1、专题专题 3 根的检测器根的检测器 阅读与思考阅读与思考 一元二次方程的根的判别式是揭示根的性质与系数间联系的一个重要定理，是解直接或间接与 一元二次方程相关问题的有力工具，其主要应用于以下几个方面： 1、判断方程实根的情况； 2求方程中字母系数的值与字母间的关系、字母的取值范围； 3证明等式或不等式； 4利用一元二次方程必定有解的代数模型，证明几何存在性问题 许多表面与一元二次方程无关的数学问题，可以通过构造一元二次方程，把原问题转化为讨论方程的 根的性质，然后用判别式来解，这是运用判别式解题的技巧策略 例题与求解例题与求解 【例【例 1】 如果方程 43222 69320 xxxpxp有且
2、仅有一个实数根（相等的两个实数根算作一 个） ，则p的值为 【例【例 2】 已知三个关于x的方程： 2 0 xxm， 2 (1)210mxx 和 2 (2)210mxx ， 若其中至少有两个方程有实根，则实数m的取值范围是（ ） A2m B 1 12 4 mm或 C1m D 1 1 4 m 【例【例 3】已知(2,3)P是反比例函数 k y x 图象上的点 （1）求过点 P 且与双曲线 k y x 只有一个公共点的直线解析式； （2）Q 是双曲线 k y x 在第三象限这一分支上的动点，过点 Q 作直线，使其与双曲线 k y x 只有一 个公共点，且与x轴，y轴分别交于 C，D 两点，设（1）
3、中求得的一直线与x轴，y轴分别交与 A，B 两 点，试判断 AD，BC 的位置关系 【例【例 4】已知, ,a b c满足0,8,0abcabcc且，求证 3 3 4c 【例【例 5】 已知关于x的方程 22 (31)220 xkxkk. （1）求证：无论k取何实数值，该方程总有实数根； （2）若等腰三角形 ABC 的一边长6a，另两边长, b c恰好是这个方程的两个实数根，求ABC 的 周长. 【例【例 6】已知XYZ是直角边长为 1 的等腰直角三角形（Z90） ，它的三个顶点分别在等腰直角 三角形 ABC（C90）的三边上求ABC直角边长的最大可能值 能力训练能力训练 A 级级 1若关于x
4、的一元二次方程 2 20 xxm有两个实数根，则m的取值范围是 2关于x的方程 2 (2)20axax只有一解（相同的解算一解） ，则a的值为 3设, ,a b c是ABC三边，且关于x的方程 22 ()()20(0)c xnb xnnaxn有两个相等的 实数根，则ABC是 三角形 4方程 22 3330 xxyyxy的实数解为 5关于x的一元二次方程 2 (21)10 xkxk 的根的情况是 （ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C有两个实数根 D没有实数根 6 如 果 关 于x的 方 程 2 2 (2 )50m xmxm没 有 实 数 根 ， 那 么 关 于x的 方 程 2
5、 (5)2(2)0mxmxm的实数根的个数为 （ ） A2 个 B1 个 C0 个 D不确定 7关于x的方程 2 (6)860axx有实数根，则整数a的最大值是（ ） A6 B7 C8 D9 8 已知一直角三角形的三边为, ,a b c， B90， 那么关于x的方程 22 (1)2()(1)0a xxb x 的根为（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 9在等腰三角形 ABC 中，A，B，C 的对边分别是, ,a b c已知3a ，b和c是关于x的方程 2 1 20 2 xmxm的两个实数根，求ABC的周长 10已知,m n为整数，关于x的三个方程： 2
6、 (7)30 xm xn 有两个不相等的实数根； 2 (4)60 xm xn有两个相等的实数根； 2 (4)10 xmxn 没有实数根求mn，的值 11若, , ,0a b c d ，证明：在方程 2 1 20 2 xabxcd； 2 1 20 2 xbcxad； 2 1 20 2 xcdxab； 2 1 20 2 xdaxbc中，至少有两个方程有两个不相等的 实数根 12若实数, x y满足 2 245xxy，求2xy的最大值 B 级级 1当a ，b 时，方程 222 2(1)(3442)0 xa xaabb有实数根 2 已 知 二 次 方 程 2 (2 )2 ()20a bb xba xa
7、a b有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 那 么 11 ab = 3如果方程 32 5(4)0 xxk xk的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k的值 为 4已知实数, ,a b c满足0abc ，2abc ，那么abc的最小值是 5已知实数, ,a b c是不全为零的三个数，那么关于x的方程 2222 ()0 xabc xabc 的根的情况是（ ） A有两个负根 B有两个正根 C有两个异号的实根 D无实根 6关于x的两个方程 22 44230 xmxmm， 22 (21)0 xmxm中至少有一个方程有实 根，则m的取值范围是（ ） A 31 24 m B 31 24 mm 或
8、C 11 42 m D 31 22 mm 或 7方程(1)0 x xk有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A 1 0 4 k B 1 0 4 k C 1 4 k D 1 4 k 8关于x的方程 2 1 x a x 仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（ ） A0a B4a C24a D04a 9当a在什么范围内取值时，方程 2 5xxa有且只有相异二实根 10求证：对于任意一个矩形 A，总存在一个矩形 B，使矩形 B 与矩形 A 的周长比和面积比等于 (1)k k 11关于x的方程 2 (1)10kxkx 有有理根，求整数k的值 12已知, a b为实数且 22 3aabb，若 22 aabb的最大值为m，最小值为n， 求mn的值
