1、第 1 页（共 21 页） 2020-2021 学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（文科）学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共有一、选择题：本大题共有 12 个小题每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的个小题每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1 （5 分）已知直线10 xay 和直线210 xy 互相平行，则a的值为( ) A2 B2 C 1 2 D 1 2 2 （5 分）若ab，则下列结论正确的是( ) A 22 ab B 11 ab C22 ab Dlnalnb 3 （5 分）如图，长方体 1111 ABCDABC D的棱所在直线与直线
2、 1 BA为异面直线的条数是( ) A4 B5 C6 D7 4 （5 分）已知方程 22 1()xmymR，则下列说法正确的是( ) A当0m 时，方程表示双曲线 B当0m 时，方程表示椭圆 C方程不可能表示直线 D方程可能表示抛物线 5 （5 分）已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点为(1,0)F，长轴长为 4，则椭圆C的方 程为( ) A 2 2 1 4 x y B 22 1 43 xy C 2 2 1 16 x y D 22 1 1615 xy 6 （5 分）直线 2 ()10aa xy 的倾斜角的范围是0,) 2 ，则a的取值范围是( ) A(0,1) B0，1 C(,0)1，) D(
3、，0)(1，) 7 （5 分）双曲线 22 1 169 xy 的焦点到渐近线的距离为( ) A2 B3 C4 D5 第 2 页（共 21 页） 8 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，22ABBC，若此长方体的八个顶点都在体积 为 9 2 的球面上，则此长方体的体积为( ) A20 B16 C8 D4 9 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为 20，则输出T的值为( ) A1 B2 C3 D4 10 （5 分） 在 九章算术 中， 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑(bi， no) 如 图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图
4、，则该鳖臑的表面积为 ( ) 第 3 页（共 21 页） A6 B21 C27 D54 11 （5 分）设O为坐标原点， 1 F， 2 F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦点，若双曲线上 存在点P，满足 12 3 PFF ， 1 0OP PF，则该双曲线的离心率为( ) A1 5 2 B1 13 3 C1 11 2 D1 2 2 3 12 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别为 11 C D， 11 BC的中点，O，M 分别为BD，EF的中点，对于下列四个结论： OFBC； 四点B，D，E，F共面； 三条直线BF， 1 CC，DE有公共点
5、； 直线 1 AC上存在点N使M，N，O三点共线 其中错误结论的个数为( ) A0 B1 C2 D3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题把答案填在答题纸上） 小题把答案填在答题纸上） 13 （5 分）若变量x，y满足约束条件 3 1 1 x y xy ，则2zxy的最小值等于 第 4 页（共 21 页） 14 （5 分）已知圆锥的体积等于9 3，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面圆半径 为 15 （5 分）如图所示的茎叶图，记录了甲、乙两位同学五次音乐素养的测试成绩，则这两 位同学中成绩比较稳定的同学的方差是 16（5 分） 设mR， 过定点A的动直线20 xmy和过定点B
6、的动直线40mxym 交于点( , )P x y，则|PAPB的最大值是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）某品牌手机厂商推出新款旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时 间(x个月）市场占有率( %)y的几组相关对应数据： x 1 2 3 4 5 y 2 5 11 14 18 根据如表中的数据完成下列问题： （）用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； （） 用变量间的相关关系分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势， 并预测自上市起经过 多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过49%（精确到月） 附：最小
