1、第 1 页（共 14 页） 2020-2021 学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（文科）学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题一、选择题 1命题“0 x ， 2 log0 x ”的否定是( ) A0 x ， 2 log0 x B0 x ， 2 log0 x C0 x ， 2 log0 x D0 x ， 2 log0 x 2已知集合 2 |280Ax xx ， |235Bxx，则(AB ) A |12xx B |2x x C |4x x D |14xx 3现有下列说法： 若0 xy，则|xyxy； 若ab，则acbc； 命题“若0 x，则21 x x ”的否命题是“若0
2、 x，则21 x x” 其中正确说法的个数为( ) A0 B1 C2 D3 4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2 sinsinbBcCaA，则 ABC的形状为( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 5若 ba0，ma，设 X，Y，则（ ） AXY BXY CXY DX 与 Y 的大小关系不确定 6已知函数( )f xlnxax的图象在1x 处的切线方程为0 xyb，则( )f x的极大值为 ( ) A21ln B21ln C1 D1 7已知 22 log (1)log (2)4ab，则ab的最小值为( ) A8 B7 C6 D3 8已知抛物线 C：
3、y24x 的焦点为 F，M，N 是 C 上不同的两点，若|MF|+|NF|6，则线段 MN 的中点 Q 到 y 轴的距离为（ ） A2 B3 C4 D5 第 2 页（共 14 页） 9已知数列 n a中， 1 1 nn aan ， 1 1a ，设数列 1 n a 的前n项和为 n S，则满足 14 () 3 n Sn n 的n的最大值为( ) A3 B4 C5 D6 10已知直线l与椭圆 22 :1 94 xy E交于A，B两点，点(2,1)P是线段AB的中点，则直线 l的斜率是( ) A 8 9 B 9 8 C 8 9 D 9 8 11在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC
4、的面积为S，且 2 4 coscos tan S bCbcB C ，2ab，3c ，则(S ) A 3 4 B 3 6 C 1 6 D 3 12 12 设( )f x的定义在R上的函数， 其导函数为( )fx， 且满足( )( )0f xxfx， 若af（1） ， 2bf（2） ，3cf（3） ，则( ) Aabc Bcba Cbca Dcab 二、填空题二、填空题 13在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 3 B ，2a ， 5 12 C ， 则b 14设等比数列 n a的前n项和为 n S，若 3 120a ， 3 120S ，则 65 aa 15若函数 2 ( )2 (0
5、) x f xm exx m在(0,1)上有极值点，则m的取值范围为 16 过双曲线 2 2 :1 3 x My的右焦点F作圆 22 1 :(1) 2 C xy的切线， 此切线与M的右支 交于A，B两点，则|AB 三、解答题三、解答题 17已知:|1|(0)p ma a，q：方程 22 1 52 xy mm 表示双曲线 （1）若q是真命题，求m的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围 18如图，锐角ABC外接圆的半径为 2，点D在边BC的延长线上，3AB ，2 3AC ， 第 3 页（共 14 页） ACD的面积为 9 7 4 （1）求sinBAC； （2）求AD的长 19
6、在数列 n a中，已知 1 2a ，且 1 2(1)(1) nn nanan n ，*nN （1）设1 n n a b n ，求数列 n b的通项公式； （2）求数列 n a的前n项和 n T 20如图，已知圆 22 :(5)16Mxy与抛物线 2 :(010)C ymxm相切 （1）求C的焦点坐标； （2）若直线430(0)xyaa与圆M相切，且与C相交于A，B两点，求|AB 21已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 5 5 ，且焦距为 8 （1）求C的方程； （2）设直线l的倾斜角为 3 ，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求AOB面积的 最大值 22已
