1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（ 重庆 卷） 数学 试题卷（理工 农医类 ）答案解析 一、选择题 1.【答案】 D 【解析】集合 1,2A? ， 2,3B? ，所以 1,2,3AB? ，而 1,2,3,4U ? ，所以 ( ) 4U AB? 故 选D 【提示】 根据 A 与 B 求出两集合的并集，由全集 U ，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合 【考点】 交 集， 并 集， 补集的混合运算 2.【答案】 D 【解析】 全称命题的否定是一个特称命题 （ 存在性命题 ）， 所以命题 “ 对任意 x?R ，都有 20 0x ? ” 的否定为存在 0x?R
2、，使得 20 0x ? 故 选 D 【提示】 直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可 【考点】 命题的否定 ， 全称命题 3.【答案】 B 【解析】令 22 3 8 13 6 3 12() 8 4a a a a afa ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为 63a? ? ? ， 由此 可得 函数 ()fa的 最大值为 814 ， 所以 36aa? ? ? ? ? （ 63a? ? ? ）的 最大值 为 81 942? 故 选 B 【提示】 令 23 8 16) 3(24a a afa ? ? ? ? ? ? ? ? ?，而且 63a? ? ? ，利用二次
3、函数的性质求得函数 ()fa的最大值，即可得到所求式子的最大值 【考点】 二次函数在闭区间上的最值 4.【答案】 C 【解析】 由甲组数据中位数为 15，可得 5x? ； 而乙组数据的平均数 9 1 5 1 0 1 8 2 41 6 .8 5 y? ? ? ? ? ? ? ，可解得 8y? 【提示】 求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以 5 找甲组数据的中位数要把甲组数据按【 ;百万教育资源文库 】 从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数据此列式求解即可 【考点】 茎叶图 5.【答案】 C 【解析】 由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两
4、底长分别为 2和 8，高为 4，棱柱的高为 10， 故该几何体体积 1 ()2 8 42 1 0 2 0 0V ? ? ? ? ? 故选 C 【提示】 如图所示，该几何体是棱长分别为 4， 8， 10 的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积 【考点】 由三视图求面积 ， 体积 6.【答案】 A 【解析】 由题意 abc? ，可得 ( )( ) 0)f a a b a c? ? ， ( )( ) 0)f b b c b a? ? ， ( )( ) 0)f c c a c b? ? 显然 ( ) ( )( ) 0 ( ) 0fcf b f baf? ?， ，所以该函数在 (,
5、)ab 和 (,)bc 上均有零点 【提示】 由函数零点存在判定定理可知：在区间 (, )ab ， (,)bc 内分别存在一个零点；又函数 ()fx是二次函数，最多有两个零点，即可判断出 【考点】 函数零点的判定定理 7.【答案】 A 【解析】 圆 12CC， 的圆心分别为 12CC， ， 由题意知 1| | | | 1PM PC?， 2| | | | 3PN PC?， 12| | | | | | | | 4P M P N P C P C? ? ? ?，故所求值为 12| | | | 4C PC?的最小值 又 1C 关于 x 轴对称的点为 3(2, 3)C ? ， 所以 12| | | | 4
6、PC PC?的最小值为 223| | 4 ( 2 3 ) ( 3 4 ) 4 5 2 4CC ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【提示】 求出圆 1C 关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A ，以及半径，然后求解圆 A 与圆 2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出 | | | |PM PN? 的最小值 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 ， 两点间的距离公式 8.【答案】 B 【解析】 由程序框图可知，输出的结果为 2 3 2l o g 3 l o g 4 l o g ( 1 ) l o g ( 1 )ks k k? ? ? ? ? ? ?由 3s? ，即2log ( 1) 3k?，解得 7
7、k? ， 又 不满足判断框内的条件时才能输出 s ， 条件应为 7k? 【提示】 根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是 3s? ，可得判断框内应填入的条件 【考点】 程序框图 9.【答案】 C 【解析】 4 s i n 4 0 c o s 4 0 s i n 4 04 c o s 5 0 t a n 4 0 c o s 4 0? ? ? ? ? ? ? ? 2 s i n 8 0 s i n 4 0 2 s i n 1 0 0 s i n 4 0c o s 4 0 c o s 4 0? ? ? ? ? ? 【 ;百万教育资源文库 】 2 s in (6 0 4 0 ) s in 4
8、 0c o s 4 0? ? ? ? ? ? 312 c o s 4 0 2 s in 4 0 s in 4 0223c o s 4 0? ? ? ? ? ? ?【提示】 原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果 【考点】 三角函数的求值 10.【答案】 D 【解析】 因为 12AB AB? ，所以可以 A 为原点，分别以 1AB ， 2AB 所在直线为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系设 1( ,0)Ba ，
