BC i， 可得 BG；CG=3；4，设 BG=3x，CG=4x，则 BC=5x，可得 x=2，再根据矩形的性质即可求出大楼 AB 的高 【详解】 如图，过点E作EFAB于点E，作BGCD于点G， EDCD， 四边形DEFG是矩形， EFDG，EDFG， 根据题意可知： 45AEF， AFEF， 坡度 4 1: 3 BC i， BG:3CG :4， 设3BGx，4CGx，则5BCx， 510 x， 解得
30、2x， 8CG，6BG ， 81018EFDGCGCD， 18AFEF， 15FGED， 1569FBFGBG， 18927ABAFFB（米） 答：大楼AB的高为 27 米 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡 角定义 16我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在 高出水面15m的A处测得在C处的龙舟俯角为23；他登高6m到正上方的B处测得驶至D处的龙舟俯角 为50， 问两次观测期间龙舟前进了多少？ （结果精确到1m， 参考数据：tan230.42，tan400.84， tan5
31、01.19，tan672.36） 【答案】两次观测期间龙舟前进了 18米 【分析】 设 BA与 CD的延长线交于点 O，由题意得出BDO=50 ，ACO=23 ，OA=15m，AB=6m，在 Rt BOD 中，解直角三角形求得 OD的长度，在 Rt AOC中，解直角三角形求出 DC的长度即可 【详解】 解：设 BA与 CD的延长线交于点 O， 根据题意易得：BDO=50 ，ACO=23 ，OA=15m，AB=6m， 在 Rt BOD中， OB156 tanBDO=1.19 ODOD ， 解得：OD17.65m， 在 Rt AOC中， OA15 tanACO=0.42 OC17.65+DC ，
32、DC18m， 答：两次观测期间龙舟前进了 18米 【点睛】 本题考查解直角三角形的实际应用，要理解俯角概念，并且熟练掌握解直角三角形的方法 17如图，在万泉河的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度1:1i 的山坡 AF，点 A 与点 B 在同一水平线上， AF 与 AC 在同一平面内某数学兴趣小组为了测量楼 BC的高度，在坡底 A处测得楼顶 C 的仰角为 45 ，然 后沿坡面 AF 上行了6 2米到达点 D 处，此时在 D处测得楼顶 C的仰角为 30 （1）填空：DAH = 度， DH = 米； （2）求楼 BC 的高度 【答案】 （1）45 ；6； （2）楼 BC 的高为(6 312)米 【分析】
33、 （1）根据 tanDAH1:1即可求得DAH的度数，再根据 AD6 2即可求得 DH的长； （2）过点 D作 DEBC于点 E，则四边形 DEBH是矩形，先证得 ABBC，设 ABBCx，则 BHDE x+6，CEx6，在 RtCDE 中，tanCDE CE DE ，代入即可得出结果 【详解】 解： （1）1:1i ， tanDAH1:11， DAH45 ， 在 Rt DAH中，sinDAH DH AD ， sin45 6 2 DH 2 2 ， 解得 DH6， 故答案为：45 ，6； （2）过点 D作 DEBC于点 E， 则四边形 DEBH是矩形， 6DHAHBE， 在Rt ABC中， 45
34、BAC， BCAB， 设BCABx， 则6BHDEx ，6CEx， 在RtCDE中，tan CE CDE DE ， 63 63 x x ， 解得6 3 12x ， 6 312BC ， 答：楼 BC的高度为(6 3 12 )米 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过解直角三角形得出方程是解题的关键 18如图，点 E与树 AB 的根部点 A、建筑物 CD的底部点 C在一条直线上，AC10m小明站在点 E处观 测树顶 B 的仰角为 30 ，他从点 E 出发沿 EC 方向前进 6m 到点 G 时，观测树顶 B的仰角为 45 ，此时恰好 看不到建筑物 CD 的顶部 D（H、B、D 三点在
35、一条直线上） 已知小明的眼睛离地面 1.6m，求建筑物 CD的 高度（结果精确到 0.1m） （参考数据： 21.41，31.73 ） 【答案】19.8m 【分析】 延长 FH，交 CD 于点 M，交 AB于点 N，求 CD，只需求出 DM 即可，即只要求出 HN 就可以，在 Rt BNF 中，设 BNNHx，则根据 tanBFN BN NF 就可以求出 x 的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和 可求得 CD的长 【详解】 解：如图，延长 FH，交 CD于点 M，交 AB于点 N， BHN45 ，BAMH， 则 BNNH， 设 BNNHx， HF6，BFN30 ，且 tanBFN BN
