1、理科数学理科数学 巢湖一中巢湖一中 合肥八中合肥八中 淮南二中淮南二中 六安一中六安一中 南陵中学南陵中学 舒城中学舒城中学 太湖中学太湖中学 天天长中学长中学 屯溪一中屯溪一中 宣城中宣城中学学 滁州中学滁州中学 池州一中池州一中 阜阳一中阜阳一中 灵璧中学灵璧中学 宿城一中宿城一中 本试卷分第卷 （选择题） 和第卷 （非选择题） 两部分本试卷分第卷 （选择题） 和第卷 （非选择题） 两部分 满分满分 150 分， 考试时间分， 考试时间 120 分钟分钟 请请 在答题卷上作答在答题卷上作答 第卷（选择题第卷（选择题 共共 60 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题
2、，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 ）一项是符合题目要求的 ） 1已知集合 | 22Axx， 2 |28 0BxxxN，则AB的真子集个数为（ ） A3 B4 C7 D8 2若纯虚数 z 满足(23 )5zimi，则实数 m 的值为（ ） A 15 2 B 15 2 C 10 3 D 10 3 3 “共享单车，绿色出行”是近年来火爆的广告词，现对某市 10 名共享单车用户一个月内使用共享单车的 次数进行统计，得到数据如下所示，下列关于该组数据的说法错误的是（ ） A极差为 36 B众数为 34 C
3、中位数为 27 D平均数为 32 4 “4m”是“函数 2 ( )2lnf xxmxx在(0,)上单调递增”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5若 22 sin2cos2cossin1，则tan2 4 （ ） A7 B7 C 1 7 D 1 7 6已知 1 0.3 2 0.2 3 ,0.5 ,log0.5xyz，则（ ） Ayzx Bxzy Cyxz Dzyx 7已知抛物线 2 8xy的焦点为 F，准线为 l，过抛物线上一点 P 作PQl，垂足为 Q，若| 4PF ，则 FQP（ ） A30 B45 C60 D75 82020 年是全面建成小康社
4、会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年为更好地将“精准 扶贫”落到实处，某地安排 7 名干部（3 男 4 女）到三个贫困村调研走访，每个村安排男、女干部各 1 名， 剩下 1 名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有（ ） A72 种 B108 种 C144 种 D210 种 9已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，点 P 在棱AD上，过点 P 作该正方体的截面，当截面平行于 平面 11 B DC且面积为3时，线段AP的长为（ ） A2 B1 C3 D 3 2 10已知定义域为R的函数( )f x满足：图象关于原点对称； 3 ( ) 2 f xfx ；当 3 0, 4
5、 x 时， 2 ( )log (1)f xxm若 2 (2020)log 3f，则m（ ） A1 B1 C2 D2 11将函数( )2sin()0,| 2 f xx 的图象向左平移 2 个单位长度后得到的部分图象如图所 示，有下列四个结论：(0)1f；( )3yf x在0, 上有两个零点；( )f x的图象关于直线 6 x 对称；( )f x在区间 28 , 33 上单调递减，其中所有正确结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 12设双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，过点 1 F的直线 l 与 C 的两支分别交 于点 A，B，若点
6、M 满足AMMB，2 1 | 2 2 MFABa，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） Ayx B2yx C3yx D2yx 第卷（非选择题第卷（非选择题 共共 90 分）分） 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分第第 13 题题第第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答题为必考题，每个试题考生都必须作答第第 22 题题第第 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 ） 13若实数 x，y 满足 30 4 1 0 xy xy y ，则3zxy的最大值
7、为_ 14若平面向量,m n满足| 2m ，| 3n ，且|32 | 6mn，则m与n夹角的大小为_ 15 在ABC中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 若s i n3 s i n0 2 cAaC ，36cb， 且点 M 满足 1 3 AMAB，则CM的长为_ 16在正三棱锥SABC中，6ABBCCA，点 D 是SA的中点，若SBCD，则该三棱锥外接球 的表面积为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17 （本小题满分 12 分） 已知首项为 4 的