7、知函数 2 ( )()f xalnx aR x （1）当1a 时，求( )f x的单调区间； （2）若( )f x在 2 1 (,) e 上有两个零点，求a的取值范围 第 4 页（共 14 页） 2020-2021 学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（文科）学年河南省新乡市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1命题“0 x ， 2 log0 x ”的否定是( ) A0 x ， 2 log0 x B0 x ， 2 log0 x C0 x ， 2 log0 x D0 x ， 2 log0 x 【解答】解：命题是全称命题， 则否定是：0 x
8、 ， 2 log0 x， 故选：C 2已知集合 2 |280Ax xx ， |235Bxx，则(AB ) A |12xx B |2x x C |4x x D |14xx 【解答】解： | 24Axx ， |1Bx x， |14ABxx 故选：D 3现有下列说法： 若0 xy，则|xyxy； 若ab，则acbc； 命题“若0 x，则21 x x ”的否命题是“若0 x，则21 x x” 其中正确说法的个数为( ) A0 B1 C2 D3 【解答】解：对于，当1x ，1y 时，0 xy，不满足|xyxy，所以错； 对于，由不等式的性质可知，若ab，则acbc，所以对； 对于，命题“若0 x，则21
9、 x x ”的否命题是“若0 x ，则21 x x，所以错 故选：B 4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2 sinsinbBcCaA，则 ABC的形状为( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 【解答】解：因为sin2 sinsinbBcCaA，利用正弦定理可得： 222 2bca， 第 5 页（共 14 页） 所以 2222 cos0 22 bcac A bcbc ， 所以90A ， 所以ABC的形状为钝角三角形 故选：C 5若 ba0，ma，设 X，Y，则（ ） AXY BXY CXY DX 与 Y 的大小关系不确定 【解答】解：根据 ba0，m
10、a，可得 ba0，m+a0，m0， 所以， 所以 XY 故选：A 6已知函数( )f xlnxax的图象在1x 处的切线方程为0 xyb，则( )f x的极大值为 ( ) A21ln B21ln C1 D1 【解答】解：因为( )f xlnxax，所以 1 ( )fxa x ，(0)x ， 又因为函数( )f x在图象在1x 处的切线方程为0 xyb， 所以f（1）1ab ， f （1）11a ，解得2a ，1b ， 故 112 ( )2 x fx xx ， 令( )0fx，解得： 1 0 2 x，令( )0fx，解得： 1 2 x ， 故( )f x在 1 (0, ) 2 递增，在 1 (
11、2 ，)递减， 故( )f x在 1 2 x 处取得极大值， 而 11 ( )121 22 flnln ， 故选：A 7已知 22 log (1)log (2)4ab，则ab的最小值为( ) A8 B7 C6 D3 【解答】解： 222 log (1)log (2)log (1)(2)4abab， 第 6 页（共 14 页） (1)(2)16ab，且10a ，20b， (1)(2) 2 (1)(2)8abab，7ab ，当且仅当12ab ，即5a ，2b 时 等号成立， ab的最小值为：7 故选：B 8已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，M，N 是 C 上不同的两点，若|MF|+|NF|6
12、，则线段 MN 的中点 Q 到 y 轴的距离为（ ） A2 B3 C4 D5 【解答】解：因为 C 的方程为 y24x，所以 F（1，0） ， 过 M 作准线 x1 的垂线，垂足为 M1，过 N 作准线的垂线，垂足为 N1， 因为|MF|+|NF|6，所以|MM1|+|NN1|6， 四边形 MM1N1N 为梯形，由梯形的中位线定理可知， 线段 MN 的中点 Q 到 C 的准线 x1 的距离为， 故点 Q 到 y 轴的距离为 312 故选：A 9已知数列 n a中， 1 1 nn aan ， 1 1a ，设数列 1 n a 的前n项和为 n S，则满足 14 () 3 n Sn n 的n的最大值
13、为( ) A3 B4 C5 D6 【解答】解：由题意，可知 1 1a ， 21 2aa， 32 3aa， 1nn aan ， 第 7 页（共 14 页） 各项相加，可得 (1) 123 2 n n n an ， 1211 2() (1)1 n an nnn ， 12 111 n n S aaa 11111 2(1)2()2() 2231nn 11111 2(1) 2231nn 2 1 n n ， 由 14 () 3 n Sn n ，可得 214 () 13 n n n n ， 化简整理，得 2 31120 0nn， 解得15n剟， 满足 14 () 3 n Sn n 的n的最大值为 5 故选：
