1、绝密绝密本科目考试启用前本科目考试启用前 20192019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数数 学（文） （北京卷）学（文） （北京卷） 本试卷共本试卷共 5 5 页，页，150150 分。考试时长分。考试时长 120120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 4040 分）分） 一、选择题共一、选择题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。在
2、每小题列出的四个选项中，选出符合题目要分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。求的一项。 1.已知集合 A=x|11，则 AB= A. （1，1） B. （1，2） C. （1，+） D. （1，+） 【答案】C 【解析】 【分析】 根据并集的求法直接求出结果. 【详解】 | 12, | 1AxxBx ， (1,)AB ， 故选 C. 【点睛】考查并集的求法，属于基础题. 2.已知复数 z=2+i，则z z A. 3 B. 5 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】 题先求得z，然后根据复数的乘法运算法则即得. 【详解】z2i,z z(2i)(2i)5 故选 D.
3、【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的定义等知识，属于基础题 3.下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A. 1 2 yx B. y=2 x C. 1 2 logyx D. 1 y x 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可. 【详解】函数 1 2 2 ,log x yyx ， 1 y x 在区间(0,) 上单调递减， 函数 1 2 yx 在区间(0,)上单调递增，故选 A. 【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴 含数形结合思想，属于容易题. 4.执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为
4、A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据程序框图中的条件逐次运算即可. 【详解】运行第一次， =1k ， 2 2 1 2 3 1 2 s ， 运行第二次，2k ， 2 2 2 2 3 22 s ， 运行第三次，3k ， 2 2 2 2 3 22 s ， 结束循环，输出=2s ，故选 B. 【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查. 5.已知双曲线 2 2 2 1 x y a （a0）的离心率是5 则 a= A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 2 【答案】D 【解析】 【分析】 本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于 a的方
5、程求解. 【详解】 双曲线的离心率5 c e a ， 2 1ca ， 2 1 5 a a ， 解得 1 2 a ， 故选 D. 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查 学生的转化能力和计算求解能力. 6.设函数 f（x）=cosx+bsinx（b为常数） ，则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据定义域为 R的函数 ( )f x为偶函数等价于()= ( )fxf x 进行判断. 【详解】0b 时，( )co
6、ssincosf xxbxx, ( )f x为偶函数； ( )f x为偶函数时，()= ( )fxf x 对任意的x恒成立， ()cos()sin()cossinfxxbxxbx cossincossinxbxxbx ，得0bsinx 对任意的x恒成立，从而0b .从而“0b ”是“ ( )f x为偶函 数”的充分必要条件，故选 C. 【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 21 2 1 5 2 lg E mm E ，其 中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是26.7
7、，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星 的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 1010.1 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意得到关于 12 ,E E的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足 1 21 2 5 lg 2 E mm E ,令 21 1.45,26.7mm , 10.1 11 21 22 22 lg( 1.4526.7)10.1,10 55 EE mm EE . 故选：A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及指数对数运 算. 8.如图，A，B 是半径为 2
8、的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB是锐角，大小为 .图中阴影区域的 面积的最大值为 A. 4+4cos B. 4+4sin C. 2+2cos D. 2+2sin 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意首先确定面积最大时点 P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值. 【详解】观察图象可知，当 P 为弧 AB的中点时，阴影部分的面积 S取最大值， 此时BOP=AOP=-, 面积 S 的最大值为 2 2 2 2 +SPOB+ SPOA=4+ 1 |sin() 2 OP OB 1 |sin() 2 OP OA 42sin2sin44 sin . 故选：B. 【点睛】本题
9、主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有 一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示. 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110110 分）分） 二、填空题共二、填空题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。 9.已知向量a=（4，3） ，b=（6，m） ，且a b ，则 m=_. 【答案】8. 【解析】 【分析】 利用a b 转化得到 0a b 加以计算，得到m. 【详解】向量4,36,abmab （）， （）， 则 04 6308a bmm ， . 【点睛】本题考查平面向量的坐标
10、运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用. 属于容易题. 10.若 x，y满足 2, 1, 4310, x y xy 则y x 的最小值为_，最大值为_. 【答案】 (1). 3. (2). 1. 【解析】 【分析】 作出可行域，移动目标函数表示的直线，利用图解法求解. 【详解】作出可行域如图阴影部分所示. 设 z=y-x,则 y=x+z.当直线 l0：y=x+z经过点 A（2,-1）时,z 取最小值-3，经过点 B（2,3）时,z 取最大值 1. 【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了 基础知识、基本技能的考查.
