1、2021 届高考物理二轮复习力与曲线运动专项练习（届高考物理二轮复习力与曲线运动专项练习（4） 计算中心天体质量密度问题计算中心天体质量密度问题 1.由于行星自转的影响,行星表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同.航天员在某行星 的“北极”处从高h处自由释放一重物,测得经过时间 1 t重物下落到行星的表面,而在该行星“赤 道”处从高 h 处自由释放一重物,测得经过时间 2 t重物下落到行星的表面,已知该行星的半径 为 R,引力常量为 G,则该行星的平均密度为( ) A. 2 1 3 2 h GRt B. 2 1 3 4 h GRt C. 2 2 3 2 h GRt D. 2 2 3 4 h
2、GRt 2.如图所示，两颗人造卫星绕地球运动，其中一颗卫星绕地球做圆周运动，轨道半径为 r， 另一颗卫星绕地球做椭圆形轨道运动，半长轴为 a。已知在椭圆形轨道上运动的卫星绕地球 n 圈所用时间为 t，地球的半径为 R，引力常量为 G。则地球的密度为（ ） A. 23 23 3n r Gt R B. 23 23 4 3 n r Gt R C. 23 23 3n a Gt R D. 23 23 4 3 n a Gt R 3.我国航空航天技术已居于世界前列.如图所示,飞行器 P 绕某星球做匀速圆周运动,星球相对 飞行器的张角为 .已知万有引力常量 G,下列说法正确的是( ) A.轨道半径越大,周期越
3、短 B.若测得周期和张角,可得到星球的平均密度 C.若测得周期和张角,可得到星球的质量 D.若测得周期和轨道半径,可得到星球的平均 密度 4.假如宇航员乘坐宇宙飞船到达某一行星,在该行星“北极”距“地面”高h处无初速度释放一个 小球,经时间 t 落至“地面”.已知该行星的半径为 R、自转周期为 T,引力常量为 G,不计一切阻 力.则下列说法正确的是( ) A.该行星的第一宇宙速度为 2R T B.该行星的平均密度为 2 3 2 h Gt C.如果该行星存在一颗同步卫星,则它距该行星表面的高度为 22 3 2 2 2 hT R t D.宇宙飞船绕该行星做圆周运动的周期不小于 2 R t h 5.
4、科学家发现了一颗距离地球 14 光年的“另一个地球”沃尔夫，它是迄今为止在太阳系外发 现的距离地球最近的宜居星球.沃尔夫的质量为地球的 4 倍，它围绕红矮星运行的周期为 18 天.设想从地球发射一颗科学探测卫星围绕沃尔夫表面运行.已知引力常量为 G，天体的环绕 运动可看作匀速圆周运动.则下列说法正确的是( ) A.从地球发射该探测卫星的速度应该小于第三宇宙速度 B.根据沃尔夫围绕红矮星运行的周期可求出红矮星的密度 C.若已知围绕沃尔夫表面运行的探测卫星的周期和地球的质量，可近似求出沃尔夫的半径 D.沃尔夫绕红矮星公转和地球绕太阳公转的轨道半径的三次方的比值等于 2 18 () 365 6.习近
5、平主席在 2018 年新年贺词中提到，科技创新、重大工程建设捷报频传，“慧眼”卫星 遨游太空。“慧眼”于 2017 年 6 月 15 日在酒泉卫星发射中心成功发射，在 10 月 16 日的观测 中，确定了 射线的流量上限。已知“慧眼”卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为 r， 运动周期为 T，地球半径为 R，引力常量为 G，地球表面处的重力加速度为 g，则下列说法 正确的是（ ） A.地球的平均密度为 2 3 GT B.地球的质量为 2 gr G C.地球表面的重力加速度大小为 2 2 4 R T D.“慧眼”卫星的向心加速度大小为 2 2 4 r T 7.2018 年 3 月 17 日 1