7、二乘法估计分别为 11 2 22 1 1 ()() () nn iiii ii n n i i i i x ynxyxxyy b xnx xx ， a ybx，其中3x ， 10y ， 5 2 1 ()10 i i xx 18 （12 分）已知函数( )()(4)f xxxk，其中Rk （）求关于x的不等式( )0f x 的解集； （）对任意1x，3，若关于x的不等式( )45f x k恒成立，求k的取值范围 19 （12 分） “青年大学习”是共青团中央为持续引导广大青年深入学习宣传贯彻习近平新 时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神组织的青年学习行动 某市宣传部门为了解全 第 5 页（共
8、 21 页） 市青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全市随机抽取 2000 名青年进行调 查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长（时间单位：分钟） ，如图是根据调 查结果绘制的频率分布直方图 （）求被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的中位数； （）如果该市有 20 万名青年，根据频率分布直方图，估计全市每周利用“青年大学习” 进行学习的时长不低于 60 分钟的青年有多少人？ 20 （12 分）已知曲线C上的任意一点到点(0,1)F的距离与到直线10y 的距离相等 （）求曲线C的方程； （）若不经过坐标原点O的直线l与曲线C交于A，B两点，且OAOB求证：直线
9、l 过定点 21 （12 分）如图，四棱锥SABCD的底面是菱形，SASC （）求证：平面SBD 平面ABCD； （）若P是侧棱SD上异于端点的一动点，试问在侧棱SD上是否存在一点E使/ /BE平 面ACP，若存在，求 PD ED 的值；若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知等轴双曲线N的顶点分别是椭圆 22 :1 62 xy C的左、右焦点 1 F、 2 F （）求等轴双曲线N的方程； 第 6 页（共 21 页） （）Q为该双曲线N上异于顶点的任意一点， 直线 1 QF和 2 QF与椭圆C的交点分别为E， F和G，H，求| 4|EFGH的最小值 第 7 页（共 21 页） 2020-2
10、021 学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（文科）学年四川省泸州市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共有一、选择题：本大题共有 12 个小题每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的个小题每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1 （5 分）已知直线10 xay 和直线210 xy 互相平行，则a的值为( ) A2 B2 C 1 2 D 1 2 【解答】解：因为直线10 xay 和直线210 xy 互相平行， 所以 1 ( 1)20 1( 1) 10 a a ，解得 1 2 a 故选：D 2 （5 分）若ab，则下列结论正确的是
11、( ) A 22 ab B 11 ab C22 ab Dlnalnb 【解答】解：因为ab，若1a ，4b ，则 22 ab，故选项A错误； 因为 11ba abab ，当0ab 时， 11 ab ，故选项B错误； 因为2xy 在R上为增函数，若ab，则22 ab ，故选项C正确； 若0ab，则lna和lnb无意义，故选项D错误 故选：C 3 （5 分）如图，长方体 1111 ABCDABC D的棱所在直线与直线 1 BA为异面直线的条数是( ) A4 B5 C6 D7 【解答】解：根据异面直线的定义可得，与直线 1 BA为异面直线的棱有：AD， 11 BC，CD， 11 C D， 1 CC，
12、 1 DD，共 6 条 故选：C 第 8 页（共 21 页） 4 （5 分）已知方程 22 1()xmymR，则下列说法正确的是( ) A当0m 时，方程表示双曲线 B当0m 时，方程表示椭圆 C方程不可能表示直线 D方程可能表示抛物线 【解答】解：方程 22 1()xmymR， 当0m 时，根据双曲线的标准方程可知，方程表示双曲线，故选项A正确； 当0m 时，若1m ，则方程表示圆，故选项B错误； 当0m 时，方程表示1x 和1x 两条直线，故选项C错误； 因为方程中没有x或y的一次项，故方程不可能表示抛物线，故选项D错误 故选：A 5 （5 分）已知椭圆C的中心在坐标原点，一个焦点为(1,
13、0)F，长轴长为 4，则椭圆C的方 程为( ) A 2 2 1 4 x y B 22 1 43 xy C 2 2 1 16 x y D 22 1 1615 xy 【解答】解；由题意1c ，24a ， 2a， 222 3bac， 椭圆C的方程： 22 1 43 xy 故选：B 6 （5 分）直线 2 ()10aa xy 的倾斜角的范围是0,) 2 ，则a的取值范围是( ) A(0,1) B0，1 C(,0)1，) D(，0)(1，) 【解答】解：因为直线 2 ()10aa xy ，所以斜率 2 aak， 又直线倾斜角的范围是0,) 2 ， 所以tan0k，)，所以 2 0aa ， 所以(1) 0
14、a a ，解得0a或1a， 故a的取值范围是(,0)1，) 故选：C 第 9 页（共 21 页） 7 （5 分）双曲线 22 1 169 xy 的焦点到渐近线的距离为( ) A2 B3 C4 D5 【解答】解：由 22 1 169 xy 可知4a ，3b ，5c ， 其中一个焦点为(5,0)， 一条渐近线方程为 3 ,340 4 yxxy， 所以 22 |3 540| 3 34 d 故选：B 8 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，22ABBC，若此长方体的八个顶点都在体积 为 9 2 的球面上，则此长方体的体积为( ) A20 B16 C8 D4 【解答】解：根据长方体的结构
