1、20192019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学 参考公式：参考公式： 若事件,A B互斥，则 ()( )( )P ABP AP B 若事件,A B相互独立，则()( ) ( )P ABP A P B 若事件A在一次试验中发生的概率是p,则n 次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 ( )(1)(0,1,2, ) kkn k nn P kC ppkn 台体的体积公式 1122 1 () 3 VSS SS h 其中 12 ,S S分别表示台体的上、下底面积，h表 示台体的高 柱体的体积公式VSh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高
2、锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式 2 4SR 球体积公式 3 4 3 VR 其中R表示球的半径 选择题部分（共选择题部分（共 4040 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分, ,在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知全集1,0,1,2,3U ，集合0,1,2A ， 1 01B , , ，则 UA B （ ） A. 1 B. 0,1 C. 1,2,3 D. 1,0,1,3 【答
3、案】A 【解析】 【分析】 本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】= 1,3 U C A，则 1 U C AB 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2.渐近线方程为0xy的双曲线的离心率是（ ） A. 2 2 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 本题根据双曲线的渐近线方程可求得ab，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算 能力的考查. 【详解】根据渐近线方程为xy0 的双曲线，可得ab，所以c 2a 则该双曲线的离心率为 e2 c a ， 故选：C 【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基
4、本要求.部分考生易出现理解性错误. 3.若实数 , x y满足约束条件 340 340 0 xy xy xy ，则32zxy的最大值是（ ） A. 1 B. 1 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知 识、基本技能的考查. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形 区域（包含边界） ，由图易得当目标函数=3 +2zxy经过平面区域的点(2,2)时，=3 +2zxy取最大值 max 3 22210z . 【点睛】
5、解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度， 也有可能在解方程组的过程中出错. 4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可 以得到柱体体积公式V Sh 柱体 ，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则 该柱体的体积是（ ） A. 158 B. 162 C. 182 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先根据三视图，还原得到几何体棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不 大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查. 【详解】由三视图得
6、该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为 4，下 底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3，则该棱柱的体积为 2646 336162 22 . 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5.若0,0ab ，则“4ab”是 “4ab”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取, a b的值，推出矛盾， 确定必要性不成立.题目
7、有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当0, 0ab时，2abab，则当4ab时，有24abab，解得4ab，充分 性成立；当=1, =4ab时，满足4ab，但此时=54a+b，必要性不成立，综上所述，“4ab”是 “4ab”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”， 通过特取, a b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 6.在同一直角坐标系中，函数 11 ,log(0 2 a x yyxa a 且0)a 的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题通过
8、讨论a的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确 结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当01a时，函数 x ya过定点(0,1)且单调递减，则函数 1 x y a 过定点(0,1)且单调递增，函 数 1 log 2 a yx 过定点 1 ( ,0) 2 且单调递减，D 选项符合；当1a 时，函数 x ya过定点(0,1)且单调递 增，则函数 1 x y a 过定点(0,1)且单调递减，函数 1 log 2 a yx 过定点 1 ( ,0 2 ）且单调递增，各选项均不 符合.综上，选 D. 【点睛】易出现的错误有，一是指数函数