6、5 时 10 分,我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭,成功将“陆 地勘查卫星四号”发射升空,卫星进入预定轨道绕地球做匀速圆周运动.已知引力常量为 G,地 球的半径为 R,为了测量地球的平均密度,还需测量的物理量有( ) A.“陆地勘查卫星四号”的轨道半径 r 和周期 T B.地球绕太阳运行的轨道半径 0 r和周期 0 T C.“陆地勘查卫星四号”的角速度 和周期 T D.“陆地勘查卫星四号”的线速度 v 和周期 T 8.2019 年 1 月 3 日，“嫦娥四号”成为了全人类第一个在月球背面成功实施软着陆的探测器. 为了减小凹凸不平的月面可能造成的不利影响，“嫦娥四号”采取了近乎垂直的着
7、陆方式.测 得“嫦娥四号”近月环绕周期为 T，已知月球的半径为 R，引力常量为 G，下列说法正确的是 ( ) A.“嫦娥四号”着陆前的时间内处于失重状态 B.“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做圆周运动的速度为 7.9 km/s C.月球表面的重力加速度 2 2 4 R g T 月 D.月球的密度 2 3 GT 9.开普勒452b 距离地球 1400 光年.如果将开普勒452b 简化成如图所示的模型：MN为该星 球的自转轴线.AB、是该星球表面的两点， 它们与地心 O 的连线OA OB、与地轴的夹角分别 为 30 ,60；在AB、 两点分别放置质量为 AB mm、的两物体.设该星球的自转周期为 T
8、，半径为 R，引力常量为 G.则下列说法正确的是( ) A.该星球的第一宇宙速度为 2R T B.若不考虑该星球自转，在 A 点用弹簧测力计测质量为 A m的物体，平衡时示数为 F，则星 球的质量为 2 A FR Gm C.放在AB、两处的物体随星球自转的向心力之比为 3 A B m m D.放在AB、两处的物体随星球自转的向心力之比为 3 A B m m 10.2020年6月23日,我国在西昌卫星发射中心成功发射北斗系统第55颗导航卫星,至此北斗 全球卫星导航系统星座部署全面完成.北斗导航系统第 41 颗卫星为地球同步轨道卫星,第 49 颗卫星为倾斜地球同步轨道卫星,它们的轨道半径约为 7
9、4.2m10,运行周期都等于地球的自 转周期 24 h.倾斜地球同步轨道平面与地球赤道平面成一定夹角,如图所示.已知引力常量 1122 6.67 10N m /kgG ,下列说法正确的是( ) A.根据题目数据可估算出地球的质量 B.地球同步轨道卫星可能经过北京上空 C.倾斜地球同步轨道卫星一天两次经过赤道正上方同一位置 D.倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大于第一宇宙速度 11.在星球 A 上将一小物块 P 竖直向上抛出，P 速度的二次方 2 v与位移 x 间的关系如图中实 线所示； 在另一星球 B 上用另一小物块 Q 完成同样的过程， Q 的 2 vx关系如图中虚线所示。 已知星球AB、的半
10、径相等，若两星球均为质量均匀分布的球体，两星球上均没有空气，不 考虑两星球的自转，则下列说法正确的是（ ） A.星球 A 表面的重力加速度是星球 B 表面的重力加速度的 1 3 B.A 的密度是 B 的密度的 3 倍 C.P 抛出后落回原处所用的时间是 Q 抛出后落回原处所用的时间的 1 3 D.A 的第一宇宙速度是 B 的第一宇宙速度的3倍 12.某宇航员在一行星表面做了如下实验：将一根长为 L 的轻绳，一端固定在过 O 点的水平 转轴上，另一端固定一质量为 m 的小球，使整个装置绕 O 点在竖直面内转动.在小球转动过 程中的最高点处放置一光电门，在绳子上适当位置安装一个力传感器，如图甲；实
11、验中记录 小球通过光电门的时间以确定小球在最高点的速度 v， 同时记录传感器上绳子的拉力大小 F， 即可作出小球在最高点处绳子对小球的拉力与其速度平方的关系图，如图乙.已知行星半径 为 R，引力常量为 G，不考虑行星自转影响. （1）结合实验和图象所给信息，写出小球在最高点处 F 与 v 的关系式； （2）求该行星的第一宇宙速度（用bLR、 、表示）； （3）求该行星的密度（用bLRG、 、 、表示）. 答案以及解析答案以及解析 1.答案：A 解析：在“北极”处,根据 2 1 1 2 hgt得 2 1 2h g t ,根据 2 Mm Gmg R 得该行星的质量 22 2 1 2gRhR M G