36、NF BN NHHF ， tan30 6 x x ， 解得 x8.22， 根据题意可知： DMMHMN+NH， MNAC10， 则 DM10+8.2218.22， CDDM+MCDM+EF18.22+1.619.8219.8（m） 答：建筑物 CD的高度约为 19.8m 【点睛】 本题考查解直角三角形应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念，根据题意构造直角三角形，利用锐角三 角函数解直角三角形是解答的关键 19如图，某同学在大楼 AD 的观光电梯中的 E点测得大楼 BC楼底 C点的俯角为 60 ，此时该同学距地面 的高度 AE为 27 米，电梯再上升 10 米到达 D点，此时测得大楼 BC楼顶
37、 B点的仰角为 45 ，求大楼 BC的高 度 （结果保留根号） 【答案】 （37+9 3）米 【分析】 过 D 作 DHBC于 H，过 E作 EGBC于 G求出 EG 和 DH的长，在 Rt BDH中，求出 BH，则可得出 答案 【详解】 解：过 D 作 DHBC于 H，过 E作 EGBC于 G 由已知得，BDH45 ，CEG60 AE27，DE10 在 Rt CEG 中，CGAE27，tanCEG EG CG ， EG tan60 CG 27 9 3 3 DHEG9 3 在 Rt BDH中，BDH45 ， BHDH9 3 BCCG+HG+BHCG+DE+BH27+10+9 3（37+93）米
38、 答：大楼 BC 的高度是（37+9 3）米 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键 20某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示，在山 脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60，求小 山BC的高度 【答案】小山BC的高度为1040 3米 【分析】 设塔高 BC为 x 米，根据正切的定义列出关于 x的关系式，求出 x,进而得出小山的高 【详解】 解：设BC为x米，则20ACx米，30BDC 60DBCAEC，而80DE 米， 在Rt DBC
39、中，tan60 DCDC BCx ， 则3DCx米，380CEx米， 在Rt ACE中， 20 tan603 380 ACx CEx ， 解得1040 3x 答：小山BC的高度为1040 3米 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、正确理解仰角和俯角的概念是 解题的关键 21如图，AB是长为5m，倾斜角为 37 的自动扶梯，平台 BD与大楼 CE 垂直，且与扶梯 AB的长度相等， 在 B 处测得大楼顶部 C的仰角为 65 ，求大楼 CE 的高度（结果保留整数） （参考数据： 3 sin37 5 ， 3 tan37 4 ， 9 sin65 10 ， 15
40、tan65 7 ） 【答案】大楼 CE 的高度约为14m 【分析】 如图（见解析） ，先在Rt ABF中，利用正弦三角函数可求出 BF的长，再在Rt CDB中，利用正切三角函 数可求出 CD 的长，然后根据线段的和差即可得 【详解】 如图，作BFAE于点 F，则BFDE 由题意得：5 ,BDABm BDCE，37 ,65BAFCBD 在Rt ABF中，sin BF BAF AB 则 3 sin3753( ) 5 BFABm 在Rt CDB中，tan CD CBD BD 则 15 tan65511( ) 7 CmDBD 则3 1114( )CEDECDBFCDm 答：大楼 CE 的高度约为14m
41、 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键 22如图所示，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点.已知点E离塔的中轴线AB的距离OE为 10 米，塔高AB为 123 米（AB垂直于地面BC） ，在地面C处测得点E的仰角45，从C点沿CB方向 前行 40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角60 （1）求出点D到塔底B的距离； （结果保留根号） （2）求点E离地面的高度EF （结果精确到 1 米，参考数据， 21.4 ，31.7） 【答案】 （1）41 3 （2）100 米 【分析】 （1）先根据锐角三角函数的定义求出 DB的长， （2）由 CF=DB-FB+
42、CD 及=45即可得出结论 【详解】 解： （1）ABBCABD为直角三角形 在Rt ABD中，tan AB DB 123 41 3 tan603 AB DB （2）ABBC，AB EO，EFBC 四边形BOEF为矩形， 10FBEO 41 3 10DFBDFB ， 4041 3 103041 3CFCDDF 在Rt EFC中，45 EFC为等腰直角三角形， 3041 3100EFCF （米） 答：点E离地面的高度EF约为 100米. 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键 23兴隆湖是成都天府新区著名的生态绿地工程在一次户外综合实践活动