9、、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通 过讨论a的不同取值范围，认识函数的单调性. 7.设01a，则随机变量X的分布列是： 则当a在0,1内增大时（ ） A. D X增大 B. D X减小 C. D X先增大后减小 D. D X先减小后增大 【答案】D 【解析】 【分析】 研究方差随a变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a表示，应用函数知识求解.本题根据方 差与期望的关系，将方差表示为a的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要 知识、基础知识、运算求解能力的考查. 详解】方法 1：由分布列得 1 () 3 a E X ，则 2222 1111
10、11211 ()01 333333926 aaa D Xaa ，则当a在(0,1)内增大时， ()D X先减小后增大. 方法 2：则 2 222 2 1(1)222213 ()()0 3399924 aaaa D XE XE Xa 故选 D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力 差，不能正确得到二次函数表达式. 8.设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点） ，记直线PB与直线 AC所成角为，直线PB与平面ABC所成角为，二面角PACB的平面角为，则（ ） A. , B. , C. , D. , 【答案
11、】B 【解析】 【分析】 本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的 计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则 可事倍功半. 【详解】 方法 1： 如图G为AC中点，V在底面ABC的投影为O，则P在底面投影D在线段AO上，过D 作DE垂直AE，易得/ /PEVG，过P作/PFAC交VG于F，过D作/DHAC，交BG于H，则 ,BPFPBDPED ， 则c o sc o s P FE GD HB D P BP BP BP B ， 即， tantan PDPD EDBD ，即y ，综上所述，答
12、案为 B. 方法 2：由最小角定理，记VABC的平面角为（显然 ） 由最大角定理 ，故选 B. 方法 3： （特殊位置）取VABC为正四面体，P为VA中点，易得 33322 2 cossin,sin,sin 6633 ，故选 B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便 解法. 9.已知, a bR，函数 32 ,0 ( ) 11 (1),0 32 x x f x xaxax x ，若函数( )yf xaxb恰有三个零点，则 （ ） A. 1,0ab B. 1,0ab C. 1,0ab D. 1,0ab 【答案】C 【解析】 【分析】 当
13、0x 时 ，()( 1)yfxa xbxa xbaxb最 多 一 个 零 点 ； 当0x时 ， 3232 1111 ()(1 )(1 ) 3232 yfxa xbxaxa xa xbxaxb，利用导数研究函数的单调性， 根据单调性画函数草图，根据草图可得 【详解】当0x 时，( )(1)0yf xaxbxaxba xb，得 1 b x a ；( )yf xaxb最 多一个零点； 当0x时， 3232 1111 ( )(1)(1) 3232 yf xaxbxaxaxaxbxaxb， 2 (1)yxax， 当1 0a ， 即1a时，0y，( )yf xaxb在0，)上递增，( )yf xaxb最多
14、一个零点 不 合题意； 当10a ，即1a 时，令0y得1xa，)，函数递增，令0y得0x，1)a，函数递 减；函数最多有 2个零点； 根据题意函数( )yf xaxb恰有 3 个零点函数( )yf xaxb在(,0)上有一个零点，在0， )上有 2 个零点， 如图： 0 1 b a 且 32 0 11 (1)(1)(1)0 32 b aaab ， 解得0b，10a， 3 1 0(11 6 ,)baa 故选：C 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及, a b两个参数，故按“一元化”想法，逐步 分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底. 10.设, a bR，数列 n a
15、中， 2 11 , nn aa aab ， Nn ,则（ ） A. 当 10 1 ,10 2 ba B. 当 10 1 ,10 4 ba C. 当 10 2,10ba D. 当 10 4,10ba 【答案】A 【解析】 【分析】 对于 B，令 2 1 4 x0，得 1 2 ，取 1 1 2 a ，得到当 b 1 4 时，a1010；对于 C，令 x220，得 2 或 1，取 a12，得到当 b2 时，a1010；对于 D，令 x240，得 117 2 ，取 1 117 2 a ，得到当 b4 时，a1010；对于 A， 2 2 11 22 aa， 22 3 113 () 224 aa， 422
16、 4 319117 ()1 4216216 aaa， 当 n4时， 1n n a a an 1 2 n a 1 13 22 ， 由此推导出 10 4 a a （ 3 2 ） 6，从而 a 10 729 64 10 【详解】对于 B，令 2 1 4 x0，得 1 2 ， 取 1 1 2 a ， 2 11 10 22 n aa， ， 当 b 1 4 时，a1010，故 B错误； 对于 C，令 x220，得 2或 1， 取 a12，a22，an210， 当 b2时，a1010，故 C 错误； 对于 D，令 x240，得 117 2 ， 取 1 117 2 a ， 2 117 2 a ， 117 2