12、Gt ,体积 3 4 3 R V ,则该行星的平均密度 2 1 3 2 Mh VGt R ;在“赤道”处,有 2 2 Mm GmgmR R , 2 2 1 2 g th,由于未知,无法用 2 t等表示出该行星的质量,故A正确,B、 C、 D 错误. 2.答案：C 解析：卫星绕椭圆轨道的运行周期为 0 t T n ，根据开普勒第三定律 33 22 0 ar TT 可得，卫星绕圆 轨道运动的周期为 3 0 3 r TT a ；对于卫星绕圆轨道运动，万有引力提供向心力，有 2 22 4Mm Gmr rT ，又地球的密度 3 4 3 M R ，联立可得 23 23 3n a Gt R ，选项 C 正确
13、。 3.答案：B 解析：根据开普勒第三定律可知 3 2 r k T ,则轨道半径越大,飞行器的周期越长,故 A 错误;设星 球的质量为 M,半径为 R,平均密度为 ,飞行器的质量为m,轨道半径为 r,周期为T,对于飞行器, 根据万有引力提供向心力得 2 2 2 () Mm Gmr rT ,解得星球质量 23 2 4 r M GT ,由几何关系有 sin 2 Rr ,若测得周期和张角,因为星球的半径和轨道半径均未知,则不能得到星球的质量, 星球的平均密度 323 3 4 sin 32 M RGT ,即若测得周期和张角,可得到星球的平均密度,故 B 正确,C 错误;由上述分析可知,若测得周期和轨道
14、半径不能得到星球的平均密度,故 D 错误. 4.答案：D 解析：小球做自由落体运动,有 2 1 2 h g t ,求得该行星表面的重力加速度 2 2 t h g ,行星的第一 宇宙速度 2 2hR vg R t , 2R T 是该行星表面的物体随行星自转的线速度,故 A 错误;由 22 2Mmh Gmgm Rt 得 2 2 2hR M Gt ，行星的体积 3 4 3 VR,所以行星的平均密度 2 3 2 Mh VGt R ,故 B 错误；同步卫星的周期与行星自转周期相同,根据万有引力提供向心 力有 2 22 4 () () MmRh Gm RhT ,代入数据解得 22 3 2 2 2 hT R
15、 hR t ,故 C 错误;根据万有引力 提供圆周运动的向心力有 2 2 2 () Mm r rGm T ，宇宙飞船的运行周期 3 2 r T GM ，可知轨道 半径越小,周期越小,宇宙飞船绕该行星做圆周运动的最小半径为 R,则最小周期 3 min 2 2 RR Tt GMh ，则宇宙飞船绕该行星做圆周运动的周期不小于 2 R t h ，故 D 正 确. 5.答案：C 解析： 从地球发射一颗科学探测卫星围绕沃尔夫表面运行， 发射的速度应大于第三宇宙速度， 故 A 错误.设红矮星的质量为 M，半径为 R，沃尔夫的轨道半径为 r.根据 2 22 4Mm Gmr rT 得 23 2 4 r M GT
16、 ，红矮星的密度为 3 3 4 M R ，代入得 3 23 3r GT R ，所以只知道沃尔夫的运行周 期，不能求出红矮星的密度，故 B 错误.已知地球的质量，可以得知沃尔夫的质量，根据 2 22 4Mm Gmr rT ，则已知探测卫星的周期和沃尔夫的质量，可以求出探测卫星的轨道半径， 即沃尔夫的近似半径，故 C 正确.沃尔夫和地球围绕的中心天体不同，不能根据开普勒第三 定律求解，故 D 错误. 6.答案：D 解析：设地球的质量为 M，“慧眼”卫星的质量和向心加速度分别为m a向、 ，地球的平均密度 为 ，卫星在地表绕地球运动的周期为 0 T。根据万有引力提供向心力得 2 2 2 () Mm
17、Gmrma rT 向，解得 232 22 44 , rr Ma GTT 向 ；根据密度公式可知地球的密度为 3 3 23 3 4 3 R MMr VGT R ，故选项 A 错误，D 正确。地球表面物体的重力近似等于物体受到 的万有引力，即 2 2 0 2 () Mm GmgmR RT ，解得地球的质量 2 gR M G ，重力加速度 2 2 0 4 R g T ， 故选项 B、C 错误。 7.答案：AD 解析：设“陆地勘查卫星四号” 绕地球做匀速圆周运动的半径为 r，由万有引力提供向心力， 有 2 22 4Mmr Gm rT ,解得 23 2 4 r M GT ,所以地球的平均密度 23 3
