1、绝密绝密启用前启用前 20192019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 注意事项:注意事项: 1 1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
2、写 在本试卷上无效。在本试卷上无效。 3 3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 1212 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 6060 分。在每小题给出的四个选项中,只有一分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1.设 3i 12i z ,则z= A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 先由复数的除法运算(分母实数化) ,求得z,再求z 【详解】因为 3 12 i z i ,所以 (3)(1 2 )17 (1 2 )(1 2 )55
3、 ii zi ii ,所以 22 17 ( )()2 55 z ,故选 C 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算,复数模的计算本题也可以运用复数模的运算性质直接求解 2.已知集合 1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7UAB,则CUBA A. 1,6 B. 1,7 C. 6,7 D. 1,6,7 【答案】C 【解析】 【分析】 先求 UA ,再求 U BA 【详解】由已知得1,6,7 U C A,所以 U BC A6,7,故选 C 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算渗透了直观想象素养使用补集思想得出答案 3.已知 0.20.3 2 log 0.2,2 ,0.2abc,则 A.
4、abc B. acb C. cab D. bca 【答案】B 【解析】 【分析】 运用中间量0比较 ,a c,运用中间量1比较 ,b c 【详解】 22 log 0.2log 10,a 0.20 221,b 0.30 00.20.21,则01,cacb故选 B 【点睛】本题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法,利用转化 与化归思想解题 4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51 2 ( 51 2 0.618, 称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐 的长度之比也是 51
5、2 若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为 105cm,头顶至脖子下端的长度为 26 cm,则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm 【答案】B 【解析】 【分析】 理解黄金分割比例的含义,应用比例式列方程求解 【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为 x cm,肚脐至腿根的长为 y cm,则 262651 1052 x xy ,得 42.07,5.15xcm ycm又其腿长为 105cm,头顶至脖子下端的长度为 26cm,所以其身高约为 4207+515+105+26=17822,接近 175cm故选 B 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理,渗
6、透了逻辑推理和数学运算素养采取类比法,利用转化思想解 题 5.函数 f(x)= 2 sin cos xx xx 在,的图像大致为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性,得 ( )f x是奇函数,排除 A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案 【详解】由 22 sin()()sin ()( ) cos()()cos xxxx fxf x xxxx ,得 ( )f x是奇函数,其图象关于原点对称又 2 2 1 42 2 ()1, 2 () 2 f 2 ( )0 1 f 故选 D 【点睛】本题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性