17、n a 10， 当 b4时，a1010，故 D 错误； 对于 A， 2 2 11 22 aa， 22 3 113 () 224 aa， 422 4 319117 ()1 4216216 aaa， an+1an0，an递增， 当 n4时， 1n n a a an 1 2 n a 1 13 22 ， 5 4 4 5 10 9 3 2 3 2 3 2 a a a a a a ， 10 4 a a （ 3 2 ）6，a10 729 64 10故 A 正确 故选：A 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的 可能取值，利用“排除法”求解. 非选择题
18、部分（共非选择题部分（共 110110 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分分 11.复数 1 1 z i （i为虚数单位） ，则| z _. 【答案】 2 2 【解析】 【分析】 本题先计算z，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】 112 | |1|22 z i . 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题. 12.已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230xy 与圆相切于点( 2, 1)A ，
19、则 m_，r _. 【答案】 (1). 2m (2). 5r 【解析】 【分析】 本题主要考查圆的方程、 直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC的斜率， 进一步得到其方程， 将(0,)m 代入后求得m，计算得解. 【详解】 可知 11 :1(2) 22 AC kAC yx ， 把( 0 , )m代入得2m ， 此时|4 15rAC . 【点睛】解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质. 13.在二项式 9 ( 2)x的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_. 【答案】 (1). 16 2 (2). 5 【解析】 【分析】 本题主要考查二项式
20、定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项 入手，根据要求，考察x的幂指数，使问题得解. 【详解】 9 ( 2)x的通项为 9 19( 2) (0,1,29) rrr r TCx r 可得常数项为 09 19( 2) 16 2TC， 因系数为有理数，1,3,5,7,9r=，有 246810 T , T , T , T , T共 5 个项 【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计 算要细心，确保结果正确. 14.在VABC中， 90ABC，4AB ，3BC ，点D在线段AC上，若45BDC，则BD_； cosA
21、BD_. 【答案】 (1). 12 2 5 (2). 7 2 10 【解析】 【分析】 本题主要考查解三角形问题， 即正弦定理、 三角恒等变换、 数形结合思想及函数方程思想.在BDC、ABD 中应用正弦定理，由coscos()ABDBDCBAC建立方程，进而得解. 【详解】在ABD中，正弦定理有： sinsin ABBD ADBBAC ，而 3 4, 4 ABADB , 22 ACABBC5 ， 34 sin,cos 55 BCAB BACBAC ACAC ，所以 12 2 5 BD . 7 2 coscos()coscossinsin 4410 ABDBDCBACBACBAC 【点睛】解答解
22、三角形问题，要注意充分利用图形特征. 15.已知椭圆 22 1 95 xy 的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为 圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_. 【答案】15 【解析】 【分析】 结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一 步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】方法 1：由题意可知|=|2OFOM |=c=， 由中位线定理可得 1 2| 4PFOM，设( , )P x y可得 22 (2)16xy， 联立方程 22 1 95 xy 可解得 321 , 22 xx （舍） ，
23、点P在椭圆上且在x轴的上方， 求得 315 , 22 P ，所以 15 2 15 1 2 PF k 方法 2：焦半径公式应用 解析 1：由题意可知|2OF|=|OM |=c=， 由中位线定理可得 1 2| 4PFOM，即 3 4 2 pp aexx 求得 315 , 22 P ，所以 15 2 15 1 2 PF k. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是 解答解析几何问题的重要途径. 16.已知aR， 函数 3 ( )f xaxx， 若存在tR， 使得 2 |(2)( )| 3 f tf t， 则实数a的最大值是_. 【答案】 max
24、4 3 a 【解析】 【分析】 本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题 .从研究 2 (2)( )23642f tf tatt入手，令 2 3641,)mtt ，从而使问题加以转化，通过绘制 函数图象，观察得解. 【详解】使得 222 (2)( )2(2)(2)223426f tf tatt ttatt， 使得令 2 3641,)mtt ，则原不等式转化为存在 1 1,|1| 3 mam ，由折线函数，如图 只需 11 1 33 a ，即 24 33 a，即a的最大值是 4 3 【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想. 17.已知正
25、方形ABCD的边长为 1，当每个(1,2,3,4,5,6) i i取遍时， 123456 |ABBCCDDAACBD的最小值是_；最大值是_. 【答案】 (1). 0 (2). 2 5 【解析】 分析】 本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化 归思想将问题逐步简化. 【详解】正方形ABCD的边长为 1，可得AB ADAC ，BD ADAB ， ABAD 0， 12345613562456 ABBCCDDAACBDABAD 要使 123456 ABBCCDDAACBD的最小，只需要 13556246 0 ，此时只需要取 123456 1,1
