1、【 ;百万教育资源文库 】 2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷 （理工农医类）答案解析 一 、 填空题 1.【答案】 2 【解析】 221 2 c o s ( 2 ) ( 2 c o s ( 2 ) 1 ) c o s 4y x x x? ? ? ? ? ? ?，所以 2 =42T? . 【提示】 由二倍角的余弦公式化简，可得其周期 . 【考点】 二倍角的余弦，三角函数的周期性及其求法 2.【答案】 6 【解析】 21 1 ( 1 2 i ) ( 1 2 i ) + 1 = 1 4 i 1 6z z z zz? ? ? ? ? ? ? ? ?【提示】 把复数代入表达式，
2、利用复数代数形式的混合运算化简求解即可 . 【考点】 复数代数形式的乘除运算 3.【答案】 2x? 【解析】椭圆 22195xy?的右焦点为 2,0（ ） ，故 22p? ，故该抛物线的准线方程为 22px? ? 【提示】 由题设中的焦点与椭圆 22195xy?的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出 p，再由抛物线的性质求出它的准线方程 【考点】 椭圆的简单性质 4.【答案】 ( ,2? 【解析】若 2a? ，则 (2) 2f ? ，不合题意，舍去；若 2a? ， 2(2) 2 4f ?，符合题意，故 a 的取值范围是( ,2? . 【提示】 可对 a进行讨论，当 2
3、a? 时，当 2a? 时，当 2a? 时，将 a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围 . 【考点】 分段函数的应用 5.【答案】 22 【解析】由基本不等式可得 222 2 2 2 2 .x y xy? ? ?故 222xy? 的最小值为 22. 【提示】 由已知可得 1y x? ，代入要求的式子，由基本不等式可得 . 【考点】基本不等式 【 ;百万教育资源文库 】 6.【答案】 1cos3arc 【解析】由题意可得， 2 3rl r? ，解得 3lr? ，记母线与底面所成的角为 ? ，则 1cos 3rl? ?，即 1cos 3arc? ? . 【提示】 由已知中圆锥的侧面积是底面积的
4、3 倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的 3 倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角 . 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 7.【答案】 13 【解析】 曲线 AC 的直角坐标方程为 3 4 1xy?，与 x 轴的交点为 1( ,0)3 ，到原点距离为 13 . 【提示】 由题意， 0? ，可得 C与极轴的交点到极点的距离 . 【考点】 简单曲线的极坐标方程 8.【答案】 512?【解析】因为无穷等比数列 na 的极限存在，所以 | | 1q? ，又因为 1 3 4( ) ,lim nna a a a? ? ? ?即2211 (1 )1limnna q qa q
5、 ? ?，解得 512q ? . 【提示】 由已知条件推导出 1a ， 由此能求出 q的值 . 【考点】 极限及其运算 9.【答案】 (0,1) 【解析】函数 ()fx的定义域为 (0, )? ， ( ) 0fx? 即 2 13 2xx? ，在同一坐标系中作出 2 13 2xx?、 （ 0x? ）的图象（如图），由图象可知，当 (0,1)x? 时， 2 13 2xx? .故满足 ( ) 0fx? 的 x 的取值范围是 (0,1) . 【提示】 直接利用已知条件转化不等式求解即可 . 【考点】幂函数的性质 10.【答案】 115 【解析】记“选择的 3天恰好为连续 3天”的概率为 P，从 10天