8、数列 n a的前 n 项和为 n S，且 1 1 2 2 33 n nnn SSa （）求证：数列 2 n n a 为等差数列，并求数列 n a的通项公式； （）若 1nn ba ，求数列 n b的前 n 项和 n T 18 （本小题满分 12 分） 已知多面体SABCDS如图所示，四边形ABCD为梯形，90BADADC，SD 平面ABCD， / /SD SB ， 2 3 2 ABSD SA ，4ADCD （）求证：/ /DS平面BCS； （）求平面ABS与平面CDS所成锐二面角的余弦值 19 （本小题满分 12 分） 某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善据统计，该校 2014 年
9、到 2020 年所招的学生高考 成绩不低于 600 分的人数 y 与对应年份代号 x 的数据如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代号 x 1 2 3 4 5 6 7 不低于 600 分的人数 y（单位：人） 29 33 36 44 48 52 59 （）若 y 关于 x 具有较强的线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程 ybxa，并预测 2021 年该校 所招的学生高考成绩不低于 600 分的人数； （）今有 A，B，C，D 四位同学报考该校，已知 A，B，C 被录取的概率均为 1 3 ，D 被录取的概率为 1 2 ， 且每位同学是否
10、被录取相互不受影响，用 X 表示此 4 人中被录取的人数，求 X 的分布列与数学期望 参考公式： 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx 参考数据： 7 1 301 i i y ， 7 1 140 ii i xxyy 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，且过点 3 1, 2 P （）求椭圆 C 的方程； （）若直线 3 2 yxm （0m且3m ）交椭圆 C 于 A，B 两点，记直线,PA PB的斜率分别 为 12 ,k k，探究： 1 2 k k是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明
11、理由 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 1 2 ( )()sinf xxmx，其中 1 4 m （）当1m时，求曲线( )yf x在(0,(0)f处的切线方程； （）求证：( )f x在区间0, 2 上有唯一极小值点 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第 一题记分，解答时请写清题号一题记分，解答时请写清题号 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 1cos 3sin x y （为参数） ，以坐标
12、原点为极点，x 轴 正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 0( ) R （）求曲线 C 的极坐标方程； （）当 0 , 6 2 时，设直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点，求|OMON的取值范围 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2 ( )log (|21|4|)()f xxxm mR （）若函数( )f x的定义域为R，求 m 的取值集合 M； （）在（）的条件下，正数 a，b 满足, a bM，求证： 1 44914 ab ab 理科数学参考答案理科数学参考答案 一一、选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5
13、 分，共分，共 60 分分在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C A A D B C A B C B 1A 由题意得，|(2)(4) 00,1,2BxxxN，0,1 AB，AB的真子集个数为 2 213 ，故选 A 2 D 由题意得， 5(5)(23 )103152 23(23 )(23 )1313 mimiimm zi iii ， 则 1030 1520 m m ， 解得 10 3 m ， 故选 D 3C 该组数据的极差为 36，众数为 34，中位
14、数为 29.5，平均数为 1 30( 1375432441923)32 10 ，观察选项可知，故选 C 4A 若 2 ( )2lnf xxmxx在(0,)上单调递增，则 1 ( )40fxxm x ，即 1 4xm x ，则 4m，故选 A 5 A 由题意得，tan2， 2 2t a n44 t a n2 1 t a n1 43 ， 1 t a n2 t a n27 41 t a n2 故 选 A 6D 31x ， 0.30 0.50.50.51y， 0,255 log0.5log 2log50.5z ，zyx， 故选 D 7B 由题意得，(0,2)F，| |24 P PQPFy，2 P y
15、，4 p x ，FPPQ，PFQ 是等腰直角三角形，45FQP，故选 B 8C 每个村男、女干部各 1 名，可先安排男干部，共 3 3 6A 种，再安排女干部，共有 33 43 24C A 种， 共有6 24144种不同的安排方案，故选 C 9A 如图，过点 P 作 111 ,D B BC的平行线，分别交棱 1 ,AB AA于点 Q，R，连接,QR BD，易知PQR是 等边三角形，且为截面，则 2 13 3 22 PQ ，解得2PQ ， 2 2 2 APPQ故选 A 10B 由题意得， 33 ( ) 22 f xfxfx ，故 3 (3)( ) 2 fxfxf x ，即函数( )f x的 周期