7、质法或赋值法, 利用数形结合思想解题 6.某学校为了解 1 000 名新生的身体素质,将这些学生编号为 1,2,1 000,从这些新生中用系统抽样 方法等距抽取 100名学生进行体质测验,若 46号学生被抽到,则下面 4 名学生中被抽到的是 A. 8 号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生 【答案】C 【解析】 【分析】 等差数列的性质渗透了数据分析素养使用统计思想,逐个选项判断得出答案 【详解】详解:由已知将 1000名学生分成 100个组,每组 10 名学生,用系统抽样,46号学生被抽到, 所以第一组抽到 6号,且每组抽到的学生号构成等差数列 n a,公差10d
8、 , 所以6 10 n an()n N, 若86 10n,则 1 5 n ,不合题意;若2006 10n,则19.4n ,不合题意; 若6166 10n,则61n ,符合题意;若8156 10n,则80.9n ,不合题意故选 C 【点睛】本题主要考查系统抽样. 7.tan255= A. 2 3 B. 2+3 C. 23 D. 2+3 【答案】D 【解析】 【分析】 本题首先应用诱导公式,将问题转化成锐角三角函数的计算,进一步应用两角和的正切公式计算求解题 目较易,注重了基础知识、基本计算能力的考查 【详解】详解: 000000 tan255tan(18075 )tan75tan(4530 )=
9、 00 00 3 1 tan45tan30 3 23. 1tan45 tan303 1 3 【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力 8.已知非零向量 a,b满足a=2b,且(ab)b,则 a与 b 的夹角为 A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题,渗透了转化与化归、数学计算等数学 素养先由()abb得出向量, a b的数量积与其模的关系,再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角 【详解】 因为()abb, 所以 2 ()ab ba bb =0, 所以 2
10、a bb, 所以cos= 2 2 |1 2|2 a bb a bb , 所以a与b的夹角为 3 ,故选 B 【点睛】对向量夹角的计算,先计算出向量的数量积及各个向量的摸,在利用向量夹角公式求出夹角的余 弦值,再求出夹角,注意向量夹角范围为0, 9.如图是求 1 1 2 1 2 2 的程序框图,图中空白框中应填入 A. A= 1 2A B. A= 1 2 A C. A= 1 12A D. A= 1 1 2A 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查算法中的程序框图,渗透阅读、分析与解决问题等素养,认真分析式子结构特征与程序框图 结构,即可找出作出选择 【详解】执行第 1次, 1 ,12 2
11、Ak 是,因为第一次应该计算 1 1 2 2 = 1 2A ,1kk=2,循环,执行 第 2次,22k , 是, 因为第二次应该计算 1 1 2 1 2 2 = 1 2A ,1kk=3, 循环, 执行第 3次,22k , 否,输出,故循环体为 1 2 A A ,故选 A 【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点,可知循环体为 1 2 A A 10.双曲线 C: 22 22 1(0,0) xy ab ab 的 一条渐近线的倾斜角为 130 ,则 C的离心率为 A. 2sin40 B. 2cos40 C. 1 sin50 D. 1 cos50 【答案】D 【解析】 分析】 由双曲线渐近线定义可
12、得tan130 ,tan50 bb aa ,再利用 2 1 cb e aa 求双曲线的离心率 【详解】由已知可得tan130 ,tan50 bb aa , 2 222 2 22 sin 50sin 50cos 501 11tan 501 cos 50cos 50cos50 cb e aa ,故选 D 【点睛】 对于双曲线: 22 22 10,0 xy ab ab , 有 2 1 cb e aa ; 对于椭圆 22 22 10 xy ab ab , 有 2 1 cb e aa ,防止记混 11.ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 asinAbsinB=4csinC,cosA
13、= 1 4 ,则 b c = A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 利用余弦定理推论得出 a,b,c 关系,在结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果. 【详解】详解:由已知及正弦定理可得 222 4abc,由余弦定理推论可得 22222 141313 cos,46 4224242 bcacccb A bcbcbc ,故选 A 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用 12.已知椭圆 C的焦点为 12 1,01,0FF(), (),过 F2的直线与 C交于 A,B 两点.若 22 2AFF B , 1 ABBF ,则 C的方程为 A. 2 2 1 2 x y