15、特征可知，长方体外接球直径等于长方体体对角线的长， 因为长方体的外接球的体积为 9 2 ，设外接球的半径为R， 则有 3 49 32 R ，解得 3 2 R ， 所以 222 1 2RABBCBB，因为22ABBC， 所以 2 1 34 1BB ，解得 1 2BB ， 则长方体的体积为 1 2 1 24VAB BC BB 故选：D 9 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为 20，则输出T的值为( ) 第 10 页（共 21 页） A1 B2 C3 D4 【解答】解：若输入20N ， 则2i ，0T ， 20 10 2 N i 是整数，满足条件011T ，213i ，5i
16、不成立， 循环， 20 3 N i 不是整数，不满足条件 ，314i ，5i不成立， 循环， 20 5 4 N i 是整数，满足条件，1 12T ，415i ，5i成立， 输出2T ， 故选：B 10 （5 分） 在 九章算术 中， 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑(bi， no) 如 图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为 ( ) 第 11 页（共 21 页） A6 B21 C27 D54 【解答】解：根据几何体的三视图： 得知：该几何体是由一个底面以 3 和 4 为直角边的直角三角形和高为 3 的四面体构成， 所以： 1111 3 53
17、43 53 4 2222 S ， 27， 故选：C 11 （5 分）设O为坐标原点， 1 F， 2 F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦点，若双曲线上 存在点P，满足 12 3 PFF ， 1 0OP PF，则该双曲线的离心率为( ) A1 5 2 B1 13 3 C1 11 2 D1 2 2 3 【解答】解：如图， 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 1 0OP PF， 1 OPPF， 12 3 PFF ， 1 |OFc， 1 | 2 c PF ， 3 | 2 OPc，作PQx轴，垂足为Q，在Rt 1 PFO中， 第 12 页（共 21 页） 由 1 131
18、| 2 222 P cccy ，得 3 | | 4 P PQyc， 22 333 | | 4164 P OQxccc， 22 2 34913 | 16162 PFccc， 由双曲线定义可得， 13 2 22 c ca，解得 2113 3131 2 c e a 故选：B 12 （5 分）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别为 11 C D， 11 BC的中点，O，M 分别为BD，EF的中点，对于下列四个结论： OFBC； 四点B，D，E，F共面； 三条直线BF， 1 CC，DE有公共点； 直线 1 AC上存在点N使M，N，O三点共线 其中错误结论的个数为( ) A0 B1
19、C2 D3 【解答】解：由图取BC中点为H，连接FH，OH， 由正方体的性质知，OHBC，FHBC， 由此可得BC 面OFH，从而可得，OFBC，故正确； 因为E，F是中点，连接 11 B D，则 11/ / B DEF， 故四点B，D，E，F共面，故正确； 由知，B，D，E，F共面，又DE与BF不平行， 故两线交于一点，令该点为P，则点P同时在交于 1 CC的两个侧面上， 第 13 页（共 21 页） 故点p在线 1 CC上，所以三条直线BF， 1 CC，DE有公共点，故正确； 连接AC，交BD于一点，此点即O点，同理可得线 11 AC与EF交于M点， 故M，O在平面 11 AAC C上，又
20、MO与 1 AC不平行，故两直线必交于一点， 令此点为N，故直线 1 AC上存在点N使M，N，O三点共线，故正确 综上，错误结论的个数为 0， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题把答案填在答题纸上） 小题把答案填在答题纸上） 13 （5 分）若变量x，y满足约束条件 3 1 1 x y xy ，则2zxy的最小值等于 1 【解答】解：画出约束条件 3 1 1 x y xy 表示的平面区域， 如阴影部分所示： 目标函数2zxy转化为2yxz， 第 14 页（共 21 页） 平移目标函数知，2yxz过点A时，直线2yxz在y轴上的截距最大，z的值最小； 由 1 1 y x
21、y ，解得(0,1)A， 所以z的最小值是2011 min z 故答案为：1 14 （5 分）已知圆锥的体积等于9 3，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面圆半径 为 3 【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r， 因为圆锥的侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长， 所以 1 22 2 lr ， 解得2lr， 所以圆锥的高为 2222 (2 )3hlrrrr， 因为圆锥的体积等于9 3， 则 2 1 39 3 3 rrr，解得3r ， 所以该圆锥的底面圆半径为 3 故答案为：3 15 （5 分）如图所示的茎叶图，记录了甲、乙两位同学五次音乐素养的测试成绩，则这两 位同学中成绩比较稳定的同