16、为 3， 22 13 (2020)(1)loglog 3 22 fffm ，解得1m ，故选 B 11C ( )2 s i n ()0, | 2 fxx 的图象向左平移 2 个单位长度后得 ( )2sin2sin0,| 222 g xxx ，由图象知( )g x的周期 T 满足 7 466 T ，4T， 21 2T ，又2 6 g ， 11 2() 26222 kk Z， 即2() 6 kk Z又| 2 ， 6 ， 1 ( )2sin 26 f xx ，(0)2sin1 6 f 令 ( )30f x ，则 13 sin 262 x ，又0, x， 12 , 2663 x ， 1 263 x 或
17、 2 3 ， 即 3 x 或，( )3yf x在0, 上有两个零点令() 262 x kk Z，解得 2 2() 3 xkk Z，( )f x的图象不关于直线 6 x 对称令 13 22() 2262 kxkk Z剟， 解得 28 44() 33 kxkk Z剟， 即( )f x的单调递减区间 为 28 4,4 33 kk ，令0k ，得( )f x在区间 28 , 33 上单调递减，综上所述，正确，故 选 C 12B 不妨设 A 在 B 的右侧，作出示意图如图，由题意得，| 4ABa， 2 90AF B根据双曲线的 定义得 12 2AFAFa， 21 2BFBFa，则 21 2BFBFa，且
18、有 111 4AFABBFaBF，代入 可得 21 2AFaBF， 则 22 BFAF， 2 90AF B， 则 22 45ABFBAF ， 且 222 22 ABAFBF， 则 22 2 2BFAFa，则 1 (2 22)BFa 在 12 BFF中， 12 135FBF， 则 222 1212 12 cos135 2 BFBFFF BF BF ， 即 22 2 2(208 2)4 2(168 2) ac a ， 整理可得，3ca，2ba，故渐近线方程为2yx 故选 B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分将答案填写在题中的横线上
19、将答案填写在题中的横线上 ） 1316 作出不等式组所表示的平面区域如图所示，当直线3zxy过点(5, 1)B时，z 取得最大值 16 1460（或填 3 ） 由题意得， 22 2 |32 |912436mnmm nn，即3636 122 3 cos,36m n ，则 1 cos, 2 m n，故,60m n 152 sin3 sin0 2 cAaC ，sin3 cos0cAaC，sinsin3sincos0CAAC，又 sin0A，tan3C ，0C， 2 3 C 由正弦定理得， 3 sin1 2 sin 23 b bC B cb ， 0 3 B ， 6 B ， 6 AB C 在ACM 中，
20、由余弦定理得， 222 2cosCMAMACAM ACA， 即 222 3 2(2 3)222 3 2 CM ，解得2CM 1654 设ABC的中心为 G， 连接,SG BG， SG 平面ABC， S GA C， 又A C G B， AC 平面SBG， ACBS，又BSCD，故BS 平面ACS，又SABC为正三棱锥，,SA SB SC两两垂直，故 外接球直径为3 233 6，故三棱锥SABC外接球的表面积为54 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写解答应写出出文字说明，证明过程或演算步骤文字说明，证明过程或演算步骤 ） 17 （本小题满分 12 分
21、） （）由题意得， 1 1 23 2n nn aa ， 1 1 3 22 nn nn aa ， 2 分 故数列 2 n n a 是以 2 为首项，3 为公差的等差数列， 4 分 23(1)31 2 n n a nn，(31) 2n n an 6 分 （）由题意得， 1 1 (32) 2n nn ban ， 故 2341 5 28211 2(32) 2n n Tn ， 3452 25 28 211 2(32) 2n n Tn ， 23412 5 23 23 23 2(32) 2 nn n Tn 23412 3 23 23 23 2(32) 28 nn n 2 (1 3 ) 24 n n ， 11
22、 分 解得 2 (31) 24 n n Tn 12 分 18 （本小题满分 12 分） （）SD 平面ABCD，/ /SD SB ，SB 平面ABCD， SBAB 22 3SBSAAB，BSDS ， 四边形BSDS为平行四边形，/ /DSBS， 4 分 又DS平面BCS，BS 平面BCS，/ /DS平面BCS 5 分 （） 以 D 为原点，,DA DC DS所在直线分别为 x， y， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)D， (4,3, 3) S ，(0,4,0)C，(0,4,0)DC ，(4,3, 3)DS 设平面CDS的法向量为( , , )nx y z，则 0 0 n
23、DC n DS ， 即 40 4330 y xyz ，得(3,0,4)n 8 分 又易知平面ABS的一个法向量为(1,0,0)m 9 分 设平面ABS与平面CDS所成锐二面角为，则 3 |cos| |cos,| 5 m n， 即平面ABS与平面CDS所成锐二面角的余弦值为 3 5 12 分 19 （本小题满分 12 分） （）根据表中数据，计算可得4x ，43y ， 7 2 1 28 i i xx ， 2 分 又 7 1 140 ii i xxyy ， 7 1 7 2 1 140 5 28 ii i i i xxyy b xx ，则 435 423aybx ， y 关于 x 的回归直线方程为5
