1、数学试卷 第 1 页 共 4 页 2021 年天津市滨海七所学校高三毕业班联考年天津市滨海七所学校高三毕业班联考 数学试卷数学试卷 本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 考试结束后，上交答题卡. 第第 I I 卷卷（选择题，共 45 分） 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 9 9 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 4545 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. .） 1.已知全集1,2,3,4,5U ，集合3 5A，1,2,5B ，则 U
2、 BA （ ） A 2 B1,2 C 2,4 D 1,2,4 2.设Rx，则“21 x”是“1 2 x”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离 分家万事休”函数 () ( ) 2cos xx x ee f x x 的部分图象大致为( ) A B. C. D. 4.中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神看过电影“夺冠”后，某 大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明 显提高， 现随机抽取 800
3、 个学生进行体能测试， 成绩的频 率分布直方图如图，数据分成六组40,50， 50,60 9 0 , 1 0 0，则成绩落在70,80上的人数为 （ ） 数学试卷 第 2 页 共 4 页 A12 B120 C24 D240 5.在正方体 1111 ABCDABC D中，三棱锥 11 ABCD的表面积为4 3，则正方体外接球的体 积为( ) A4 3 B6 C 32 3 D 8 6 6.已知函数 x exf )(，) 3 1 (log e fa ，) 1 (log3 e fb ，) 9 1 (log 1 e fc ，则下述关系式正 确的是（ ） Abac Bbca Ccab D abc 7.已知
4、抛物线 2 2(0)ypx p上一点 (1 )Mm， 到其焦点的距离为5，双曲线 22 22 1 xy ab (0,0)ab 的左顶点为A且离心率为 2 5 ，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则双 曲线的方程为 （ ） A1 4 2 2 y x B1 4 2 2 y x C12 22 yx D14 22 yx 8.设函数 3cos22sin cosf xxxx，给出下列结论： f x的最小正周期为 yf x的图像关于直线 12 x 对称 f x在 2 , 6 3 单调递减 把函数2cos2yx的图象上所有点向右平移 12 个单位长度，可得到函数 yf x的图象。 数学试卷 第 3 页 共
5、4 页 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 9.已知函数 2 1 log,1 ( ) ( +1)41 2 , a f x xa x xx (0a， 且1a )在区间(,) 上为单调函数， 若函数( )( )2g xf xx有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A 1 1 4 2 ， B 1 3 4 4 ， C 1 113 4 216 ， D 1 313 4 416 ， 第卷第卷 ( (非选择题，共 105 分) 二二. .填空题填空题( (本大题共本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分.).) 10.若复数z满足 13i 1i z
6、(其中i是虚数单位)，则z为_. 11.在二项式 9 2 x x 的展开式中，含 6 x的项的系数为_. 12.已知直线l：y xm 被圆C： 22 4021xxyy截得的弦长等于该圆的半径，则 实数m 13.为了抗击新冠肺炎疫情，现从A医院 150 人和B医院 100 人中, 按分层抽样的方法，选出 5 人加入“援鄂医疗队” ，现拟再从此 5 人中选出两人作为联络人，则这两名联络人中B医院 至少有一人的概率是_.设两名联络人中B医院的人数为X，则X的期望为 . 14.已知正实数, a b满足 2 lg()lglg ba ab ab ，则 b a ba 2 1 2 1 的最小值为_ 15.已知