22、学的方差是 10 【解答】解：由茎叶图得甲同学的成绩比较稳定 甲同学成绩的平均数为： 1 (8182838490)84 5 x ， 这两位同学中成绩比较稳定的同学的方差是： 第 15 页（共 21 页） 222222 1(81 84)(8284)(8384)(8484)(9084) 10 5 S 故答案为：10 16（5 分） 设mR， 过定点A的动直线20 xmy和过定点B的动直线40mxym 交于点( , )P x y，则|PAPB的最大值是 5 2 【解答】解：由题意可得，动直线20 xmy过定点( 2,0)A ， 直线40mxym可化为(1)40 xmy，斜率mk， 令 10 40 x
23、 y ，解得(1,4)B， 又1( 1)0mm ， 故两条直线垂直，交点为P， 所以 222 |2.5PAPBAB， 由基本不等式可得 222 2.5 |(|)2|PAPBPAPBPA PB 222 |1 (|)2()(|) 22 PAPB PAPBPAPB ， 所以 2 (|)50PAPB，解得|5 2PAPB， 当且仅当| |PAPB时取等号， 所以|PAPB的最大值为5 2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）某品牌手机厂商推出新款旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时 间(x个月）市场占有率(
24、%)y的几组相关对应数据： x 1 2 3 4 5 y 2 5 11 14 18 根据如表中的数据完成下列问题： （）用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； （） 用变量间的相关关系分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势， 并预测自上市起经过 多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过49%（精确到月） 第 16 页（共 21 页） 附：最小二乘法估计分别为 11 2 22 1 1 ()() () nn iiii ii n n i i i i x ynxyxxyy b xnx xx ， a ybx，其中3x ， 10y ， 5 2 1 ()10 i i xx 【解答】解： （） 12345 3 5
25、 x ， 2511 1418 10 5 y ， 5 1 ()()2( 8)( 1)( 5)0 1 1 42 841 ii i xxyy ， 已知 5 2 1 ()10 i i xx ， 5 1 5 2 1 ()() 41 4.1 10 () ii i i i xxyy b xx ， 104.1 32.3aybx ， y关于x的线性回归方程为4.12.3yx； （）由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关， 即上市时间每增加 1 个月，市场占有率都增加 4.1 个百分点， 由4.12.349yx，解得12.513x， 预测自上市起经过 13 个月，该款旗舰机型市场占有率能超过49% 18
26、 （12 分）已知函数( )()(4)f xxxk，其中Rk （）求关于x的不等式( )0f x 的解集； （）对任意1x，3，若关于x的不等式( )45f x k恒成立，求k的取值范围 【解答】解： （）不等式( )0f x ，即为不等式()(4)0 xxk， 当4k时，不等式的解集为( ,4)k； 当4k时，不等式的解集为(，4)(4，)； 当4k时，不等式的解集为(4, )k （）对任意1x，3，不等式( )45f x k恒成立， 所以对任意1x，3，不等式()(4)45xxkk恒成立， 即对任意1x，3， 5 4x x k恒成立， 由对勾函数 5 4yx x 在1，5)单调递减，在(
27、5，3单调递增， 所以 5 4yx x 在5x 处取得最小值为2 54， 所以2 54k， 第 17 页（共 21 页） 即k的取值范围是(，2 54) 19 （12 分） “青年大学习”是共青团中央为持续引导广大青年深入学习宣传贯彻习近平新 时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神组织的青年学习行动 某市宣传部门为了解全 市青年每周利用“青年大学习”了解国家动态的情况，从全市随机抽取 2000 名青年进行调 查，统计他们每周利用“青年大学习”进行学习的时长（时间单位：分钟） ，如图是根据调 查结果绘制的频率分布直方图 （）求被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的中位数； （）如果
28、该市有 20 万名青年，根据频率分布直方图，估计全市每周利用“青年大学习” 进行学习的时长不低于 60 分钟的青年有多少人？ 【解答】解： （）由频率分布直方图得： (0.0050.0100.0200.0250.010) 101a， 解得0.03a ， 40，70)的频率为(0.0050.0100.020) 100.35， 70，80)的频率为0.030 100.3， 被抽取的青年每周利用“青年大学习”进行学习的时长的中位数为： 0.500.35 701075 0.3 （分钟） （）由频率分布直方图得： 全市每周利用“青年大学习”进行学习的时长不低于 60 分钟的青年所占频率为： 1(0.00