24、23yx， 4 分 令8x ，可得5 82363y ， 即该高校 2021 年所招的学生高考成绩不低于 600 分的人数预测值为 63 人 5 分 （）由条件可知，X 的所有可能取值为 0，1，2，3，4， 3 114 (0)11 3227 P X ， 23 1 3 1111110 (1)C111 3323227 P X ， 22 21 33 1111111 (2)111 3323323 P XCC ， 32 32 33 111117 (3)C1C1 3233254 P X ， 3 3 3 111 (4) 3254 P XC ， 10 分 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 4 27
25、10 27 1 3 7 54 1 54 4101713 ()01234 2727354542 E X 12 分 20 （本小题满分 12 分） （）由题意得， 22 222 3 2 13 1 4 c a ab abc ，解得 2 1 a b ， 椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 x y 4 分 （）联立 2 2 3 2 1 4 yxm x y ，解得 22 310 xmxm ， 其中 222 34140mmm ，解得22m ， 又0m且3m ，m 的取值范围是( 2,3)(3,0)(0,2) 6 分 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 12 3xxm， 2 12 1x xm， 1
26、2 12 12 3333 2222 11 xmxm kk xx 2 1212 1212 3333 4222 1 x xmxxm x xxx 2 2 2 3333 13 4222 131 mmmm mm 2 2 13 1 44 43 mm mm ， 11 分 即 1 2 k k是定值，且定值是 1 4 12 分 21 （本小题满分 12 分） （）当1m1 时， 1 2 ( )(1)sinf xxx，则 1 ( )cos 21 fxx x ， 1 (0) 2 f ，又(0)1f， 所求切线方程为 1 1 2 yx ，即220 xy 4 分 （）由题意得， 1 ( )cos 2 fxx xm 令
27、1 ( )cos 2 g xx xm ，则 3 2 1 ( )sin 4() g xx xm ， 1 4 m ，( )g x在0, 2 上单调递增 6 分 又(0)0 g ， 3 2 1 10 2 4 2 g m ，存在唯一实数 0 0, 2 t ， 使得 0 0g t，则当 0 0,xt时，( )0g x，函数( )g x单调递减； 当 0, 2 xt 时，( )0g x，函数( )g x单调递增 8 分 又 1 4 m ，则 1 4 m，即 1 2 m，即21m， 1 (0)10 2 g m ， 11 0 32 2 3 g m ， 1 0 2 2 2 g m ， 存在唯一实数 0 , 3
28、2 x ，使得 00 0 1 cos0 2 g xx xm ， 10 分 当 0 0,xx时，( )( )0fxg x，函数( )f x单调递减； 当 0, 2 xx 时，( )( )0fxg x，函数( )f x单调递增， ( )f x在区间0, 2 上有唯一极小值点 0 x 12 分 请考生从第请考生从第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第 一题记分，解答时请写清题号一题记分，解答时请写清题号 22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 （）曲线 C 的参数方程为 1co
29、s 3sin x y （为参数） ， 消去，得 22 (1)(3)1xy，即 22 22 330 xyxy， 将cos ,sinxy代入上式，得 2 2 cos2 3 sin30， 即为曲线 C 的极坐标方程 5 分 （）将 0 代入曲线 C 的极坐标方程， 得 2 00 2 cos2 3 sin30 6 分 设 10 ,M ， 20 ,N ，则 1200 2cos2 3sin， 7 分 12000 |2cos2 3sin4sin 6 OMON 8 分 0 , 6 2 ， 0 2 , 633 ， 0 4sin(2 3,4 6 ， 即|OMON的取值范围为(2 3,4 10 分 23 （本小题满
30、分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 （）函数( )f x的定义域为R， |21|4|0 xxm，即|21|4|mxx在xR上恒成立 设( ) |21|4|g xxx，则 1 35, 2 1 ( )3,4 2 35,4 xx g xxx xx 剟 ， 结合函数( )g x的图象可知 min 17 ( ) 22 g xg ， 7 2 m ，即集合 7 | 2 Mmm 5 分 （）由题意得， 7 0 2 a， 7 0 2 b，要证 1 44914 ab ab ， 即证44914()abab，即证44914()0abab， 即证(27)(27)0ab， 8 分 又 7 0 2 a， 7 0 2 b，(27)(27)0ab， 故 1 44914 ab ab 得证 10 分