18、2 2323 4 3 4 3 r Mr GT RVGT R ,A 正确; 根据B给定的条件.求不出地球的平均密度,B错误;已知“陆地勘查卫星四号”的角速度和周 期 T,由 A 的分析可知,由于卫星的轨道半径未知,因此不能求出地球的平均密度,C 错误;由 2 2 Mmv Gm rr , 2r v T ,整理得 3 2 v T M G ,所以地球的平均密度 3 3 323 3 2 48 3 v T Mv T G RVGR ,D 正 确. 8.答案：CD 解析：根据题述“嫦娥四号”采取近乎垂直的着陆方式实施软着陆，在着陆前的一段时间内一 定做减速运动，加速度竖直向上，处于超重状态，选项 A 错误；“
19、嫦娥四号”着陆前近月环 绕月球做匀速圆周运动，其速度vg R 月 ，即月球的第一宇宙速度，又月球的半径和表面 重力加速度均小于地球的，故月球的第一宇宙速度一定小于地球的第一宇宙速度 7.9 km/s， 选项 B 错误；“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第 二定律有 2 22 2 ,() MmMm GmgGmR RRT 月 ，联立解得月球表面的重力加速度 2 2 4 R g T 月 ，选 项 C 正确；由 23 2 24 () , 3 MmM GmRVR RTV 联立解得月球的密度 2 3 GT ，项 D 正确. 9.答案：BC 解析： 该星球的第一宇宙速度 GM
20、 v R ， 而 2R T 是该星球自转的最大线速度， 所以 A 错误； 若不考虑该星球自转，B 处的重力加速度 A F g m ，由 2 A A Mm Ggm R 得 22 A gRFR M GGm ，B 正确； 放在AB、两处的物体 AB mm、随星球自转的向心力分别为 22 sin AAAA FmrmR， 22 sin BBBB FmrmR，则 sin sin3 AAA BB B Fmm Fmm ，C 正确，D 错误. 10.答案：AC 解析：根据 2 2 2 () GMm mr rT ,可得 23 2 4 r M GT ,可估算出地球的质量,A 正确;由于地球同步轨 道卫星相对地面静止
21、,因此一定自西向东运动,且轨道的圆心一定在地心上,故同步卫星一定 在地球赤道的正上方,不可能运动到北京的正上方,B 错误;倾斜地球同步轨道卫星若某时刻 经过赤道正上方某位置,经过半个周期,恰好地球也转了半个周期,因此又会经过赤道上方的 同一位置,C 正确;根据 2 2 GMmmv rr 可得 GM v r ,由于轨道半径越大,运动速度越小,第一宇 宙速度是贴近地球表面运动的卫星的速度,同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度,D 错误. 11.答案：BD 解析：由图可知，AB、两星球表面的重力加速度之比为3 1，所以 A 错误；由 2 Mm Gmg R 及 3 3 4 R M 可得 3 4 GR g
22、 ， 则AB、两星球的密度之比为3 1， 所以 B 正确；由于PQ、竖 直上抛的初速度之比为2 1，所以运动时间之比为2 3，所以 C 错误；由 2 1 mv mg R 得 1 vgR，可知AB、两星球的第一宇宙速度之比为 3 1，所以 D 正确。 12.答案：（1）对小球，在最高点，有 2 v Fmgm L 由图象信息可知 b mgm L 解得 2 mmb Fv LL . （2）由（1）知该行星表面重力加速度 b g L 该行星的近行星卫星做匀速圆周运动，有 2 11 1 2 Mmv Gm RR 对行星表面物体，有 2 2 2 Mm Gm g R 解得该行星的第一宇宙速度 1 bR v L . （3）由以上分析知该行星质量 2 g R M G 又 3 4 , 3 M VR V 联立解得该行星的密度 3 4 b GRL .
