1、高三数学试题第 1 页（共 15 页） 石景山区石景山区 20202021 学年第学年第一一学期高学期高三三期末试卷期末试卷 数数 学学 本试卷共 8 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟请务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡 第一部分第一部分（选择题 （选择题 共共 40 分）分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合分在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项题目要求的一项 （ 1 ）已知集合 1,2,3A ， 1,0,2,3B ，则AB （A）0,1,2 （B
2、）0,2 （C）2,3 （D）1,0,1,2,3 （ 2 ）复数 2 (1i) （A）0 （B）1 （C）2i （D）2i （ 3 ） 5 (1)x 的展开式中x的系数为 （A） 1 （B）5 （C）10 （D）15 （ 4 ）某三棱锥的三视图如图所示， 则该三棱锥的体积为 （A） 1 6 （B） 1 3 （C） 2 3 （D） 2 （ 5 ）若抛物线 2 4yx上的点 A 到焦点的距离为 10，则点 A 到 y 轴的距离是 （A） 6 （B）7 （C）8 （D）9 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 2 1 1 1 高三数学试题第 2 页（共 15 页） （ 6 ）“ ”是“函数 sin()
3、yx 为奇函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （ 7 ）直线: 1l ykx 与圆 22 :(1)4C xy的位置关系是 （A） 相切 （B）相交 （C）相离 （D）不确定 （ 8 ）等差数列 n a的首项为1，公差不为0，若 124 ,a a a成等比数列，则 n a前5项的和为 （A）10 （B）15 （C）21 （D）28 （ 9 ）已知函数 2 ,0, ( ) ,0, x x f x x x 则函数 | ( )2 x yf x的零点个数是 （A） 0 （B）1 （C）2 （D）3 （10）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广
4、泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法 画出：如图，在黄金矩形ABCD（ 51 2 AB BC ）中作正方形ABFE，以F为圆心， AB长为半径作圆弧BE； 然后在矩形CDEF中作正方形DEHG， 以H为圆心，DE长 为半径作圆弧EG；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线 记圆弧BE，EG，GI的长度分别为, ,l m n，对于以下四个命题： lmn 2 ml n 2mln 211 mln 其中正确的是 （A） （B） （C） （D） L J I K H G F E D C B A 高三数学试题第 3 页（共 15 页） 第二部分第二部分（非选择题 （非选择题 共共 110110
5、分）分） 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 （11）函数( )1lnf xxx 的定义域为_ （12）已知平面向量 (2,1)a ，(4, )yb，且ab，则实数y _ （13）已知双曲线C的两个焦点为 3,0 , 3,0 ，一个顶点是6,0，则C的标准方程 为_；C的焦点到其渐近线的距离是_ （14）若函数 ( )sin()cos() 3 f xxx的一个周期是，则常数的一个取值可以为 _ （15）从 4G 到 5G 通信，网络速度提升了 40 倍其中，香农公式 2 log (1) S CW N 是 被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表
6、示：在受噪声干扰的信道中，最 大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高 斯噪声功率N的大小，其中 S N 叫做信噪比 根据香农公式，以下说法正确的是_ （参考数据：lg50.6990） 若不改变信噪比 S N ，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍； 若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S，而将高斯噪声功率N降低 为原来的一半，则C增加一倍； 若不改变带宽W，而将信噪比 S N 从 255 提升至 1023，C增加了25%； 若不改变带宽W，而将信噪比 S N 从 999 提升至 4999，C大约增加了23.3% 高三数学试题第 4 页（共 15 页） 三、解答
7、题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （16） （本小题 13 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA 平面ABCD， ,M N分别为棱,PD BC的中点，2PAAB （）求证：MN 平面PAB； （）求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值 （17） （本小题 13 分） 在ABC中，2c ，30C 再从条件、条件、条件这三个条件中选择一 个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求： （）a的值； （）ABC的面积 条件：2 3ba ； 条件：45A ； 条件： 2 3b . 注