14、 B. 22 1 32 xy C. 22 1 43 xy D. 22 1 54 xy 【答案】B 【解析】 分析】 由已知可设 2 F Bn, 则 21 2 ,3AFnBFABn, 得 1 2A Fn, 在 1 A FB中求得 1 1 cos 3 F AB, 再在 12 AFF中,由余弦定理得 3 2 n ,从而可求解. 【详解】法一:如图,由已知可设 2 F Bn,则 21 2 ,3AFnBFABn,由椭圆的定义有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn 在 1 A F B中 , 由 余 弦 定 理 推 论 得 222 1 4991 cos 2 233 nnn F AB nn 在 1
15、2 AFF中, 由余弦定理得 22 1 442 224 3 nnnn , 解得 3 2 n 222 242 3 ,3 ,3 12,anabac 所求椭圆方程为 22 1 32 xy ,故选 B 法二:由已知可设 2 F Bn,则 21 2 ,3AFnBFABn,由椭圆的定义有 1212 24 ,22aBFBFnAFaAFn在 12 AFF和 12 BFF中,由余弦定理得 22 21 22 21 442 22 cos4, 422 cos9 nnAF Fn nnBF Fn ,又 2121 ,AF FBF F互补, 2121 coscos0AF FBF F, 两式消去 2121 coscosAF F
16、BF F,,得 22 3611nn,解得 3 2 n 222 242 3 ,3 ,3 12,anabac 所求椭圆方程为 22 1 32 xy , 故选 B 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好的落实 了直观想象、逻辑推理等数学素养 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 4 小题,每小题小题,每小题 5 5 分,共分,共 2020 分。分。 13.曲线 2 3()exyxx在点(0,0)处的切线方程为_ 【答案】3 0xy . 【解析】 【分析】 本题根据导数的几何意义,通过求导数,确定得到切线的斜率,利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】
17、详解: /22 3(21)3()3(31), xxx yxexx exxe 所以, / 0 |3 x ky 所以,曲线 2 3()exyxx在点(0,0)处的切线方程为 3yx ,即3 0xy 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础,本题易因为导数的运算法则掌握不熟,二导致计算错误求导 要“慢”,计算要准,是解答此类问题的基本要求 14.记 Sn为等比数列an的前 n项和.若 13 3 1 4 aS,则 S4=_ 【答案】 5 8 . 【解析】 【分析】 本题根据已知条件,列出关于等比数列公比q的方程,应用等比数列的求和公式,计算得到 4 S题目的难 度不大,注重了基础知识、基本计算能力的考查
18、【详解】详解:设等比数列的公比为q,由已知 22 3111 3 1 4 Saa qa qqq ,即 2 1 0 4 qq 解得 1 2 q , 所以 4 4 1 4 1 1 () (1)5 2 1 18 1 () 2 aq S q 【点睛】准确计算,是解答此类问题的基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算,部分考 生易出现运算错误 一题多解:本题在求得数列的公比后,可利用已知计算 33 43431 315 () 428 SSaSa q ,避免繁 分式计算 15.函数 3 ( )sin(2)3cos 2 f xxx的最小值为_ 【答案】4. 【解析】 【分析】 本题首先应用诱导公式, 转
19、化得到二倍角的余弦, 进一步应用二倍角的余弦公式, 得到关于 1 coscos 4 BC 的二次函数,从而得解. 【详解】 2 3 ()sin(2)3coscos23cos2cos3cos1 2 fxxxxxxx 2 317 2(cos) 48 x , 1cos1x ,当cos1x 时, min( ) 4fx , 故函数 ( )f x的最小值为 4 【点睛】解答本题过程中,部分考生易忽视1cos1x 的限制,而简单应用二次函数的性质,出现运 算错误 16.已知ACB=90,P为平面 ABC 外一点,PC=2,点 P到ACB两边 AC,BC 的距离均为3,那么 P 到平面 ABC 的距离为_ 【
20、答案】 2 【解析】 【分析】 本题考查学生空间想象能力,合理画图成为关键,准确找到P在底面上的射影,使用线面垂直定理,得到 垂直关系,勾股定理解决 【详解】作,PD PE分别垂直于,AC BC,PO 平面ABC,连CO, 知,CDPD CDPO,=PDOD P, CD平面PDO,OD平面PDO, CDOD 3PDPE ,2PC 3 sinsin 2 PCEPCD , 60PCBPCA , POCO,CO为ACB平分线, 451,2OCDODCDOC ,又2PC , 422PO 【点睛】画图视角选择不当,线面垂直定理使用不够灵活,难以发现垂直关系,问题即很难解决,将几何 体摆放成正常视角,是立