9、 2(0, )Bb， ( , )Oxy ，则 12 ( , )AP AB AB a b? ? ?即 ( , )Pab 由 | 12| | | | 1OB OB?，得 2 2 2 2( ) ( ) 1x a y x y b? ? ? ? ? ? 所以 22( ) 1 0x a y? ? ? ?， 22( ) 1 0y b x? ? ? ? 由 1|2OP? ，得 221( ) ( ) 4x a y b? ? ? ?，即 2210 1 1 4xy? ? ? ? ? 所以 227 24 xy? ? ? ，即 227 22 xy? ? ? 所以 |OA 的取值范围是 7,22? ? 【提示】 建立坐标
10、系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论 【考点】 向量在几何中的应用 ， 平面向量的基本定理及其意义 二、填空题 11.【答案】 5 【解析】 5 i 5 i( 1 2 i) 2i1 2 i ( 1 2 i) ( 1 2 i)z ? ? ? ? ? ?， 22| | 1 2 5z ? ? 【提示】 通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果 【考点】 复数求模 12.【答案】 64 【解析】 由 1 1a? 且 1 2 5a a a， ， 成等比数列，得 21 1 1( 4 ) ( )a a d a d? ? ?，解得 2d? ，故 其 前 8 项 和【 ;百万教育
11、资源文库 】 81 878 642S a d? ? ? 【提示】 依题意， 1 1a? ， 21 1 1( 4 ) ( )a a d a d? ? ?，可解得 d ，从而利用等差数列的前 n 项和公式即可求得答案 【考点】 等差数列的前 n 项和 ， 等比数列的前 n 项和 13.【答案】 590 【解析】 从 12 名医生中任选 5 名， 不同选法有 512 792C ? 种不满足条件的有： 只去骨科和脑外科两科医生的选法有 57 21C? 种，只去骨科和内科两科医生的选法有 558555CC?种，只去脑外科和内科两科医生的选法有 5595125CC? 种，只去内科一科医生的选法有 55 1
12、C? 种，故符合条件的选法有： 7 9 2 2 1 5 5 1 2 5 1= 5 9 0? ? ? ?种 【提示】 从 12 名医生中任 选 5 名医生组成一个医疗小组， 先 求出不同选法共有 几种 ，再 求出不满足条件的共几种，在每一类中都用分步计数原理解答 ，用 所有 可能 的总数 减去不满足 条件得即可 【考点】 排列组合及简单计数问题 14.【答案】 5 【解析】 在 Rt ABC 中， 60A? ? ， 20AB? ，可得 10 3BC? 由弦切角定理，可得 60BCD A? ? ? ? 在 Rt BCD 中，可求得 53CD? ， 15BD? 又由切割线定理，可得 2CD DE D
13、B? ， 可求得 5DE? 【提示】 利用直角 ABC 的边角关系即可得出 BC ，利用弦切角定理可得 60BCD A? ? ? ?， 利用直角BCD 的边角关系即可得出 CD ， BD 再利用切割线定理可得 2CD DE DB? ，即可得出 DE 【考点】 与圆有关的比例线段 15.【答案】 16 【解析】 由极坐标方程 cos 4? ，化为直角坐标方程可得 4x? ，而由曲线参数方程消参得 22xy? ， 234 64y ?，即 8y? ， | | | 8 ( 8) | 16AB ? ? ? ? 【提示】 先将直线极坐标方程 cos 4? 化成直角坐标方程，再代入曲线 方程 中消 参得 8
14、y? ， 即可求出|AB 【考点】 点的极坐标和直角坐标的互化 ， 两点间的距离公式 ， 参数方程化成普通方程 16.【答案】 ( ,8? 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 设 2 2 5( ) | 5 | | 3 | 8 3 52 2 3xxf x x x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， ，可求得 ()fx的值域为 8, )? ， 因为原不等式无解，只需 8a? ，故 a 的取值范围是 ( ,8? 【提示】 利用绝对值的意义求得 | 5| | 3|xx? ? ? 最小值为 8，由此可得实数 a 的取值范围 【考点】 绝对值不等式的解法 二、填空题 17.【答案】（
15、）因 2( ) ( 5 ) 6 lnf x a x x? ? ?，故 6( ) 2 ( 5)f x a x x? ? ? ? 令 1x? ，得 (1) 16fa? ， (1) 6 8fa? ? ， 所以曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线方程为 16 6 8 ( 1)y a a x? ? ? ?， 由点 (0,6) 在切线上可得 6 16 8 6aa? ? ? ，故 12a? （）由（）知 21( ) ( 5 ) 6 ln ( 0 )2f x x x x? ? ? ?， 6 ( 2 ) ( 3 )( ) 5 xxf x x xx? ? ? ? ? 令 ( ) 0fx? ?
16、，解得 122, 3xx? 当 02x? 或 3x? 时， ( ) 0fx? ? ，故 ()fx在 (0,2) (3, )?， 上为增函数； 当 23x? 时， ( ) 0fx? ? ，故 ()fx在 (2,3) 上为减函数 由此可知 ()fx在 2x? 处取得极大值 9(2) 6ln 22f ? ，在 3x? 处取得极小值 (3) 2 6ln3f ? 【提示】（） 先由所给函数的表达式，求导数 ()fx? ，再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线与 y 轴相交于点 (0,6) 列出方程求 a 的值即可 （） 由 （） 求出的原函数及
17、其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值 【考点】 利用导数研究函数的单调性 ， 函数在某点取得极值的条件 ， 利用导数研究曲线上某点切线方程 18.【答案】（）设 iA 表示摸到 i 个红球， jB 表示摸到 j 个蓝球，则 ( 0,1,2,3)iAi? 与 ( 0,1)jBj? 独立 则恰好摸到 1 个红球的概率为 12341 37 18() 35CCPA C? （） X 的所以可能值为： 01050200， ， ， ，且 333 1 3 1 37 11( 2 0 0 ) ( ) ( ) ( ) 3 1 0 5CP X P A B P A P B C? ? ? ? ?【 ;百万教育资源文库 】 333 0 3 0 37 22( 5 0 ) ( ) ( ) ( ) 3 1 0 5CP X P A B P A P B C? ? ? ? ?21342 1 2 1 37 1 1 2 4( 1 0 ) ( ) ( ) ( ) 3 1 0 5 3 5
