1、1 “圆”来如此（“圆”来如此（原来可以这样配方，再配方原来可以这样配方，再配方） 由此破解在圆的背景下求| + |的最值问题 湖南常德 陈永清 先看例题。 例 1.函数() = sin1 64cos2sin (0 2)的值域为_. 解：由于sin 1,1，所以() 0； 当sin 1,1)，() = sin1 64cos2sin = sin1 (cos2)2+(sin1)2 = 1 1+(cos2 sin1) 2， cos2 sin1的几何意义是过(sin ,cos)，(1,2)两点的直线的斜率，且点在圆 2 + 2= 1上。 设直线的方程为 2 = ( 1)，即 + 2 = 0，则 |2|
2、 2+1 1 ，解得 3 4。 所以 = 3 4时，() = 1 1+(3 4) 2 = 4 5. 故()的值域为 4 5,0. 受例 1 配方的启发，我们由此可以破解在圆的背景下求| + |的最值问题了。 当然如何配方，是解决这类问题的关键。请细细体会例 2例 7 的配方，是如何为解决问题配的方两个 根式，其中带系数的根式基本固定（可以把系数放进根式中） ，另一个根式中，平方展开合并之后，重新配方， 这是重点。有些配方看起来神出鬼没，实际上也就那么几个固定套路。配方配好了，问题就解决了。真的是“山 穷水复疑无路，柳暗花明又一村” 。 一般说来| + |的最小值与三点共线有关，最大值与椭圆长轴
3、长、短半轴长有关. 而对于| + |的最值问题，不过是| + |的变式，因为| + | = (| + |). 这种参数方程+配方法，对于学生来说，应该是相当自然的方法，然每每折戟沉沙，不能彻底完成，原因就 在于他们只知其一（参数方程） ，不知其二（配方法） 。如果我们让学生知道了可以象各个例题那样配方，书写 看似繁琐，但一旦掌握，定会感觉思路异常简单. 例 2.已知点(2,0)，(0,1)，点在圆( 1)2+ 2= 4上，则| + 1 2|的最小值为_ 解析：设(1 + 2cos ,2sin)， 则| + 1 2| = (2cos 1) 2+ 4sin2 + 1 2(1 + 2cos) 2+
4、(2sin 1)2 = 5 4cos +(cos + 1 2) 2 + (sin 1 2) 2 = (cos 2)2+ sin2 +(cos + 1 2) 2 + (sin 1 2) 2 当(cos,sin)，(2,0)，( 1 2, 1 2)三点共线时，| + 1 2|取得最小值| = 26 2 . 例 3.已知正方形边长为 4，为平面内一点，且 = 2，则 1 2的最大值为_. 2 解析：如图，(4,0)，(4,4)，(2cos,2sin)， 则 1 2 = (2cos 4) 2+ (2sin 4)2 1 2(2cos 4) 2+ (2sin)2 = (2cos 4)2+ (2sin 4)
5、2 5 4cos = (2cos 4)2+ (2sin 4)2 (2cos 1)2+ (2sin)2 当(2cos ,2sin)，(1,0)，(4,4)三点共线时， 1 2 = 取得最大值 = 5. 例 4.已知,满足2+ 2= 4， = 35 2 + 13 6，则的最小值为_ 解析：令 = 2cos， = 2sin， 则 = 35 4cos + 13 12sin = 45 36cos + 13 12sin = 45 36cos + 13 12sin = (3cos 6)2+ (3sin)2+ (3cos)2+ (3sin 2)2 当(3cos,3sin)，(6,0)，(0,2 )三点共线时，
6、取得最小值| = 210. 例 5.已知 = (3,2)， = (1,0)，| | = 2，则| | + | 1 2 |的最小值为_. 解析：令 = (2cos,2sin)， 则| | + | 1 2 | = (2cos + 1) 2+ (2sin)2+ (cos 3)2+ (sin 2)2 = 5 + 4cos + (cos 3)2+ (sin 2)2 = (cos + 2)2+ sin2 + (cos 3)2+ (sin 2)2 当(cos,sin)，(2,0)，(3,2)三点共线时，| | + | 1 2 |取得最小值| = 29. 例 6.已知，两点分别在圆:( 4)2+ 2= 4，