7、平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，AB 2 ，AD 1 ，DAB60，其 中点P在线段MD上且满足AP CP = 25 16 ，DP=_，若点N是线段AB上的动点，则 ND NP 的最小值为_. 数学试卷 第 4 页 共 4 页 三三. .解答题解答题( (本大题本大题 5 5 小题，共小题，共 7575 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) ) 16.（本小题满分 14 分） ABC中，角, ,A B C所对边分别为, , ,a b c且 2 1,cos,5. 3 ABC bcAS （）求边a及sinB的值； （）求cos 2 6 C 的
8、值. 17.（本小题满分 15 分） 如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD为直角梯形，BCAD/，1 2 1 ADBC且 3CD ，2PAPAFADE的中点，是棱的中点，为，,ABCDPE底面 （）证明：PCDBF平面/； （）求二面角FBDP的正弦值； （）在线段PC（不含端点）上是否存在一点M,使得直线BM 和平面BDF所成角的正弦值为 13 39 ？若存在，求出此时PM的 长；若不存在，说明理由. E A P B C D F 数学试卷 第 5 页 共 4 页 18.（本小题满分 15 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 2 2 ， 1 F、 2 F
9、分别为椭圆E的左、 右焦点，M 为E上任意一点， 12 F MF S 的最大值为 1，椭圆右顶点为A. （）求椭圆E的方程； （）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点） ，连 接AC交y轴于点P.如果 1 2 PA PB时，求直线l的方程 19.（本小题满分 15 分） 设 n a是等比数列，公比大于 0， n b是等差数列, * nN.已知 1 1a ， 32 2aa， 435 abb， 546 2abb. （）求 n a和 n b的通项公式； （）设数列 n c满足 ,3, ,33 , 1 , 1 1 21 k k kk n na n ccc 其中k N
10、（i）求数列 33 (1) nn bc 的通项公式； （ii）若)( )2)(1( Nn nn nan 的前n项和为 n T，求)( 3 1 3 NncbT n i iin . 20.（本小题满分 16 分） 数学试卷 第 6 页 共 4 页 已知函数 2 ( )2lnlnf xxxax . ()aR （）令( )( )g xxfx，讨论( )g x的单调性并求极值； （）令 2 ( )( )2lnh xf xx，若( )h x有两个零点； （i）求a的取值范围； （ii）若方程(ln)0 x xeaxx有两个实根 1 x， 2 x，且 12 xx.证明： 12 2 12 xx e e x x
11、 数学试卷 第 7 页 共 4 页 2021 年天津市滨海七所学校高三毕业班联考 数学试卷（理科） 评分标准 一、一、 选择题（本题共选择题（本题共 9 9 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 4545 分）分） B BACDB ADCDACDB ADCD 二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分).). 10. 5 11144 12. 24或 13 7 10 4 5 141 5 2 15 3 4 135 256 (注：两个空的答对一个空给 3 分) 三三. .解答题解答题( (本大题本大题 5 5 小题，共小题，共
12、 7575 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) ) 16. （本小题满分 14 分） 解： （）因为 3 5 sin, 0, 3 2 cosAAA得， 1 分 由5 3 5 2 1 sin 2 1 bcAbcS ABC 得6bc， 3 分 2, 31cbcb，得由 4 分 5 3 2 2 cos 222 a bc acb A得由余弦定理 6 分 由正弦定理 C c B b A a sinsinsin 得1sinB 8 分 （） 2 , 0 BBABC由（）可知中，在 9 分 由于 3 5 sincos, 3 2 cossinACAC， 10 分
13、数学试卷 第 8 页 共 4 页 ，所以 9 54 3 5 3 2 2cossin22sinCCC ， 9 1 1cos22cos 2 CC 12 分 . 18 543 6 sin2sin 6 cos2cos 6 2cos CCC所以 14 分 17. （本小题满分 15 分） 解：（）法一：法一：取 PD 的中点为 H， 1 分 连接 FH，HC.因为 F 为 PA 的中点，所以FH/ 1 2 AD， 又因为BC/ 1 2 AD，所以BC/FH,所以四边形 BCHF 为平行四边形， 所以CBF/H， 2 分 又因为PCD.BF/PCD,PCD,C平面所以平面平面BFH 3 分 （）法二：法二