29、50.010) 100.85， 该市有 20 万名青年，根据频率分布直方图， 估计全市每周利用“青年大学习”进行学习的时长不低于 60 分钟的青年有： 2000000.85170000（人) 第 18 页（共 21 页） 20 （12 分）已知曲线C上的任意一点到点(0,1)F的距离与到直线10y 的距离相等 （）求曲线C的方程； （）若不经过坐标原点O的直线l与曲线C交于A，B两点，且OAOB求证：直线l 过定点 【解答】 （）解：因为曲线C上的任意一点到点(0,1)F的距离与到直线10y 的距离相 等， 根据抛物线的定义可知，曲线C的轨迹是以(0,1)F为焦点，直线10y 为准线的抛物线，
30、 故曲线C的方程为 2 4xy； （）证明：设直线: l yxbk， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 联立方程组 2 4 yxb xy k ，可得 2 440 xxbk， 所以 12 4xx k， 12 4x xb ， 所以 22 1212 ()()ABxxyy， 22 11 OAxy， 22 22 OBxy， 因为线段AB为直线的圆过点O， 所以OAB为直角三角形， 故有 222 ABOAOB， 所以 222222 12121122 ()()xxyyxyxy， 化简可得 1212 0 x xy y， 又因为 11 yxbk， 22 yxbk， 所以 22 12121
31、212 ()()()y yxbxbx xxxbbkkkk， 所以 22 1 2121 212 (1)()x xy yx xb xxbkk， 因为 12 4xx k， 12 4x xb ， 所以 222 1 212 (1) ( 4 )44x xy ybbbbb kkk， 所以 2 40bb，解得0b 或4b ， 因为直线l不过原点O，所以0b ， 故4b ， 第 19 页（共 21 页） 所以直线:4l yxk， 令0 x ，则4y ， 所以直线l恒过定点(0,4) 21 （12 分）如图，四棱锥SABCD的底面是菱形，SASC （）求证：平面SBD 平面ABCD； （）若P是侧棱SD上异于端点
32、的一动点，试问在侧棱SD上是否存在一点E使/ /BE平 面ACP，若存在，求 PD ED 的值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （）证明：设BDACO，连接SO， 四棱锥SABCD的底面是菱形，SASC ACSO，ACBD，且BDSOO，DB、SO 面SBD， AC面SBD， AC 面ABCD，平面SBD 平面ABCD （）在侧棱SD上存在一点E使/ /BE平面ACP，且 1 2 PD ED ， 理由如下：连接PO，可得O为DB中点， 当 1 2 PD ED 时，/ /OPBE， 且OP 面ACP，BE 面ACP， / /BE平面ACP 故在侧棱SD上存在一点E使/ /BE平面ACP，且
33、1 2 PD ED 第 20 页（共 21 页） 22 （12 分）已知等轴双曲线N的顶点分别是椭圆 22 :1 62 xy C的左、右焦点 1 F、 2 F （）求等轴双曲线N的方程； （）Q为该双曲线N上异于顶点的任意一点， 直线 1 QF和 2 QF与椭圆C的交点分别为E， F和G，H，求| 4|EFGH的最小值 【解答】解： （）由椭圆 22 :1 62 xy C方程可得 22 622cab， 所以等轴双曲线N的顶点为( 2,0)，(2,0)， 设等轴双曲线N的方程为 22 22 1 xy ab ， 所以 22 4ab， 所以等轴双曲线N的方程为 22 1 44 xy （）设 1 (E
34、 x， 1) y， 2 (F x， 2) y， 3 (G x， 3) y， 4 (H x， 4) y， 设直线 1 QF的方程为2xmy，直线 2 QF的方程为2xny， 联立直线 1 QF与椭圆的方程得 22 2 1 62 xmy xy ，得 22 (3)420mymy， 所以 22 168(3)0mm， 所以 12 2 4 3 m yy m ， 12 2 2 3 y y m ， 同理可得 34 2 4 3 n yy n ， 34 2 2 3 y y n ， 所以 222 222 1212 22222 168(3)1 |1 ()412 6 (3)(3)3 mnm EFmyyy ym nnm
35、， 同理可得 2 2 1 | 2 6 3 n GH n ， 第 21 页（共 21 页） 联立直线 1 QF与直线 2 QF的方程可得 2 2 xmy xny ，解得 22 4 mn x mn y mn ， 所以Q的坐标为 22 ( mn mn ， 4 ) mn ， 因为点Q在双曲线上， 所以 2 22 (22 )16 1 4()4() mn mnmn ，化简得1mn ， 所以 222 2 222 2 1 1 111 | 4| 2 6 (4)2 6 (4) 1 333 3 mnm m EFGH mnm m 2242 2242 117203 2 6 (4)2 6 3313103 mmmm mmmm ， 令 2 tm，则 2 2 7010 776 33 | 4| 2 6 3103 ttt EFGH tt 2 9 710 5 2 6 2777693768 33 3 552525 t ttt 10 7 3 2 6 9768104 3 3() 9 55 25() 5 t t 10 79 6 3 2 6 32768104 2 3 255 ， 当且仅当 9768 3() 9 5 25() 5 t t ，即 2 5mt ，5m 时，取等号， 所以| 4|EFGH的最小值为 9 6 2