26、,1,1,1,1 此时 123456 min 0ABBCCDDAACBD 22 12345613562456 ABBCCDDAACBDABAD 22 13562456 22 13562456 22 5656 22 22 56565656 84 2 22 565656 842 22 22 565656 1242 2222 5656 124 2220 等号成立当且仅当 1356 , 均非负或者均非正，并且 2456 , 均非负或者均非正。 比如 123456 1,1,1,1,11 则 123456 max 202 5ABBCCDDAACBD . 点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”
27、入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等 式的综合题。 【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 18.设函数( )sin ,f xx xR. （1）已知0,2 ),函数()f x是偶函数，求的值； （2）求函数 22 () () 124 yf xf x 的值域. 【答案】 （1） 3 , 2 2 ； （2） 33 1,1 22 . 【解析】 【分析】 (1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确
28、定的值； (2)首先整理函数的解析式为sinyaxb的形式，然后确定其值域即可. 【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：sinf xx， 函数为偶函数，则当0x 时，0 2 kkZ ，即 2 kkZ ，结合0,2可取 0,1k ，相应的值为 3 , 2 2 . (2)由函数的解析式可得： 22 sinsin 124 yxx 1 cos 21 cos 2 62 22 xx 1 1cos 2cos 2 226 xx 131 1cos2sin2sin2 222 xxx 133 1cos2sin2 222 xx 3 1sin 2 26 x . 据此可得函数的值域为： 33 1,1 22 . 【点睛
29、】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等 知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19.如图，已知三棱柱 111 ABCABC，平面 11 A ACC 平面ABC,90ABC， 11 30 , ,BACAAACAC E F分别是 11 ,AC AB的中点. （1）证明：EFBC； （2）求直线EF与平面 1 ABC所成角的余弦值. . 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 5 . 【解析】 【分析】 (1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直； (2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后
30、结合线面角的正弦值和同角三角 函数基本关系可得线面角的余弦值. 【详解】(1)如图所示，连结 11 ,AE B E， 等边 1 AAC中，AEEC，则-18%， 平面 ABC平面 11 A ACC，且平面 ABC平面 11 AACCAC， 由面面垂直的性质定理可得： 1 AE 平面ABC，故 1 AEBC， 由三棱柱的性质可知 11 ABAB，而ABBC，故 11 ABBC，且 1111 ABAEA， 由线面垂直的判定定理可得：BC 平面 11 AB E， 结合EF平面 11 AB E，故EFBC. (2)在底面 ABC 内作 EHAC，以点 E为坐标原点，EH,EC, 1 EA方向分别为 x
31、,y,z轴正方向建立空间直角坐标 系Exyz. 设1EH ，则3AEEC， 11 2 3AACA,3,3BCAB， 据此可得： 1 33 0,3,0 ,0 ,0,0,3 ,0, 3,0 22 ABAC ， 由 11 ABAB可得点 1 B的坐标为 1 3 3 ,3,3 2 2 B ， 利用中点坐标公式可得： 3 3 ,3,3 4 4 F ，由于 0,0,0E ， 故直线 EF方向向量为： 3 3 ,3,3 4 4 EF 设平面 1 ABC的法向量为, ,mx y z，则： 1 3333 , , 330 2222 3333 , ,00 2222 m ABx y zxyz m BCx y zxy
32、， 据此可得平面 1 ABC的一个法向量为 1, 3,1m ， 3 3 ,3,3 4 4 EF 此时 64 cos, 53 5 5 2 EF m EF m EFm ， 设直线 EF与平面 1 ABC所成角为，则 43 sincos,cos 55 EF m. 【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和 逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严 密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向 量的夹角公式求解. 20.设等差数列 n a的前n项和为 n
33、 S， 3 4a ， 43 aS，数列 n b满足：对每 12 , nnnnnn nSb Sb Sb N成等比数列. （1）求数列 , nn ab的通项公式； （2）记, 2 n n n a Cn b N 证明： 12+ 2,. n CCCn n N 【答案】 （1）21 n an，1 n bn n； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)首先求得数列 n a的首项和公差确定数列 n a的通项公式， 然后结合三项成等比数列的充分必要条件整 理计算即可确定数列 n b的通项公式； (2)结合(1)的结果对数列 n c的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中 的