21、体几何问题解决的有效手段,几何关系利于观察,解题事半功倍 三、解答题:共三、解答题:共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17211721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题,考生根据要求作答。题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:(一)必考题:6060 分。分。 17.某商场为提高服务质量,随机调查了 50名男顾客和 50 名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或 不满意的评价,得到下面列联表: 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客
22、30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率; (2)能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附: 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd P (K2 k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】 (1) 4 3 , 5 5 ; (2)能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 【解析】 【分析】 (1)从题中所给的22列联表中读出相关的数据,利用满意的人数除以总的人数,分别算出相应的频率, 即估计得出的概率值; (2) 利用公式求得观测值与临界值比较, 得到能有
23、95%的把握认为男、 女顾客对该商场服务的评价有差异. 【详解】 (1)由题中表格可知,50 名男顾客对商场服务满意的有 40 人, 所以男顾客对商场服务满意率估计为 1 404 505 P , 50 名女顾客对商场满意的有 30 人, 所以女顾客对商场服务满意率估计为 2 303 505 P , (2)由列联表可知 2 2 100(40 2030 10)100 4.7623.841 70 30 50 5021 K , 所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 【点睛】 该题考查的是有关概率与统计的知识, 涉及到的知识点有利用频率来估计概率, 利用列联表计算 2 K 的值,
24、独立性检验,属于简单题目. 18.记 Sn为等差数列an的前 n项和,已知 S9=a5 (1)若 a3=4,求an的通项公式; (2)若 a10,求使得 Snan的 n 的取值范围 【答案】 (1)210 n an ; (2)110()nnN. 【解析】 【分析】 (1)首项设出等差数列的首项和公差,根据题的条件,建立关于 1 a和d的方程组,求得 1 a和d的值,利 用等差数列的通项公式求得结果; (2)根据题意有 5 0a ,根据 1 0a ,可知0d ,根据 nn Sa,得到关于n的不等式,从而求得结果. 【详解】 (1)设等差数列 n a的首项为 1 a,公差为d, 根据题意有 11
25、1 9 8 9(4 ) 2 24 adad ad , 解答 1 8 2 a d ,所以8(1) ( 2)210 n ann , 所以等差数列 n a的通项公式为210 n an ; (2)由条件 95 Sa ,得 55 9aa ,即 5 0a , 因为 1 0a ,所以0d ,并且有 51 40aad,所以有 1 4ad , 由 nn Sa得 11 (1) (1) 2 n n nadand ,整理得 2 (9 )(210)nn dnd, 因为0d ,所以有 2 9210nnn ,即 2 11100nn , 解得110n, 所以n的取值范围是:110()nnN 【点睛】该题考查的是有关数列的问题
26、,涉及到的知识点有等差数列的通项公式,等差数列的求和公式, 在解题的过程中,需要认真分析题意,熟练掌握基础知识是正确解题的关键. 19.如图,直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是 BC, BB1,A1D的中点. (1)证明:MN平面 C1DE; (2)求点 C到平面 C1DE的距离 【答案】 (1)见解析; (2) 4 17 17 . 【解析】 【分析】 (1)利用三角形中位线和 11 /AD BC可证得/MEND,证得四边形MNDE为平行四边形,进而证得 / /MNDE,根据线面平行判定定理可证得结论; (2)根据题意求得三棱锥