8、：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. N M P D A B C 高三数学试题第 5 页（共 15 页） （18） （本小题 14 分） 在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的 方法，从全校学生中抽取容量为 200 的样本进行调查被抽中的同学分别对食堂进行评 分，满分为 100 分调查结果显示：最低分为 51 分，最高分为 100 分随后，兴趣小组 将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图， 图表如下： 为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况” ，二者的对应 关系如下： 分数分数 50, 60
9、） 60, 70） 70, 80） 80, 90） 90, 100 满意度情况满意度情况 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意 （）求a的值； （）为进一步改善食堂状况，从评分在50,70）的男生中随机抽取 3 人进行座谈， 记这 3 人中对食堂“不满意”的人数为 X，求 X 的分布列； （）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂 “比较满意”的概率 分数区间分数区间 频数频数 50, 60） 3 60, 70） 3 70, 80） 16 80, 90） 38 90, 100 20 男生评分结果的频数分布表 组距 频率 0.005 0.040 50 60 70
10、 80 90 a 100 0.020 分数 0 女生评分结果的频率分布直方图 高三数学试题第 6 页（共 15 页） （19） （本小题 15 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 3 2 e ，且经过点 (0,1)D （）求椭圆C的方程； （） 已知点 ( 1,0)A 和点 ( 4,0)B ， 过点B的动直线l交椭圆C于,M N两点 （M在N左 侧） ，试讨论BAM与OAN的大小关系，并说明理由 高三数学试题第 7 页（共 15 页） （20） （本小题 15 分） 设函数 1 ( )ln,f xaxa x R （）设l是 ( )yf x 图象的一条切线，求证
11、：当0a 时，l与坐标轴围成的三角形的面 积与切点无关； （）若函数 ( )( )g xf xx 在定义域上单调递减，求a的取值范围 高三数学试题第 8 页（共 15 页） （21） （本小题15 分） 对于数列 n a， 若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和， 则称 n a为 P 数列 （）数列 n a为1,1,3,5,7，数列 n b为 11 1 1, 24 8 判断数列 n a， n b是否为P数列， 并说明理由； （）设数列 n a是首项为2的 P 数列，其前n项和为 n S（ * nN） 求证：当2n时， 2n n S ； （）设无穷数列 n a是首项为 a（a0） ，公比
12、为 q 的等比数列，有穷数列 n b， n c是 从 n a中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 1 T， 2 T 若 12 TT判断 n a是否为P数列，并说明理由 （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 高三数学试题第 9 页（共 15 页） 石景山区石景山区 20202021 学年第学年第一一学期高学期高三三期末期末 数学试卷数学试卷参考参考答案答案 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C D A B B C A 二、填
13、空题：二、填空题：本大题共本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 （11）(0, )； （12）2； （13） 22 1 63 xy ， 3； （14）2； （答案不唯一） （15） 三、解答题：三、解答题：本大题共本大题共 6 个小题，共个小题，共 85 分分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步解答题应写出文字说明，证明过程或演算步 骤骤 （16） （本小题 13 分） 解： （）在四棱锥PABCD中， 取PA的中点E，连接EB、EM， 因为 M是PD的中点， 所以 EM AD，且 1 2 EMAD. 又因为 底面ABCD是正方形，N是BC的中点， 所以
14、BNAD，且 1 2 BNAD. 所以 EM = BN. 所以 四边形MNBE是平行四边形. 所以 MNEB. 由于 EB平面PAB， MN平面PAB， 所以 MN 平面PAB. N M P D A B C E 高三数学试题第 10 页（共 15 页） （II）因为 底面ABCD是正方形，所以 ABAD. 又因为 PA平面ABCD. 所以以点A为坐标原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴， 如图建立空间直角坐标系. (0,0,0)A ， (2,2,0)C ， (0,2,0)D , (0,0,2)P ， (0,1,1)M , (2,1,0)N . (2,2, 2),( 2,0,0),PCCD
15、设平面PCD的法向量为( , , )mx y z. 有： 0, 0, m PC m CD 即 0, 0, xyz x 令 1y ，则=1z， 所以(0,1,1)m . (2,0, 1)MN . 设直线MN与平面PCD所成角为. 有：sin cos,MN m= MN m MNm 02+1 0+11 10 = 1025 （- ） . 所以 直线MN与平面PCD所成角的正弦值为 10 10 . （17） （本小题 13 分） 选择条件：2 3ba 解： （）在ABC中， 因为2 3ba ， 所以 3 2 ba. 因为2c ,30C . 根据余弦定理： 222 cos 2 abc C ab ，得 22