6、中选择 3天共有 310C 种方法，从 10天中选【 ;百万教育资源文库 】 择连续的 3天有 8种选择方法，故3108 8 1120 15P C? ? ?【提示】 要求在未来的连续 10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练，选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率，须先求在 10天中随机选择 3天的情况，再求选择的 3天恰好为连续 3天的情况，即可得到答案 . 【考点】 古典概型及其概率计算公式 11.【答案】 1? 【解析】（ 1）当 22a a b b?， 时， ,ab可看作是 2xx? 的根，此时 0ab? 与 0ab? 矛盾，故舍去； （ 2）当 22a b b a?， 时，可得 2
7、2a b b a? ? ? ，（ ? ）因为 2ab? ，所以 24ab? ，所以（ ?）即为 2 2 4b b b b? ? ? ，即 3( 1) 0bb?，所以 301bb?或 ，此时 130 1 i22b b b? ? ? ? ?或 或 ； 当 0b? 时， 0a? ， 0ab? 与 0ab? 矛盾且不满足集合的互异性，故舍去； 当 1b? 时， 10a ab?， ，但此时不能满足集合的互异性，故舍去； 当 13i22b? ?时， 13i22a? ?， 0ab? 且满足集合的互异性，符合题意，此时 1ab? ? ； 当 13i22b? ?时， 13i22a? ?， 0ab? 且满足集合的
8、互异性，符合题意，此时 1ab? ? ； 综上所述， 1.ab? ? 【提示】 根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论 . 【考点】集合的相等 12.【答案】 73 【解析】 sin 3 cosx x a?化简得 2sin3xa?，如图，当且仅当 3a? 时，恰有三个交点，即1 2 3 7 0 + + 2 =33x x x?. 【提示】 先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数 2sin 3yx?的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在 0,2 上，当 3a? 时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时 1 2 3x x x， ，【 ;百万教育资源文库 】 最后相加即可
9、 【考点】 正弦函数的图象 ， 两角和与差的正弦函数 13.【答案】 0.2 【解析】 解：设小白得 5分的概率至少为 x，则由题意知小白得 1， 2， 3， 4分的概率为 1x? ， 某游戏的得分为 1， 2， 3， 4， 5，随机变量 ? 表示小白玩该游戏的得分， ( ) 4.2E? ， 4(1 ) 5 4.2xx? ? ? ，解得 0.2x? . 【提示】 设小白得 5分的概率至少为 x，则由题意知小白得 4分的概率为 1x? ，由此能求出结果 . 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 14.【答案】 2,3 【解析】由题意可设 2( 4 , ), (6 , )p p QP y y Q
10、y?（ 22Py? ? ? ），又因为 0AP AQ?，所以点 P、 A.Q在一条直线上，且 A点为线段 PQ的中点 .所以， 22 4 6Pmy? ? ? ?，又 22Py? ? ? ，所以 2,3m? . 【提示】 通过曲线方程判断曲线特征，通过 0AP AQ?，说明 A 是 PQ 的中点，结合 x 的范围，求出 m的范围即可 . 【考点】 直线与圆的位置关系 二、选择题 15.【答案】 B 【解析】由 4ab? 不能推出 2a? 且 2b? ，如 1, 6ab?满足 4ab? ，但不能满足 2a? 且 2b? ； 如果 2a? 且 2b? ，由不等式的性质可得 4ab? ；故“ 4ab?