27、 1 CCDE的体积,再求出 1 C DE的面积,利用 11 CCDEC C DE VV 求得点 C 到平 面 1 C DE的距离,得到结果. 【详解】 (1)连接ME, 1 B C M,E分别为 1 BB,BC中点 ME 为 1 B BC的中位线 1 /MEBC且 1 1 2 MEBC 又N为 1 AD中点,且 11 /AD BC 1 /NDBC且 1 1 2 NDBC /MEND 四边形MNDE为平行四边形 / /MNDE,又MN 平面 1 C DE,DE平面 1 C DE / /MN平面 1 C DE (2)在菱形ABCD中,E为BC中点,所以DEBC, 根据题意有3DE , 1 17C
28、 E , 因为棱柱为直棱柱,所以有DE 平面 11 BCC B, 所以 1 DEEC,所以 1 1 317 2 DEC S, 设点 C 到平面 1 C DE的距离为d, 根据题意有 11 CCDEC C DE VV ,则有 1111 317134 3232 d , 解得 44 17 1717 d , 所以点 C 到平面 1 C DE的距离为 4 17 17 . 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有线面平行的判定,点到平面的距离的求解, 在解题的过程中,注意要熟记线面平行的判定定理的内容,注意平行线的寻找思路,再者就是利用等积法 求点到平面的距离是文科生常考的内容. 20.已
29、知函数 f(x)=2sinxxcosxx,f(x)为 f(x)的导数 (1)证明:f(x)在区间(0,)存在唯一零点; (2)若 x0,时,f(x)ax,求 a 的取值范围 【答案】 (1)见解析; (2),0a . 【解析】 【分析】 (1) 求导得到导函数后, 设为 g x进行再次求导, 可判断出当 0, 2 x p 骣 西 桫 时, 0gx , 当, 2 x 时, 0gx ,从而得到 g x单调性,由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置,证得结论; (2)构造函 数 h xf xax, 通过二次求导可判断出 min 2h xha , max 2 22 h xha ; 分别在2a ,20
30、a , 2 0 2 a 和 2 2 a 的情况下根据导函数的符号判断 h x单调性,从 而确定 0h x 恒成立时a的取值范围. 【详解】 (1) 2coscossin1cossin1fxxxxxxxx 令 cossin1g xxxx,则 sinsincoscosgxxxxxxx 当0,x时,令 0gx ,解得: 2 x 当0, 2 x p 骣 西 桫 时, 0gx ;当, 2 x 时, 0gx ( )g x在0, 2 上单调递增;在, 2 上单调递减 又 01 10g ,10 22 g , 1 12g 即当 0, 2 x p 骣 西 桫 时, 0g x ,此时 g x无零点,即 fx 无零点
31、 0 2 gg 0 , 2 x ,使得 0 0g x 又 g x在, 2 上单调递减 0 xx 为 g x,即 fx 在, 2 上唯一零点 综上所述: fx 在区间0,存在唯一零点 (2)若0,x时, f xax,即 0f xax恒成立 令 2sincos1h xf xaxxxxax 则 cossin1h xxxxa , coshxxxgx 由(1)可知, h x 在0, 2 上单调递增;在, 2 上单调递减 且 0ha , 2 22 ha , 2ha min 2h xha , max 2 22 h xha 当2a 时, min 20h xha ,即 0h x在0,上恒成立 h x在0,上单调
32、递增 ( )( )00h xh?,即 0f xax,此时 f xax恒成立 当20a 时, 00 h ,0 2 h , 0h 1 , 2 x ,使得 1 0h x h x在 1 0,x上单调递增,在 1, x上单调递减 又 00h, 2sincos10haa 0h x在0,上恒成立,即 f xax恒成立 当 2 0 2 a 时, 00 h , 2 0 22 ha 2 0, 2 x ,使得 2 0h x h x在 2 0,x上单调递减,在 2, 2 x 上单调递增 2 0,xx 时, 00h xh,可知 f xax不恒成立 当 2 2 a 时, max 2 0 22 h xha h x在0, 2
33、 上单调递减 ( )( ) 00h xh= 可知 f xax不恒成立 综上所述:,0a 【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值 恰为恒成立不等式取等的值的问题,通常采用构造函数的方式,将问题转变成函数最值与零之间的比较, 进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性,从而得到最值. 21.已知点 A,B 关于坐标原点 O对称,AB =4,M过点 A,B且与直线 x+2=0相切 (1)若 A 在直线 x+y=0 上,求M 的半径 (2)是否存在定点 P,使得当 A运动时,MAMP为定值?并说明理由 【答案】 (1)2或6; (2)见解析.