11、 11.设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l.则以 F为圆心，且与 l相切的圆的方程为_ 【答案】(x-1)2+y2=4. 【解析】 【分析】 由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果. 【详解】抛物线 y2=4x中，2p=4，p=2， 焦点 F（1,0） ，准线 l的方程为 x=-1， 以 F 为圆心， 且与 l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4. 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱
12、柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为 1， 那么该几何体的体积为_ 【答案】40. 【解析】 【分析】 本题首先根据三视图,还原得到几何体,根据题目给定的数据,计算几何体的体积.属于中等题. 【详解】 如图所示,在棱长为 4 的正方体中,三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱 1111 MPD ANQC B之后 余下的几何体, 几何体的体积 3 1 4242 440 2 V . 【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线 面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常 用等积法、
13、分割法、补形法等方法进行求解 13.已知 l，m 是平面外的两条不同直线给出下列三个论断： lm；m；l 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_ 【答案】如果 l，m，则 lm. 【解析】 【分析】 将所给论断，分别作条件、结论加以分析. 【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果 l，m，则 lm. 正确； （2）如果 l，lm，则 m.不正确，有可能 m在平面 内； （3）如果 lm，m，则 l.不正确，有可能 l与 斜交、l. 【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 14.李明自主创业，在网
14、上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为 60元/ 盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80% 当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1盒，需要支付_元； 在促销活动中， 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折， 则 x的最大值为_ 【答案】 (1). 130. (2). 15. 【解析】 【分析】 由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x的最大值. 【详解】(1
15、)10x ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付608010130元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元, 120y 元时,李明得到的金额为80%y,符合要求. 120y 元时,有80%70%yxy恒成立,即 87 , 8 y yxy x,即 min 15 8 y x 元. 所以x的最大值为15. 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质数学的应用意识数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为 背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明分。解答应写出文字说明，演算
16、步骤或证明过程。过程。 15.在ABC中，a=3，2bc ，cosB= 1 2 （）求 b，c的值； （）求 sin（B+C）的值 【答案】 （）7,5bc； （） 3 3 14 . 【解析】 【分析】 ()由题意列出关于 a,b,c的方程组，求解方程组即可确定 b,c 的值； ()由题意结合余弦定理、同角三角函数基本关系和诱导公式可得sin BC的值. 【详解】 （）由余弦定理可得 222 1 cos 22 acb B ac ， 因为3a ，所以 22 390cbc ；因为2bc ，所以解得 7 5 b c . （）由（）知3,7,5abc，所以 222 13 cos 214 bca A b
17、c ； 因为A为ABC的内角，所以 2 co 3 3 sin 1 s1 4 AA . 因为 3 3 sin()sin()sin 14 BCAA . 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，同角三角函数基本关系、诱导公式的应用等知识，意在考查学生 的转化能力和计算求解能力. 16.设an是等差数列，a1=10，且 a2+10，a3+8，a4+6成等比数列 （）求an的通项公式； （）记an的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值 【答案】 （）212 n an； （）30. 【解析】 分析】 ()由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得 n a的通项公式； ()首先求得 n S的表达式
18、，然后结合二次函数的性质可得其最小值. 【详解】 （）设等差数列 n a的公差为d， 因为 234 +10+8+6aaa，成等比数列，所以 2 324 (+8)(+10)(+6)aaa， 即 2 (22)(34)ddd，解得2d ，所以102(1)212 n ann . （）由（）知212 n an, 所以 22 1021211121 11() 224 n n Snnnn ； 当5n 或者6n 时， n S取到最小值30. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数 列的有关公式并能灵活运用. 17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近
19、年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解 某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000 名学生中随机抽取了 100人，发 现样本中 A，B两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A和仅使用 B的学生的支付金额分布情况 如下： 支付金额 支付方式 不大于 2000元 大于 2000 元 仅使用 A 27 人 3 人 仅使用 B 24 人 1 人 （）估计该校学生中上个月 A，B两种支付方式都使用的人数； （）从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1人，求该学生上个月支付金额大于 2000元的概率； （）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用