34、不等式. 【详解】(1)由题意可得： 1 11 24 3 2 33 2 ad adad ，解得： 1 0 2 a d ， 则数列 n a的通项公式为22 n an . 其前 n 项和 022 1 2 n nn Sn n . 则1,1,12 nnn n nb n nbnnb成等比数列，即： 2 1112 nnn n nbn nbnnb ， 据此有： 2 222 121112121 nnnnn nnn nbbn nnnnnbn nbb， 故 22 1 12121 (1)(1)(1)(2) n n nn nn bn n nnn n n nn . (2)结合(1)中的通项公式可得： 1122 21 2
35、11 n n n an Cnn bn nnnnnn ， 则 12 210221212 n CCCnnn. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解， ，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21.如图，已知点(10)F ，为抛物线 2 2(0)ypx p，点F为焦点，过点F的直线交抛物线于,A B两点，点 C在抛物线上，使得VABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记 ,AFGCQG的面积为 12 ,S S. （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求 1 2 S S 的最小值及此时点G的坐标. 【答案】 （1）1
36、，1x ； （2） 3 1 2 ，2,0G. 【解析】 【分析】 (1)由焦点坐标确定 p的值和准线方程即可； (2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的 结论即可求得 1 2 S S 的最小值和点 G 的坐标. 【详解】(1)由题意可得1 2 p ，则2,24pp，抛物线方程为 2 4yx，准线方程为1x . (2)设 1122 ,A x yB xy， 设直线 AB方程为1 ,0yk xk ，与抛物线方程 2 4yx联立可得： 2222 240k xkxk，故： 2222 2 4 2,1 k xxx x， 12121212 4 2,444
37、yyk xxy yxx k ， 设点 C的坐标为 33 ,C x y，由重心坐标公式可得： 123 3 G xxx x 3 2 14 2 3 x k ， 123 3 G yyy y 3 1 4 3 y k ， 令0 G y 可得： 3 4 y k ，则 2 3 3 2 4 4 y x k .即 222 1441 2 33 8 2 G k x kk ， 由斜率公式可得： 1313 22 311313 4 44 AC yyyy k yyxxyy ， 直线 AC 的方程为： 33 13 4 yyxx yy ， 令0y 可得： 2 313313 313 3 4444 Q yyyyyyyy y xx ，
38、 故 11 1 1 22 181 21 323 118 223 GF y Sxxyy kk ， 且 3 2 2 13 3 118 224 2 3 QG yy y Sxxy k ， 由于 3 4 y k ，代入上式可得： 1 2 2 228 33 y S kkk ， 由 1212 4 ,4yyy y k 可得 1 1 44 y yk ，则 1 2 1 4 4 y k y ， 则 22 11 1 22 1 2 11 1 2 2 81 233 22 228 44 33 yy S yS yy kkk y k 2 1 2 1 4 2 48 816 8 y y 2 1 2 1 43 21 248 2816
39、 8 y y . 当且仅当 2 1 2 1 48 8 8 y y ，即 2 1 84 3y ， 1 62y 时等号成立. 此时 1 2 1 4 2 4 y k y ， 2 81 22 3 G x k ，则点 G的坐标为2,0G. 【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系， 本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式 求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22.已知实数0a ，设函数( )= ln 1,0.f xaxxx （1）当 3 4 a 时，求函数( )f x的单调区间
40、； （2）对任意 2 1 ,) e x均有 ( ), 2 x f x a 求a的取值范围. 注：e2.71828.为自然对数的底数. 【答案】 （1） f x的单调递增区间是3,单调递减区间是0,3； （2） 2 0 4 a . 【解析】 【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可. (2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到 a 的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可. 【详解】(1)当 3 4 a 时， 3 ln1 4 f xxx ，函数的定义域为0,，且： 34331312 42141 41 312 xxxx fx xxx x x xxx ，
41、因此函数 f x的单调递增区间是3,单调递减区间是0,3. (2)由 1 (1) 2 f a ，得 2 0 4 a ， 当 2 0 4 a 时，( ) 2 f x a x ，等价于 2 2 1 2ln0 xx x aa ， 令 1 t a ，则 2 2t ， 设 2 ( )212lng ttxtxx，2 2t ， 则 2 11 ( )12ln x g tx tx xx ， （i）当 1 , 7 x 时， 1 12 2 x ， 则( )(2 2)84 2 12lng xgxxx， 记 1 ( )42 2 1ln , 7 p xxxxx， 则 2212121(1)1( 221) ( ) 111(1)(12 ) xxxxxxx p x xxxx xx xxxx 列表讨论： x 1 7 （ 1 1 7 ，）