7、圆:( 6)2+ ( 4)2= 1上， 则| + | + |的最小 值为_. 解析：令(4 + 2cos,2sin)， 则| + | + | | + | 1 + | = | + 2| 1 = (2cos + 4)2+ 4sin2 + 2(2cos 2)2+ (2sin 4)2 1 = 20 + 16cos + (4cos 4)2+ (4sin 8)2 1 = (4cos + 2)2+ (4sin)2+ (4cos 4)2+ (4sin 8)2 1 当(4cos,4sin)，(2,0)，(4,8)三点共线时， | + | + |取得最小值| 1 = 9. 例 7.（宁波十校）已知向量 , , 满
8、足| | = 1 2| | = | | = 1， = 1，则| + 1 2 | + 1 2| |的取值范围是_. 解析：不妨设 = (1,0)， = (1,3)， = (cos,sin)， 则| + 1 2 | + 1 2| | =(cos + 1 2) 2 + sin2 + 1 2 (cos 1)2+ (sin 3)2 = 1 2(cos + 2) 2+ sin2 +(cos 1)2+ (sin 3)2) 2 1 3 如图，当(cos ,sin)，(2,0)，(1,3)三点共线时， | + 1 2 | + 1 2| |取得最小值1 2 | = 3， 又| + |表示以,为焦点的椭圆的椭圆长轴
9、长，由于椭圆短半轴最大时，长轴最长， 则| + |的最大值为2(3) 2 + 22= 27，所以| + 1 2 | + 1 2| |的最大值为7。 故| + 1 2 | + 1 2| |的取值范围是3,7. 变式训练题 1.在Rt中， = 90, = 3, = 4，圆的半径为 2，点是圆上一点，则 + 1 2的最小值为_. 2.已知正方形边长为 4，为其内切圆上一点，则 + 2的最小值为_. 3.已知正三角形边长为 6，为其内切圆上一点，则 + 2的最小值为_. 4.已知| | = | | = | | = 1， = 0，则|2 | + |1 2 |的最小值是_. 5.已知点(4,0)，(0,3
10、)，点在圆2+ 2= 4上，则3| + 2|的最小值为_. 6.已知 , 满足| | = 2，| + 2 | = 4，则| + | + | |的最大值为_. 7.在平面四边形中， = 90， = 2， = 1， + = 4 3 ，则 + 1 2的最小 值为_. 参考答案 1.略；2.略；3.略；4.答案：17 2 ；5.答案：410；6.答案：25. 7.答案： 26 2 . 解析：如图 1，令(0,0)，(2,0)，(0,1)，(,)， 则由 + = 4 3 ， 可得2+ 2 2 3 = 0，即( 1)2+ 2= 4. 则可令(1 + 2cos ,2sin)。 则 + 1 2 = (2cos
11、 1) 2+ (2sin)2+ 1 2(2cos + 1) 2+ (2sin 1)2 = 5 4cos +(cos + 1 2) 2 + (sin 1 2) 2 = (cos 2)2+ (sin)2+(cos + 1 2) 2 + (sin 1 2) 2 当(cos,sin)，(2,0)，( 1 2, 1 2)三点共线时，如图 2， | + 1 2|取得最小值| = 26 2 . 感谢各个教学交流群！感谢群里的各位老师！因为你们为我提供了灵感和题群！ 陈永清于 2019.5.28 附：许多老师关注我的轻松快捷巧记高中数学知识与解题方法一书再版的出版时间问题，我在此统一 答复，出版社已经确定开印，估计 6 月上旬可以面市。届时我通知大家！ 图 2 图 1