14、：由题意得： BC / DE,90 ,ADC BCDE所以四边形为矩形， 数学试卷 第 9 页 共 4 页 ,PEABCD又面 ,Exyz如图建立空间直角坐标系 0 0 0 ,1,0,0 ,0, 3,0 ,1,0,0 ,EABD 则， ， 2 3 , 0 , 2 1 ,0 , 3, 1,3, 0 , 0FCP 2 分 设平面 PCD 的法向量为zyxm,，0 , 3, 0DC，3, 0 , 1DP 0, 0 DC m DP m 则 30 , 30 y xz 则 0,则y3,x 不妨设1,则z (3,0,1)m 可得 3 分 , 0 2 3 , 3, 2 1 mBFBF，可得又 4 分 ./,B
15、CDBFBCDBF平面所以平面又因为直线 5 分 （）设平面 PBD 的法向量为 1111 ,zyxn ，,0 , 3, 1DB,3, 3, 0 BP 则，可得，不妨设，即1, 1, 3, 3 033 03 0 0 1 11 11 1 1 nx zy yx nBP nDB 6 分 设平面 BDF 的法向量为 2222 ,zyxn ，, 2 3 , 0 , 2 3 DF 数学试卷 第 10 页 共 4 页 则，可得，不妨设，即3 , 1 , 3, 3 0 2 3 2 3 03 0 0 22 22 22 2 2 nx zx yx nDF nDB 7 分 因此有 12 12 12 7 65 cos,
16、 65 n n n n nn ， 8 分 （注：结果正负取决于法向量方向） 于是, 65 654 ,cos1,sin 21 2 21 nnnn 9 分 所以二面角FBDP的正弦值为. 65 654 10 分 (注：前面设角后面不写答话不扣分) （）设 1, 3,3, 3 ,3PMPC ， 11 分 0,1 ，33,33,PMBPBM 12 分 由（）可知平面 BDF 的法向量为，3 , 1 , 3 2 n ， 13 39 33213 3333333 ,cos 2 2 2 2 2 nBM nBM nBM 13 分 有，0143 2 解得 ，或舍 3 1 1 14 分 可得， 3 3 , 3 3
17、, 3 1 PM 数学试卷 第 11 页 共 4 页 所以. 3 7 PM 15 分 18. （本小题满分 15 分） 解： （）当M为椭圆的短轴端点时， 12 F MF S取得最大值 即 1 21 2 Sc b； 1 分 又因为 2 2 c a ， 222 abc 2 分 解得：2a ，1b，1c 3 分 所以椭圆方程为 2 2 1 2 x y 4 分 （）( 2,0)A，根据题意，直线l斜率存在且不为 0 设直线l：(2)yk x， 5 分 (,) oo B xy 联立 2 2 (2) 1 2 yk x x y 得 2222 (12)4 2420kxk xk 6 分 2 2 4 2 2 1
18、2 o k x k ， 2 2 42 2 12 o k x k 7 分 即 2 22 2(21)2 2 (,) 1212 kk B kk 8 分 由题意得： 2 22 2(21)2 2 (,) 1212 kk C kk 2 2 2 2 2 12 2(21) 2 12 AC k k kk k k 9 分 数学试卷 第 12 页 共 4 页 （注：因为直线AB与直线AC关于x轴对称，所以 AC kk 也可） 所以直线AC：(2)yk x ，令0 x，则(0,2 )Pk 10 分 (注：写出P点坐标才给分) 2 22 2(21)2 2 ( 2,2 ) (,2 ) 1212 kk PA PBkk kk
19、 42 2 41021 1 22 kk k 12 分 （注：写出向量坐标，没整理对给 1 分） 即 42 81850kk 13 分 解得： 2 5 () 2 k 舍 2 1 4 k 14 分 所以： 1 2 k 直线l： 2 22 x y 或 2 22 x y 15 分 19. （本小题满分 15 分） （）设等比数列 n a的公比为 q.由 132 1,2,aaa 可得 2 20qq .因为 0q ，可得 2q ， 1 分 故 1 2n n a . 2 分 设等差数列 n b的公差为 d，由 435 abb，可得 1 34.bd 由 546 2abb，可得 1 31316,bd 数学试卷 第
20、 13 页 共 4 页 从而 1 1,1,bd 3 分 故 . n bn 4 分 所以数列 n a的通项公式为 1 2n n a ，数列 n b的通项公式为. n bn （） （i） ,3,2 ,33 , 1 1 1 kk kk n n n c 5 分 ) 1() 1( 333 n abcb nnn 6 分 nnnn 363) 12(3 11 7 分 （ii） 1 2 2 2 )2)(1( 2 )2)(1( 11 nnnn n nn na nnn n . 8 分 13 2 23 2 4 4 5 8 3 2 4 4 2 1 3 2 133 3 nn T nn n 9 分 （注：先求 n T再求