43、中，小明同学所在的兴趣小组 用无人机航拍测量云图广场 A 与南山码头 B的直线距离由于无人机控制距离有限，为了安全，不能直接 测量，他们采用如下方法：如图，小明在云图广场 A 的正上方点 C 处测得南山码头 B 的俯角 17.09 ；接 着无人机往南山码头B方向水平飞行0.9千米到达点D处， 测得此时南山码头B的俯角45 已知ACAB， CDAB，请根据测量数据计算 A，B两地的距离 （结果精确到 0.1km，参考数据：sin0.29，tan0.31， sin0.71） 【答案】1.3 千米 【分析】 根据题意设 BF=x 千米，由 BDF是等腰直角三角形得出 DF=BF=x 千米，在 Rt
44、BCF中，根据 tan BF CF 列方程并求出 x 的值即可 【详解】 解：设 BFx 千米， BFD90 ，45 ， DFBFx 千米 17.09 ， tan BF CF BF CDDF 0.9 x x 0.31， 解得：x0.40， ABCF0.9+0.401.3（千米） 答：A，B两地的距离约为 1.3 千米 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键根据俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解 24 数学活动课上， 小明和小红要测量小河对岸大树 BC 的高度， 小红在点 A测得大树顶端 B 的仰角为 45 ， 小明从 A 点出发沿斜坡走3 5米到达斜坡上点 D， 在此处测
45、得树顶端点 B 的仰角为 31 ， 且斜坡 AF的坡比 为 1：2 （1）求小明从点 A到点 D的过程中，他上升的高度； （2）依据他们测量的数据能否求出大树 BC 的高度？若能，请计算；若不能，请说明理由 （参考数据： sin310.52，cos310.86，tan310.60） 【答案】 （1）3 米； （2）16.5米 【分析】 （1）作 DHAE 于 H，解 Rt ADH，即可求出 DH； （2）延长 BD交 AE 于点 G，解 Rt GDH、Rt ADH，求出 GH、AH，得到 AG；设 BC=x米，根据正切 的概念用 x 表示出 GC、AC，根据 GC-AC=AG 列出方程，解方程
46、得到答案 【详解】 解： （1）作 DHAE于 H，如图 1所示： 在 Rt ADH中， 1 2 DH AH ， AH=2DH， AH2+DH2=AD2， （2DH）2+DH2=（35）2 ， DH=3 答：小明从点 A到点 D的过程中，他上升的高度为 3 米； （2）如图 2所示：延长 BD交 AE 于点 G，设 BC=xm， 由题意得，G=31 ， GH= 3 0.60 DH tan G =5， AH=2DH=6， GA=GH+AH=5+6=11， 在 Rt BGC 中，tanG= BC GC ， CG= 0. 5 360 BCx tan G x， 在 Rt BAC 中，BAC=45 ，
47、AC=BC=x GC-AC=AG， 5 3 x-x=11， 解得：x=16.5 答：大树的高度约为 16.5米 【点睛】 此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键 三、填空题三、填空题 252019年，徐州马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅度提升了徐州市的国际影响力， 如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼 A 处，测得起点拱门 CD的顶部 C的俯角为 35 ，底部 D的俯角 为 45 ，如果 A处离地面的高度 AB20 米， 求起点拱门 CD 的高度_m （结果精确到 1 米； 参考数据： sin350.57，cos350.82
48、，tan350.70） 【答案】6 【分析】 作 CEAB于 E，根据矩形的性质得到 CEDB20，CDBE，根据正切的定义求出 AE，结合图形计算 即可 【详解】 解：作 CEAB于 E， 则四边形 CDBE为矩形， CEDB，CDBE， 在 Rt ADB中，ADB45 ， ABDB20， CE20， 在 Rt ACE 中，tanACE AE CE ， AECE tanACE200.7014， CDBEABAE6m， 故答案为：6 【点睛】 本题主要考查利用三角函数解决实际问题，同时涉及矩形有关性质，解题关键在于作出辅助线构造直角三 角形进而即可求解 26如图，测角仪 CD 竖直放在距建筑物
49、 AB底部 5m的位置，在 D处测得建筑物顶端 A的仰角为 50 若 测角仪的高度是 1.5m， 则建筑物 AB的高度约为_m （结果保留小数点后一位， 参考数据： sin500.77， cos500.64，tan501.19） 【答案】7.5 【分析】 过点 D作 DEAB，垂足为点 E，根据正切进行求解即可； 【详解】 解：如图，过点 D 作 DEAB，垂足为点 E，则 DEBC5，DCBE1.5， 在 Rt ADE 中， tanADE AE DE ， AEtanADEDEtan5051.1955.95（米） ， ABAE+BE5.95+1.57.5（米） ， 故答案为：7.5 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确构造直角三角形是解题的关键