14、C 10已知直线l与椭圆 22 :1 94 xy E交于A，B两点，点(2,1)P是线段AB的中点，则直线 l的斜率是( ) A 8 9 B 9 8 C 8 9 D 9 8 【解答】解：设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 因为点(2,1)P是线段AB的中点 所以 12 4xx， 12 2yy 因为A，B在椭圆E上，所以 22 11 22 22 1 94 1 94 xy xy ， 所以 2222 1212 0 94 xxyy ， 所以 1212 4()2() 94 xxyy ， 则 12 12 8 9 yy xx ，即直线l的斜率是 8 9 故选：A 11在ABC中，角A
15、，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为S，且 第 8 页（共 14 页） 2 4 coscos tan S bCbcB C ，2ab，3c ，则(S ) A 3 4 B 3 6 C 1 6 D 3 12 【解答】解：因为 2 4cos coscos sin SC bCbcB C ， 所以 2 2coscoscosabCbCbcB， 所以2sincossincossincossin()sinACBCCBBCA， 因为sin0A， 所以 1 cos 2 C ， 3 sin 2 C ， 由 2222 1()32 cos 222 abcabab C abab ，得 1 3 ab ， 所以 1
16、3 sin 212 SabC 故选：D 12 设( )f x的定义在R上的函数， 其导函数为( )fx， 且满足( )( )0f xxfx， 若af（1） ， 2bf（2） ，3cf（3） ，则( ) Aabc Bcba Cbca Dcab 【解答】解：因为( )f x满足( )( )0f xxfx， 令( )( )g xxf x，则( )( )( )0g xf xxfx， 所以( )g x在R上是增函数， 所以g（1）g（2）g（3） ， 即f（1）2f（2）3f（3） ， 故选：B 二、填空题二、填空题 13在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 3 B ，2a ， 5 12
17、 C ， 则b 3 【解答】解：因为 4 ABC ， 所以 2 sinsin 34 b ， 解得3b 第 9 页（共 14 页） 故答案为：3 14设等比数列 n a的前n项和为 n S，若 3 120a ， 3 120S ，则 65 aa 0 【解答】解：根据题意，设等比数列 n a的公比为q， 若 3 120a ， 3 120S ，即 3 12a ， 3 12S ， 则有 3123 2 1212 1212Saaa qq ，解得1q ， 则 6555 0aaaa ， 故答案为：0 15 若函数 2 ( )2 (0) x f xm exx m在(0,1)上有极值点， 则m的取值范围为 ( 2,
18、0) 【解答】解：( )22(0) x f xm exm， 所以( )fx在(0,1)上为减函数， 所以 (0)20 (1)0 fm fme ， 解得20m ， 故答案为：( 2,0) 16 过双曲线 2 2 :1 3 x My的右焦点F作圆 22 1 :(1) 2 C xy的切线， 此切线与M的右支 交于A，B两点，则|AB 2 3 【解答】解：因为直线过双曲线的右焦点，设直线方程为0(2)yxk， 由直线与圆相切知 2 |21|2 2 1 k k ， 解得1k或 1 7 k， 当 1 7 k时，该直线不与双曲线右支相交于两点，故舍去， 所以直线方程为2yx， 联立双曲线 2 2 1 3 x
19、 y的方程，消元得 2 212150 xx 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 第 10 页（共 14 页） 则 12 6xx， 12 15 2 x x ， 所以 222 121212 15 |1|2()42642 3 2 ABxxxxx xk 故答案为：2 3 三、解答题三、解答题 17已知:|1|(0)p ma a，q：方程 22 1 52 xy mm 表示双曲线 （1）若q是真命题，求m的取值范围； （2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围 【解答】解： （1）由题意可得(5)(2)0m m， 解得2m 或5m 故m的取值范围为(，2)(5，) （2）由题意
20、可得:1p ma或1ma 因为p是q的充分不必要条件， 所以(，1)(1aa ，)(，2)(5，) 所以 1 2 1 5 a a ，解得4a 故a的取值范围为4，) 18如图，锐角ABC外接圆的半径为 2，点D在边BC的延长线上，3AB ，2 3AC ， ACD的面积为 9 7 4 （1）求sinBAC； （2）求AD的长 【解答】解： （1）因为24 sin AC R B ， 所以 3 sin 2 B ， 又因为ABC为锐角三角形， 第 11 页（共 14 页） 所以 1 cos 2 B 因为24 sin AB R ACB ， 所以 3 sin 4 ACB， 7 cos 4 ACB， 可得
