1、专题专题 17 直角三角形中的比例线段直角三角形中的比例线段 阅读与思考阅读与思考 借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论 如图，在 RtABC 中，A=900，ADBC 于 D，则 1图中角的关系：B=DAC，C=DAB； 2同一三角形中三边平方关系： AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2；BC2=AB2+AC2 3三角形之间的关系： ABDCADCBA，由此得出的线段之间的关系： AD2=BDDC，AB2=BDBC，AC2=CDBC 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明中 应用极为广泛，其特点是：
2、 一线段是两个三角形的公共边； 另两条线段在同一直线上 例题与求解例题与求解 【例【例 1】 如图， RtABC 中， CD 为斜边 AB 上的高， DECB 于 E 若 BE=6， CE=4， 则 AD=_ （上海市竞赛试题） 解题思想：解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出 AD 例 1 题图 例 2 题图 【例【例 2】如图，在 RtABC 中，C=900，CDAB，下列结论： CDAB=ACBC； 2 2 ACAD BCBD ； 222 111 ACBCCD ； AC+BCCD+AB 其中正确的个数是 ( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 （江苏省竞赛试题） 解
3、题思路：解题思路：综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断 C A B D E C A B D A B C D 【例【例 3】如图，在等腰 RtABC 中，AB=1，A=900，点 E 为腰 AC 的中点，点 F 在底边 BC 上，且 EFBE，求CEF 的面积 （全国初中数学联赛试题） 解题思想解题思想：欲求EFC 的面积，由于 EC= 1 2 ，只需求出EFC 中 EC 边上的高，或求出 EC 边上的高 与 EC 的关系 本例解法甚多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法 【例【例 4】如图，直线 OB 是一次函数xy2的图象，点 A 的坐标为(0，2)，在直线 OB
4、上找一点 C， 使ACO 为等腰三角形，求点 C 的坐标 （江苏省竞赛试题） 解题思想：解题思想：注意分类讨论 能力训练能力训练 A 级级 1如图，在两个直角三角形中，ACB=ADC=900，AC=6，AD=2，当 AB=_时，这两个 直角三角形相似 2如图，在 RtACB 中，CDAB 于点 D，A 的平分线 AF 交 CD 于 E，过 E 引 EGAB 交 BC 于 C D B （第 1题图） （第 2 题图） （第 3 题图） A B C E F B A O x y A B D C F E G A B C D E A G，若 CE=3，则 BG 的长为_ （上海市竞赛试题） 3如图，AB
5、CD 为矩形，ABDE 为等腰梯形，BD=20，EA=10，则 AB=_ （ “五羊杯”竞赛试题） 4如图，梯子 AB 斜靠在墙面上，ACBC，AC=BC，当梯子的顶端 A 沿 AC 方向下滑x米时，梯足 B 沿 CB 方向滑动 y 米，则x与 y 的大小关系是（ ） Ayx Byx Cyx D不确定 （江苏省竞赛试题） 5如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=3，AEBD 于 E，则 EC 等于（ ） A 7 2 B 5 2 C 15 2 D 21 2 6在ABC 中，AD 是高，且 2 ADBD CD，那么BAC 的度数是（ ） A小于 900 B等于 900 C大于 900 D不确定
6、 （全国初中数学联赛试题） 7如图，在ABC 中，已知C=900，AD 是CAB 的角平分线，点 E 在 AB 上，DECA，CD=12， BD=15，求 AE，BE 的长 （上海市中考试题） 8如图，在矩形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，BEAC 交 AC 于 F，过 F 作 FGAB 交 AE 于 G，求 证：AG2=AF FC （西安市中考试题） A B C D E （第7题图） C A B （第4题图） A B C D （第 5题图） E 9如图，在 RtABC 中，ACB=900，CDAB，DEAC，DFBC，D，E，F 分别为垂足，求证： CD3=ABAEBF (四川省中考试
7、题) 10如图，在 RtABC 中，ACB=900，AD 平分CAB 交 BC 于点 D，过点 C 作 CEAD 于点 E， CE 的延长线交 AB 于点 F，过点 E 作 EGBC 交 AB 于点 G，AEAD=16，AB=4 5 求证：CE=EF； 求 EG 的长 （河南省中考试题） 11如图，在ABC 中，已知ACB=90，BC=kAC，CDAB 于点 D，点 P 为 AB 边上一动点， PEAC 于 E，PFBC 于 F 当k=2 时，则 CE BF =_； 当k=3 时，连结 EF，DF，求 EF DF 的值； A B E （第 10 题图） D F C G A B E （第9题图）
8、 D F C （第8题图） A B C D E F G A B E （第 11 题图） D F C P 当k=_时， 2 3 3 EF DF （直接写出结果，不需证明） B 级级 1如图，在 RtABC 中，A=900，ADBC，P 为 AD 的中点，BP 交 AC 于 E，EFBC 于 F，AE=3， EC=12，则 EF=_ （黄冈市竞赛试题） 2如图，在 RtABC 中，两条直角边 AB，AC 的长分别为 1 厘米，2 厘米，那么直角的角平分线的 长度等于_厘米 （全国初中数学联赛试题） 3如图，EFGH 是矩形 ABCD 的内接矩形，且 EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，则 AH
9、：AE=_ （上海市竞赛试题） 4如图，ABC 中，ACB=900，CD 和 CE 分别是底边 AB 上的高和C 的平分线，若CED ABC，则ECD 等于( ) A180 B200 C22.50 D300 （山东省竞赛试题） 5 如图， 在ABC 中， D， E 分别在 AC， BC 上， 且 ABAC， AEBC， BD=DC=EC=1， 则 AC= （ ） A2 B3 C 3 2 D 3 3 E 4 3 （美国高中统一考试题） A B C D F （第1题图） E A B C D （第2题图） A B C D （第 3题图） F G E H E D B A C （第 4题图） A B E
10、 （第5题图） D F C 6如图，在等腰 RtABC 中，F 为 AC 边的中点，ADBF求证：BD=2CD （武汉市竞赛试题） 7如图，P，Q 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 上的点，且 BP=BQ，过 B 点作 PC 的垂线，垂足 为 H求证：DHHQ （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 8ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c若C=900，如图 1，根据勾股定理，则 a2+b2=c2若ABC 不 是直角三角形，如图 2、图 3，请你类比勾股定理，试猜想 a2+b2与 c2的关系，并证明你的结论 9已知AOB=900，在AOB 的平分线 OM 上有一点 C，将一个三角形的直角顶点与
11、点 C 重合，它 的两条直角边分别与 OA，OB（或它们的反向延长线）相交于点 D，E 当三角形绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时，如图 1，易证：OD+OE=2OC 当三角形绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直，如图 2，图 3 这两种情况下，上述结论是否还成立？ 若成立，请给予证明；若不成立，线段 OD，OE，OC 之间，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想， A B C D （第 7题图） Q P H C 图 2 B A A A B B C C c c c b b b a a a 图 1 图 3 不需证明 10如图 1，在ABC 中，点 D，E，Q 分别在 AB，AC，BC 上，且 DEBC，AQ 交 DE 于点 P求 证： DPPE BQQC 在ABC 中，BAC=900，正方形 DEFG 的四个顶点在ABC 的边上连接 AG，AF 分别交 DE 于 M，N 两点 如图 2，若 AB=AC=1，直接写出 MN 的长； 如图 3，求证：MN2=DMEN （武汉市中考试题） A D O E B M C C M B E O D A E B A D O C 图 1 图 2 图 3 D 图 1 E A B P Q C A A B B C D D E E M M N N G G F F 图 2 图 3 C