11、 ”是“ 2a? 且 2b? ”的必要非充分条件 . 【提示】 根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定 . 【考点】充分、必要条件 16.【答案】 A 【解析】解法一： 如图，以 A点为坐标原点建议空间直角坐标系 A xyz? ，则 1 2 3 4 5 6 7 8( 0 , 0 , 0 ) ( 0 , 0 , 1 ) ( 0 , 1 , 1 ) ( 0 , 2 , 1 ) ( 1 , 0 , 1 ) ( 1 , 1 , 1 ) ( 1 , 2 , 1 ) ( 2 , 0 , 1 ) ( 2 , 1 , 1 ) ( 2 , 2 , 1 )A B P P P P P P P P，
12、， ， ， ， ， ， ， ，则(0,0,1)AB? ， 1 (0,1,1)AP? ， 2 (0,2,1)AP? ， 3 (1,0,1)AP? ， 4 (1,1,1)AP? ， 5 (1,2,1)AP? ， 6 (2,0,1)AP? ，7 (2,1,1)AP? ， 8 (2,2,1)AP? ，经计算，可知 i (i 1, 2, ,8)AB AP ? 的值均为 1，故选 A. 【 ;百万教育资源文库 】 解法二： 根据向量数量积的几何意义， iABAP 等于 AB 乘以 iAP 在 AB 方向上的投影，而 iAP 在 AB 方向上的投影是定值， |AB 也是定值， iABAP 为定值 1，故选
13、A 【提示】 建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案 . 【考点】 平面向量数量积的运算 17.【答案】 B 【解析】解法一：由已知得 112211ka bka b? ? ，代入 112211a x b ya x b y? 得 1122( 1) 1( 1) 1a x ka ya x ka y? ? ? ? ? ? 解得 1xky? ? ，即直线111ax by?与 221a x b y?恒交于点 ( ,1)k? （ k 为常数） . 解法二： 由已知条件 111b ka?， 221b ka?， 111 2 2 122abD a b a bab? ? ? 1 2 2 1 1 2( 1 )
14、 ( 1 ) 0a k a a k a a a? ? ? ? ? ? ?，有唯一解，选 B. 【提示】 判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出 1 1 2 2a b a b， ， ， 的关系，然后求解方程组的解即可 . 【考点】 一次函数的性质与图象 18.【答案】 D 【解析】解法一：当 0a? 时， (0) ( )f f a? ，不是最小值，不合题意，舍去； 当 0a? 时，易知 (0)f 是 ()fx的最小值； 当 0a? 时，当 0x? 时， 2min( ) (0)f x f a?，当 0x? 时， m in( ) (1) 2f x f a? ? ?，要使 (0)f 是 ()fx的最
15、小值，必须 2 2aa? ，解得 12a? ? ，又 0a? ，所以 02a?； 综上可知， a 的取值范围为 0,2 . 解法二：（排除法） 先分析 0x? 的情况，是一个对称轴为 xa? 的二次函数，当 0a? 时， m in( ) ( ) (0)f x f a f?，不符合题意，排除 A.B选项； 当 0a? 时，根据图像 min( ) (0)f x f? ，即 0a? 符合题意，排除 C选项；故选 D. 【提示】 当 0a? 时，显然 (0)f 不是 ()fx的最小值，当 0a? 时，解不等式： 2 20aa? ? ，得 12a? ? ，问题解决 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点
16、】考查分段函数，函数的最值 三、解答题 19.【答案】 223 【解析】在 12 3PPP 中， 1 3 2 3,P A P A P C P C?，所以 AC 是中位线，故 12 2 4.PP AC? 同理， 2 3 3 14, 4P P PP?所以 1 2 3PPP 是等边三角形，各边长均为 4. 设 Q是 ABC的中心，则 PQ平面 ABC，所以 22223 6 .33A Q P Q A P A Q? ? ? ?， 从而， 12233ABCV S PQ?【提示】 利用侧面展开图三点共线，判断 1 2 3PPP 是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积 . 【考点】 棱
17、柱、棱锥、棱台的体积 20.【答案】 （ 1）因为 24xxy ? ?，所以 4( 1)2 1x yy ? ? ， 得 1 1,yy? ?或 且2 4( 1)log 1yx y ? ?. 因此，所求反函数为 12 4 ( 1 )( ) l o g 1 11xf x x xx? ? ? ? ? ， 或（ 2）当 0a? 时， ( ) 1fx? ，定义域为 R ，故函数 ()y f x? 是偶函数； 当 1a? 时， 21( ) ,21xxfx ? ?定义域为 ( ,0) (0, ),? ? 2 1 2 1( ) ( )2 1 2 1xxf x f x? ? ? ? ? ? ?，故函数 ()y f x? 是奇函数； 当 01aa?且 时，定义域 22lo g ) (lo g , )aa? ?（ - ， 关于原点不对称，故函数 ()y f x? 既不是奇函数，也不是偶函数 . 【提示】 （ 1）根据反函数的定义，即可求出 （ 2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出 a的值，若为奇函数，求出 a的值，问题得以解决 . 【考点】反函数，判断函数的奇偶性 21.【答案】