21、213 sinsin()sincoscossin 8 BACBACBBACBBACB （2）由（1）知 3 sin 4 ACD，从而 7 cos 4 ACD 因为ACD的面积为 9 7 4 ， 所以 19 7 sin 24 AC CDACD， 解得21CD 由 222 2cos54ADACCDAC CDACD ， 得3 6AD 19在数列 n a中，已知 1 2a ，且 1 2(1)(1) nn nanan n ，*nN （1）设1 n n a b n ，求数列 n b的通项公式； （2）求数列 n a的前n项和 n T 【解答】解： （1）依题意，由 1 2(1)(1) nn nanan n
22、 ， 两边同时乘以 1 (1)n n ，可得 1 21 1 nn aa nn ， 两边同时减 1，可得 1 12(1) 1 nn aa nn ， 即 1nn bb ， 1 11 1 n a b ， 数列 n b是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 1 2n n b ，*nN， （2）由（1）知， 11 (1)(21)2 nn nn abnnnn ， 123nn Taaaa 第 12 页（共 14 页） 121 (1 1 1)(2 22)(3 23)(2) n nn 21 (1) (1 122322) 2 n nn n ， 设 21 1 1 2 23 22n n Sn ， 则 23 21 22
23、 23 22n n Sn ， ，得 21 12222 nn n Sn 12 2 12 n n n (1) 21 n n， (1) 21 n n Sn， (1) 2 nn n n TS (1) (1) 21 2 n n n n 2 2 (1) 2 2 n nn n 20如图，已知圆 22 :(5)16Mxy与抛物线 2 :(010)C ymxm相切 （1）求C的焦点坐标； （2）若直线430(0)xyaa与圆M相切，且与C相交于A，B两点，求|AB 【解答】解： （1）联立 2 22 (5)16 ymx xy ，得 2 (10)90 xmx， 依题意可知 2 (10)360m 因为010m，所以
24、4m ， 故C的焦点坐标为(1,0) 第 13 页（共 14 页） （2）因为直线430 xya与圆M相切， 所以M到直线430 xya的距离 |20| 4 5 a d ， 因为0a ，所以40a 联立 2 4 43400 yx xy ，得 2 3400yy， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 3yy， 12 40y y ， 则 22 1212 365 |1( )()4 44 AByyy y 21已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 5 5 ，且焦距为 8 （1）求C的方程； （2）设直线l的倾斜角为 3 ，且与C交于A，B两
25、点，点O为坐标原点，求AOB面积的 最大值 【解答】解： （1）依题意可知 222 2 5 5 28 c e a c abc ，解得2 5a ，2b ，4c 故C的方程为 22 1 204 xy （2）依题意可设直线l的方程为3yxm， 联立 22 3 1 204 yxm xy ，整理得 22 1610 35200 xmxm， 则 22 30064(520)0mm，解得88m 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 12 5 3 8 m xx ， 2 12 520 16 m x x ， 222 2 1212 755205320 |13()42 6444 mmm ABxx
26、x x ， 第 14 页（共 14 页） 原点到直线l的距离 | 213 mm d ， 则AOB的面积 222 5(32)512011|5320 | 222416 mmm SdAB ， 当且仅当 2 32m ， 即4 2m 时，AOB的面积有最大值，且最大值为2 5 22已知函数 2 ( )()f xalnx aR x （1）当1a 时，求( )f x的单调区间； （2）若( )f x在 2 1 (,) e 上有两个零点，求a的取值范围 【解答】解： （1）当1a 时， 2 ( )f xlnx x ， 则 22 212 ( )(0) x fxx xxx ， 令( ) 0fx，解得：2x，故(
27、)f x在2，)递增， 令( )0fx，解得：02x，故( )f x在(0,2)递减， 故1a 时，( )f x的递减区间是(0,2)，递增区间是2，)； （2）当0a 时， 2 ( )f x x 没有零点，则0a 不合题意， 当0a 时，令 2 ( )0f xalnx x ，得 1 2 xlnx a ， 设( ) 2 xlnx g x ，则 1 ( ) 2 lnx g x ， 由( )0g x，解得： 1 x e ，由( )0g x，得 2 11 x ee ， 故( )g x在 2 1 (e， 1) e 上单调递减，在 1 ( e ，)上单调递增， 故 11 ( )( ) 2 min g xg ee ， 22 11 ()g ee ， 2 111 2eae ，解得： 2 2eae ， 故a的取值范围是 2 ( e，2 ) e
