1、专题专题 01 二次根式的化简与求值二次根式的化简与求值 阅读与思考阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换 元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二 次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值. 数学思想：数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与
2、无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是 在矛盾中产生，又在矛盾中发展. 想一想：若xyn（其中 x, y, n 都是正整数） ，则,xyn都是同类二次根式，为什么？ 例题与求解例题与求解 【例【例 1】 当 12002 2 x 时，代数式 32003 (420052001)xx的值是（ ） A、0 B、1 C、1 D、 2003 2 （绍兴市竞赛试题） 【例【例 2】 化简 （1） 1 () a bb abb abababbab （黄冈市中考试题） （2） 10141521 10141521 （五城市联赛试题） （3） 64 33 2 (
3、63)( 32) （北京市竞赛试题） （4） 3 15102 63 3218 52 31 （陕西省竞赛试题） 解题思路解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过 分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解. 思想精髓：思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广 泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度. 【例【例 3】 比 6 ( 65)大的最小整数是多少？ （西安交大少年班入学试题） 解题思路解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设
4、65,65,xy 想一想想一想：设198 3,x 求 432 32 621823 7515 xxxx xxx 的值. （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 形如：AB的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式. 【例【例 4】 设实数 x，y 满足 22 (1)(1)1xxyy，求 xy 的值. （ “宗泸杯”竞赛试题） 解题思路解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化. 【例【例 5】 （1）代数式 22 4(12)9xx的最小值. （2）求代数式 22 841413xxxx的最小值. （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路解题思路：对于（1） ，目前运用代数的方法
5、很难求此式的最小值， 22 ab的几何意义是直角边为 a， b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2） ， 设 2222 (4)5(2)3yxx，设 A（x，0） ，B(4，5)，C(2，3)相当于求 ABAC 的最小值， 以下可用对称分析法解决. 方法精髓：方法精髓： 解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式. . 【例【例 6】 设2121(12)maaaaa ，求 10987 47mmmmm的 值. 解题思路：解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，
6、配方后再考虑用换元法求对应式子的值. 能力训练能力训练 A 级 1.化简： 20082008 1004 20082008 7315 ( ) 3735 （ “希望杯”邀请赛试题） 2.若3 52,3 25xyxy，则xy_(北京市竞赛试题) 3.计算： 19971999 ( 19971999)( 19972001)( 19992001)( 19991997) 2001 ( 20011997)( 20011999) （ “希望杯”邀请赛试题） 4.若满足 0 xy 及1088xy的不同整数对（x，y）是_（上海市竞赛试题） 5.如果式子 22 (1)(2)xx化简结果为 2x3，则 x 的取值范围
7、是（ ） A. x1 B. x2 C. 1x2 D. x0 6、计算146 5146 5的值为（ ） A1 B. 5 C. 2 5 D. 5 （全国初中数学联赛试题） 7a，b，c 为有理数，且等式2352 6abc成立，则 2a999b1001c 的值是（ ） A1999 B. 2000 C. 2001 D. 不能确定 （全国初中数学联赛试题） 8、有下列三个命题 甲：若，是不相等的无理数，则是无理数； 乙：若，是不相等的无理数，则 是无理数； 丙：若，是不相等的无理数，则是无理数； 其中正确命题的个数是（ ） A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 （全国初中数学联赛试题） 9、化
8、简： （1） x yy xy xx y x yy xy xx y （2） 2 6 325 （3） 115 74 6 7776642 （4） 524 103615 （天津市竞赛试题） （5） 35 361015 （ “希望杯”邀请赛试题） 10、设 335 2 x ，求代数式(1)(2)(3)(4)xxxx的值. （ “希望杯”邀请赛试题） 11、已知 22 791375137xxxxx，求 x 的值. 12、设 11 , 11 nnnn xx nnnn （n 为自然数） ， 当 n 为何值， 代数式 22 1912319xxyy的 值为 1985？ B 级级 1.已知 33 11 ,12_ 2
9、323 xyxxyy 则. (四川省竞赛试题) 2.已知实数 x，y 满足 22 (2008)(2008)2008xxyy，则 22 32332007xyxy （全国初中数学联赛试题） 3.已知 42 47 ,_ 31 x xx 2 x 那么. （重庆市竞赛试题） 4. 333 421,a 那么 23 331 aaa . （全国初中数学联赛试题） 5. a，b 为有理数，且满足等式36142 3ab则 ab（ ） A.2 B. 4 C. 6 D. 8 (全国初中数学联赛试题) 6 已知21,2 26,62abc，那么 a，b，c 的大小关系是（ ） . Aabc B. bac C. cbc D
10、. cab (全国初中数学联赛试题) 7. 已知 1 xa a ，则 2 4xx的值是（ ） A. 1 a a B. 1 a a C. 1 a a D. 不能确定 8. 若a表示实数 a 的整数部分，则 1 166 7 等于（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 （陕西省竞赛试题） 9 把 1 (1) 1 a a 中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（ ） A. 1 a B.1a C. 1a D.1 a （武汉市调考题） 10、化简： （1） 1998 1999 2000 2001 1 4 （ “希望杯”邀请赛试题） （2） 111 2 1 123 22 3100 9999 100 （新加坡中学生竞赛试题） （3） 82 15106 532 （山东省竞赛试题） （4）2(62 32 515) （太原市竞赛试题） 11、设01,x 求证 22 511 (1)12xx . （ “五羊杯”竞赛试题） 12、求 22 841413xxxx的最大值. 13、已知 a, b, c 为正整数，且 3 3 ab bc 为有理数，证明： 222 abc abc 为整数.