21、3n T也没问题） 2 1 23 23 3 n T n n 10 分 nnnn i i i iii i ii i ii bcbbcbcb 3 1 3 1 3 1 3 1 1-)1-(）（）（ 11 分 n ii i i n i bcb 3 11 33 ) 1( 数学试卷 第 14 页 共 4 页 3 1 11 31-6 )3 (1 3 )(1 3 ) 3 (3 63 ) 1-61 32 n nnnn n ii ii i （ （等比求和 1 分，等差求和 1 分） 13 分 2 323 10 96 2 3)31 ( 2 ) 1-3(3 5 ) 1-63 21nnnnnnn （ 14 分 （注：写
22、成 33 333 1111 nn nii nn i ii iiii bcbbb c (1 3 ) 33 (1 3 )31-6 ) 21 31-6 nnnn （ 12 6932 3 102 nnn 没问题 ） 2 329 10 46 23 8 1 3 1 3 nnnn i iin n cbT n 15 分 （注：结果对即可如） 20. （本小题满分 16 分） 解： （）因为 2ln ( )1 xa fx xx 所以( )( )2lng xxfxxxa 1 分 (0,)x 2 ( ) x g x x 2 分 x (0,2) 2 (2,) ( )g x 负 0 正 ( )g x 单调递减 极小值
23、单调递增 数学试卷 第 15 页 共 4 页 (注意：没有列表，写清楚导函数符号单调性不减分，没有写导函数符号直接出单调区间减 1 分) 3 分 所以( )g x单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,) 极小值为(2)22ln2ga, 无极大值. 4 分 （）( )lnh xxax有两个零点. 因为( )1 axa h x xx 所以 5 分 当0a 时，( )0h x，( )h x单调递增，不可能有两个零点； 6 分 当0a时，令( )0h x ，得0 xa，( )h x单调递减； 令( )0h x，得xa，( )h x单调递增. 7 分 所以 min ( )( )lnh xh aa
24、aa 要使( )h x有两个零点，即使 ( )0h a ，得ea， . 8 分 又因为(1)10h ，所以( )h x在(1, )e存在唯一一个零点 9 分 且ea， 2 ee0 aa ha， 所以( )h x在 e,ea上存在唯一一个零点，符合题意. 10 分 综上，当ae时，函数( )h x有两个零点. 法二：法二：( )lnh xxax有两个零点， 等价于1 ln x x x 时，a有两个实根， （1） 5 分 令( ) ln x F x x 2 ln1 ( ) ln x F x x 6 分 当(0,1)x时，( )0F x，( )F x单调递减，且( )0F x ； 7 分 当(1,
25、)xe时，( )0F x，( )F x单调递减； 数学试卷 第 16 页 共 4 页 当( ,)xe时，( )0F x，( )F x单调递增； 8 分 ( )F ee，1 ,( )xF x ， ,( )xF x 9 分 要使（1）有两个实数根，即使( )aF ee， 综上，当ae时，函数( )h x有两个零点. 10 分 （） e(ln)elne0 xxx xaxxxaxx有两个实根， 令 extx ， ( )lng ttat 有两个零点 1 t, 2 t, 1 11e x tx， 2 22e x tx 所以 11 22 ln0 ln0 tat tat 11 分 （注意：上来没有直接换元，写
26、1 2 111 222 (ln)0 (ln)0 x x x eaxx x eaxx 给 1 分） 所以 2121 lnlnatttt （1） 2121 lnlnatttt （2） 12 分 （注意：写 21 21 212211 212211 (lnln)0 (lnln)0 xx xx x ex eaxxxx x ex eaxxxx 给 1 分） 要证 12 2 12 e xx e x x ，只需证 12 2 12 eee xx xx，即证 12 12 lnelne2 xx xx，13 分 所以只需证 12 lnln2tt . 由（1） （2）可得 22 11 21 2121 2 21 1 1
27、ln lnlnlnln 1 tt tttt tttt t tt t ， 数学试卷 第 17 页 共 4 页 只需证 22 11 2 1 1 ln 2 1 tt tt t t . 14 分 设 12 0tt，令 2 1 t t t ，则1t ，所以只需证 1 ln2 1 t t t ，即证 4 ln20 1 t t . 令 4 ( )ln2 1 h tt t ，1t ，则 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) t h t ttt t ， 15 分 ( )(1)0h th. 即当 1t 时， 4 ln20 1 t t 成立. 所以 12 lnln2tt，即 12 2 12 eee xx xx ， 即 12 2 12 e ex x x x . 16 分