34、【解析】 【分析】 (1)设,A tt ,,Bt t,根据4AB ,可知2t ;由圆的性质可知圆心M必在直线y x 上,可 设圆心,M a a;利用圆心到20x的距离为半径和MAMBr构造方程,从而解出r; (2)当直 线AB斜率存在时,设AB方程为:ykx,由圆的性质可知圆心M必在直线 1 yx k 上;假设圆心坐 标,利用圆心到20x的距离为半径和 22 rMAOAOM 构造方程,解出M坐标,可知M轨 迹为抛物线; 利用抛物线定义可知1,0P为抛物线焦点, 且定值为1; 当直线AB斜率不存在时, 求解出M 坐标,验证此时1,0P依然满足定值,从而可得到结论. 【详解】 (1)A在直线 2
35、2 gR r 上 设 ,A tt,则,Bt t 又4AB 2 816t,解得: 2t M过点A,B 圆心M必在直线y x 上 设,M a a,圆的半径为r M与20x相切 2ra 又MAMBr,即 22 2 22aar 22 2 222aaa,解得:0a 或4a 当0a 时,2r =;当4a 时,6r M的半径为:2或6 (2)存在定点1,0P,使得1MAMP 说明如下: A,B关于原点对称且 4AB 直线AB必为过原点O的直线,且2OA 当直线AB斜率存在时,设AB方程为:ykx 则M的圆心M必在直线 1 yx k 上 设,Mkm m,M的半径为r M与20x相切 2rkm 又 22 222
36、 4rMAOAOMk mm 222 24kmk mm ,整理可得: 2 4mkm 即M点轨迹方程为: 2 4yx,准线方程为:1x ,焦点1,0F MAr,即抛物线上点到2x 的距离 1MAMF 1MAMF 当P与F重合,即P点坐标为1,0时,1MAMP 当直线AB斜率不存在时,则直线AB方程为:0x M在x轴上,设,0M n 2 24nn,解得:0n ,即 0,0M 若1,0P,则2 1 1MAMP 综上所述,存在定点1,0P,使得MAMP为定值. 【点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问题的关键是能够 根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程,进而根据抛
37、物线的定义得到定值,进而验证定值符合所有情况, 使得问题得解. (二)选考题:共(二)选考题:共 1010 分。请考生分。请考生在第在第 2222、2323 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分。一题计分。 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t , (t为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系,直线 l的极坐标方程为2 cos3 sin110 (1)求 C和 l的直角坐标方程; (2)求 C 上的点到 l距离的
38、最小值 【答案】 (1) 2 2 :1,( 1,1 4 y C xx ;:23110lxy; (2)7 【解析】 【分析】 (1)利用代入消元法,可求得C的直角坐标方程;根据极坐标与直角坐标互化原则可得l的直角坐标方程; (2)利用参数方程表示出C上点的坐标,根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式,从 而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】 (1)由 2 2 1 1 t x t 得: 2 1 0,( 1,1 1 x tx x ,又 2 2 2 2 16 1 t y t 22 2 1 16 1 4 1144 1 1 1 x x yxxx x x 整理可得C的直角坐标方程为: 2
39、 2 1,( 1,1 4 y xx 又cosx,siny l的直角坐标方程为:23110xy (2)设C上点的坐标为:cos ,2sin 则C上的点到直线l的距离 4sin11 2cos2 3sin11 6 77 d 当sin1 6 时,d取最小值 则 min 7d 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题. 求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点,将问题转化为三角函数的最值求解问题. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知 a,b,c为正数,且满足 abc=1证明: (1) 222 111 abc abc ; (2) 333 (
40、)()()24abbcca 【答案】 (1)见解析; (2)见解析 【解析】 【分析】 (1)利用1abc=将所证不等式可变为证明: 222 abcbcacab,利用基本不等式可证得 222 2222abcabbcac, 从 而 得 到 结 论 ;( 2 ) 利 用 基 本 不 等 式 可 得 333 3abbccaabbcca, 再 次 利 用 基 本 不 等 式 可 将 式 转 化 为 3332 24abbccaabc ,在取等条件一致的情况下,可得结论. 【详解】 (1)1abc 111111 abcbcacab abcabc 222222222 2222abcabbccaabbcac 当且仅当abc时取等号 222 111 22abc abc ,即: 222 111 abc abc (2) 333 3abbccaabbcca,当且仅当abc时取等号 又2abab,2bcbc,2acac(当且仅当abc时等号同时成立) 3332 3 22224abbccaabbcacabc 又1abc= 333 24abbcca 【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题,考查学生对于基本不等式的变形和应用能力, 需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.