20、 B的学生中随机抽查 1 人，发现 他本月的支付金额大于 2000 元 结合 （） 的结果， 能否认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由 【答案】 （）400人； （） 1 25 ； （）见解析. 【解析】 【分析】 ()由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数； ()利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于 2000元的概率； ()结合概率统计相关定义给出结论即可. 【详解】 （）由图表可知仅使用 A 的人数有 30 人，仅使用 B 的人数有 25 人， 由题意知 A,B 两种支付方式都不使用的有 5人， 所以样本中两种支付方式都使用的有100 3
21、025 540 ， 所以全校学生中两种支付方式都使用的有 40 1000400 100 （人）. （）因为样本中仅使用 B 的学生共有 25 人，只有 1 人支付金额大于 2000 元， 所以该学生上个月支付金额大于 2000元的概率为 1 25 . （）由（）知支付金额大于 2000元的概率为 1 25 ， 因为从仅使用 B的学生中随机调查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2000 元， 依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用 B 的学生中本月支付金额大于 2000元的人数有变化，且比上个月多. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知
22、识，意在考查学生的转化能力 和计算求解能力. 18.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面 ABCD，底部 ABCD为菱形，E为 CD 的中点. （）求证：BD平面 PAC； （）若ABC=60，求证：平面 PAB平面 PAE； （）棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由. 【答案】 （）见解析； （）见解析； （）见解析. 【解析】 【分析】 ()由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； ()由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直； ()由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点. 【详解】 （）证
23、明：因为PA平面ABCD,所以PABD； 因为底面ABCD是菱形，所以ACBD; 因为PAACA,PA AC 平面PAC, 所以BD 平面PAC. （）证明：因为底面ABCD是菱形且60ABC，所以ACD为正三角形，所以AECD, 因为/ /ABCD,所以AEAB； 因为PA平面ABCD，AE 平面ABCD, 所以AEPA； 因PAABA 所以AE 平面PAB， AE 平面PAE,所以平面PAB平面PAE. （）存在点F为PB中点时，满足/CF平面PAE；理由如下: 分别取,PB PA的中点,F G，连接,CF FG EG, 在三角形PAB中，/ /FGAB且 1 2 FGAB； 在菱形ABC
24、D中，ECD中点，所以/ /CEAB且 1 2 CEAB，所以/CEFG且CEFG，即四边形 CEGF为平行四边形，所以/CFEG; 又CF 平面PAE，EG 平面PAE，所以/CF平面PAE. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在 考查学生的转化能力和计算求解能力. 19.已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A. （）求椭圆 C的方程； （）设 O为原点，直线:(1)l ykxt t 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP与 x轴交于点 M， 直线 AQ 与 x轴交于点 N，若|O
25、M|ON|=2，求证：直线 l经过定点. 【答案】 （） 2 2 1 2 x y； （）见解析. 【解析】 【分析】 ()由题意确定 a,b 的值即可确定椭圆方程； ()设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定 OM,ON的表达式，结合韦达定理确定 t的值即可证明直 线恒过定点. 【详解】 （）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以 12 25 ； 因为椭圆经过点(0,1)A,所以1b ，所以 222 2abc，故椭圆的方程为 2 2 1 2 x y. （）设 1122 ( ,),(,)P x yQ x y 联立 2 2 1 2 (1) x y ykxt t 得 222 (1 2k )4220xk
26、txt， 2 1212 22 422 0, 1 21 2 ktt xxx x kk ， 1212 2 2 ()2 1 2 t yyk xxt k ， 22 22 121212 2 2 () 1 2 tk y yk x xkt xxt k . 直线 1 1 1 :1 y AP yx x ，令0y 得 1 1 1 x x y ，即 1 1 1 x OM y ； 同理可得 2 2 1 x ON y . 因2OM ON ,所以 121 2 121212 2 11() 1 xxx x yyy yyy ； 2 2 1 1 21 t tt ，解之得0t ，所以直线方程为ykx，所以直线l恒过定点(0,0).
27、 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三 角形的面积等问题 20.已知函数 32 1 ( ) 4 f xxxx. （）求曲线( )yf x的斜率为 1的切线方程； （）当 2,4x 时，求证：6( )xf xx； （）设( ) |( ) ()|()F xf xxaa R，记( )F x在区间 2,4 上的最大值为 M（a） ，当 M（a）最小时， 求 a的值 【答案】 （）0xy和2727640xy. （）见解析； （）3a
28、. 【解析】 【分析】 ()首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程； ()由题意分别证得 60f xx和 0f xx即可证得题中的结论； ()由题意结合()中的结论分类讨论即可求得 a的值. 【详解】 （） 2 3 ( )21 4 fxxx，令 2 3 ( )21 1 4 fxxx 得0x 或者 8 3 x . 当0x 时，(0)0f，此时切线方程为y x ，即0xy； 当 8 3 x 时， 88 ( ) 327 f，此时切线方程为 64 27 yx，即2727640xy； 综上可得所求切线方程为0xy和2727640xy. （）设 32 1 ( )(
29、 ) 4 g xf xxxx， 2 3 ( )2 4 g xxx，令 2 3 ( )20 4 g xxx得0x 或者 8 3 x ， 所以当 2,0x 时，( )0g x ，( )g x为增函数； 当 8 (0, ) 3 x时，( )0g x，( )g x为减函数； 当 8 ,4 3 x 时，( )0g x ，( )g x为增函数； 而(0)(4)0gg，所以( )0g x ，即( )f xx； 同理令 32 1 ( )( )66 4 h xf xxxx，可求其最小值为( 2)0h ，所以( )0h x ，即( )6f xx， 综上可得6( )xf xx. （）由（）知6( )0f xx ， 所以( )M a是,6a a中的较大者， 若6aa，即3a时，( )3M aaa ； 若6aa，即3a 时，( )663M aaa； 所以当( )M a最小时，( )3M a ，此时3. 【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学 思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