16、 3 ()4 3 2 cos30 = 23 2 2 aa aa ， 整理，得 2 16a ， 由于0a ， N M P D A B C x y z 高三数学试题第 11 页（共 15 页） 所以 =4a. （）由（I）可知， 3 2 3 2 ba. 因为4a ，2c ， 所以 222 abc. 所以=90A. 因此，ABC是直角三角形. 所以 11 2 322 3 22 Sbc. 选择条件：45A . 解： （）在ABC中， 因为 45A ,30C ,=2c. 根据正弦定理： sinsin ac AC ， 所以 2 2 sin2sin45 2 =2 2 1 sinsin30 2 cA a C
17、. （）在ABC中， 因为sin sin()BAC . 所以sin sin(3045 )=sin30 cos45cos30 sin45B 6+ 2 = 4 . 所以 1 sin 2 SacB 16+ 2 =2 22= 3+1 24 . 选择条件：不给分 （18） （本小题 14 分） 解： （）因为 0.005+ 0.0200.0400.020) 101a（ ， 所以 0.015a . （）依题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. 03 33 3 6 1 (0) 20 CC P X C ； 12 33 3 6 9 (1) 20 CC P X C ； 21 33 3 6 9 (2) 2
18、0 CC P X C ； 30 33 3 6 1 (3) 20 CC P X C . 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 高三数学试题第 12 页（共 15 页） （）设事件=A“随机抽取一名学生，对食堂比较满意 ”. 因为样本人数200人，其中男生共有80人， 所以样本中女生共有120人. 由频率分布直方图可知， 女生对食堂“比较满意”的人数共有：1200.020 10=24人. 由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人, 24161 2005 . 所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为 1 ( ) 5 P A . （19） （本小题 15 分） 解： （）
19、由已知1b ， 3 2 c e a ， 又 222 abc，解得 2,1ab . 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. （）依题意设直线l的方程为 (4)yk x ，设 1122 ( ,),(,)M x yN xy. 联立 2 2 4 (4), 1, yk x y x 消去y，得 2222 (41)326440kxk xk， 则 2 16(1 12)0k，解得 33 66 k. （*） 则 2 12 2 32 41 k xx k ， 2 12 2 644 41 k x x k . 若 1 1x ，则 1 3 2 y ， 3 6 k 与（*）式矛盾，所以 1 1x . 同理 2 1x .
20、 所以直线AM和AN的斜率存在，分别设为 AM k和 AN k. 因为 1212 121212 (4)(4)33 2 111111 AMAN yyk xk xkk kkk xxxxxx P 1 20 9 20 9 20 1 20 高三数学试题第 13 页（共 15 页） 1212 121212 2 2 2 222 22 3 (2)3 (2) 22 (1)(1)1 32 3 (2) 3 ( 242) 14 220 64432363 1 1414 k xxk xx kk xxx xxx k k kk k kk kkk kk 所以 AMAN kk . 所以BAMOAN. （20） （本小题 15 分
21、） 解： （）当0a 时， 1 ( ),0f xx x ， 2 1 ( )fx x ， 设 ( )f x图象上任意一点 0 0 1 (,)P x x ， 切线l斜率为0 2 0 1 ()kfx x . 过点0 0 1 (,)P x x 的切线方程为0 2 00 11 ()yxx xx . 令0 x ，解得 0 2 y x ；令 0y ，解得 0 2xx. 切线与坐标轴围成的三角形面积为0 0 12 | |2| 2 2 Sx x . 所以l与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关. （）由题意，函数 ( )g x的定义域为(0,) . 因为 ( )g x在(0,)上单调递减， 所以 2 1 ( )1
22、0 a g x xx 在(0, )上恒成立， 即当 (0,)x ， 1 ax x 恒成立， 所以 min 1) ax x ( 因为当 (0,)x， 1 2x x ，当且仅当1x 时取等号. 所以当1x 时， min 1) 2x x ( 所以2a. 所以a的取值范围为( , 2 . 高三数学试题第 14 页（共 15 页） （21） （本小题 15 分） 解： （）数列 n a不是P数列，数列 n b是P数列. 对于数列 n a，1 1357 ，所以数列 n a不是P数列； 对于数列 n b， 111111 1, 1, 1 224248 ，所以数列 n b是P数列. （）由题意知， 1nn aS
23、 ，即 1nnn SSS ，即 1 2 nn SS . 又因为 11 20Sa， 所以 0 n S . 所以 当2n时， 12 1 121 2n nn n nn SSS SS SSS 命题得证. （）数列 n a不是P数列. 假设数列 n a是P数列，则 2 aaqa得1q ， 所以数列 n a是单调递增数列，且0 n a ， * nN . 若数列 n b中的元素都在数列 n c中，则 12 TT； 若数列 n c中的元素都在数列 n b中，则 12 TT； 若数列 n b和数列 n c有部分公共元素，将数列 n b和 n c的公共元素去掉 得到新的数列 n b和 n c， 不妨设数列 n b和 n c中的最大元素 m a在数列 n c中， 则数列 n a的前1m 项和 1mm Sa . 因为0 n a ， * nN， 所以数列 n b中的所有项和小于等于 1m S . 高三数学试题第 15 页（共 15 页） 所以数列 n b中的所有项和小于 m a . 所以 12 TT. 综上知 12 TT.与已知 12 TT矛盾，所以数列 n a不是P数列. 【若有不同解法，请酌情给分】【若有不同解法，请酌情给分】
