1、【 ;百万教育资源文库 】 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 （上海 卷 ） 数学 试卷 （ 文史类 ） 答案解析 一、填空题 1.【 答案】 12i? 【 解析】 3 i ( 3 i ) (1 i ) 2 4 i 1 2 i1 i (1 i ) (1 i ) 2? ? ? ? ? ? ? ? ?【提示】 由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以 1i? ，再由进行计算即可得到答案 。 【 考点】复数代数形式的乘除运算。 2.【 答案】 1,12?【 解析】 由 题意得， 1 | 2 1 = |2A x x x x? ? ? 0， 1 | 2 1 = |2A x x x x? ? ? ?
2、0， AB? 1,12?， 故答案为 ： 1,12?【提示】 由题意，可先化简两个集合 A， B，再求两个集合的交集得到答案 。 【 考点】交集及其运算。 3.【答案】 【 解析】 解 ： s i n 2 1( ) s i n c o s 2 s i n 2 21 c o s 2xf x x x xx? ? ? ? ? 2 2T? 函数 sin 2()1 cosxfx x? ?的 最小正周期是 。 【 提示】先根据二阶行列式的公式求出函数的解析式，然后利用二倍角公式进行化简，最后根据正弦函数的周期公式进行求解即可。 【 考点】二阶矩阵 ， 三角函数中的恒等变换应用 ， 三角函数的周期性及其求法
3、。 4.【 答案】 1arctan2 【 解析】设直线的倾斜角为 ? ，则 11ta n a rc ta n22?， 。 【 提示】 根据直线的方向向量的坐标一般为 (1,)k 可得直线的斜率，根据 tan k? ，最后利用反三角可求出倾斜角 。 【 考 点】直线的方向向量，直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示 。 5.【答案】 6 【 ;百万教育资源文库 】 【 解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为 1r? ，所以该圆柱的表面积为：22 2 4 2 6S r l r? ? ? ? ?圆 柱 表 。 【 提示】 求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可 。 【 考点 】空间
4、几何体的表面积公式。 6.【答案】 2log3 【解析】根据方程 ： 14 2 3 0xx? ? ? ，化简得 2(2 ) 2 2 3 0xx? ? ? ?，令 2 ( 0)x tt?，则原方程可化为 ：2 2 3 0tt? ? ? ，解得 3t? 或 1( )t?舍 ，即 22 3, log 3x x? 。所以原方程的解为 2log3 。 【 提示 】 根据指数幂的运算性质可将方程 14 2 3 0xx? ?- 变形为 22 2 2 3 0xx?（ ） 然后将 2x 看 作 整体 ， 解关于 2x 的一元二次方程即可 。 【 考点】指数型方程 ， 指数的运算 ， 指数与对数形式的互化 ， 换
5、元法在求解数学问题中的运用。 7.【答案】 87 【解析】由正方体的棱长组成以 1 为首项， 12 为公比的等比数列，可知它们 的 体积则组成了一个以 1 为首项， 18 为公比的等比数列，因此， 12 18lim ( ) 1 718nn V V V? ? ? ? ? ?。 【 提示 】 由题意可得，正方体的体积 13 18nnnVa?是以 1 为首项， 以 18 为公比的等比数，由等不数列的求和公式可求 。 【 考点】无穷递缩等比数列的极限 ， 等比数列的通项公式 ， 等比数列的定义。 8.【答案】 20? 【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 33346 1C 2 0T
6、x x? ? ? ?。 【 提示 】对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成。 【 考点】二项式定理。 9.【答案】 3 【解析】因为函数 ()y f x? 为奇函数，所以有 ( ) ( )f x f x? ? ，即 (1) (1) 2gf?，又 (1) 1g ? ，所以 (1) 1f ? ，( 1 ) (1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 2 1 2 3f f g f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，。 【 提示 】 由题意 ()y f x? 是奇函数， ( ) ( ) 2g x f x?得 到 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 4g x g x f x f x? ?
7、? ? ? ? ? ?，再令 1x?即可得到 1 ( 1) 4g? ? ? ，从而解出答案 。 【 ;百万教育资源文库 】 【 考点】函数的奇偶性 ， 函数的值 10.【答案】 2? 【解析】根据题意得到 0,0,2 2;xyxy?或 0,0,2 2;xyxy?或 0,0,2 2;xyxy? ? ?或 0,0,2 2.xyxy? ?其可行域为平行四边形 ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成 y x z? ， z 的最小值就是该直线在 y轴上截距的最小值，当该直线过点 (2,0)A 时， z 有最小值 ， 此时 min 2z ? 。 【 提示】准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线
8、过点 (2,0)A 时， z 有最小值 ， 此时 min 2z ? ，结合 图形可求。 【 考点 】 简单 线性规划 。 11.【答案】 23 【解析】一共有 27 种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有 18 种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为 23 。 【 提示 】 先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型 及其 概率计算公式 进行 求解即可。 【 考点】古典概型 及其 概率计算公式，列举法计算基本事件数及事件发生的概率。 12.【答案】 ? ?1,4 【解析】以向量 AB 所在直线为 x 轴，以向量 AD 所在直线为
9、 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示 ， 因为21AB AD?， ，所以 ( 0 , 0 ) ( 2 , 0 ) ( 2 ,1 ) ( 0 ,1 ) .A B C D， ， ，设 (2, ) ( ,1)M b N x， ， (0 2)x? ，根据题意，22xb ? ，所以 ( ,1)AN x? ， 22, 2 xAM ?。 所以 3 12AM AN x? ?02x? ，所以 31 1 42x? ? ? ，10 5 5 10642246y = x + zBDAC【 ;百万教育资源文库 】 即 14AM AN?。 【 提示 】 先以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AD 所在的直线为 x 轴，建立
10、坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系，表示出两个向量的数量积，根据动点的位置得到自变量的取值范围，做出函数的范围，即要求得数量积的范围 。 【 考点】平面向量的基本运算 ， 概念 ， 平面向量的数量积的运算律 。 13.【答案】 14 【解析】根据题意，得到12 , 02()12 2 , 12xxfxxx? ? ? ? ? ?， 从而得到2212 , 02()12 2 , 12xxy xf xx x x? ? ? ? ? ?， 所以围成的面积为 1 1 2210 2 12 ( 2 2 ) 4S x d x x x d x? ? ? ? ?， 所以围成的图形的面积为 1
11、4 。 【 提示】 先利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数 (x)f 的函数解析式，进而求得函数(x)(0 1)y xf x? ? ?的函数解析式，最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可 。 【 考点 】函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用。 14.【答案】 3 13 526?【解析】据题 1()1fx x? ? ，并且 2 ()nna f a? ? ，得到2 11n na a? ? ?， 1 1a? ，3 12a?， 2010 2012aa? ， 得到2010201011 aa ?，解得2010 512a ?（负值舍去）。依次往前推得到
12、 ：20 11 3 13 526aa ?。 10 5 5 10642246CADBMN 【 ;百万教育资源文库 】 【 提示】 根据 1()1fx x? ? ，各项均为正数的数列 na 满足 1 1a? ， 2 ()nna f a? ? ，可确定 1 1a? ，3 12a?，5 23a?，7 35a?，9 58a?，11 813a ?，利用 2010 2012aa? ，可得2010 512a ?（负值舍去），依次往前推得到2010 512a ?，由此可得结论 。 【 考点 】数列的概念 ， 组成和性质 ， 函数的概念。 二、选择题 15.【答案】 D 【解析】根据实系数方程的根的特点 知 1
13、2i? 也是该方程的另一个根， 所以 1 2 i 1 2 i 2 b? ? ? ? ? ?，即 2b? ， (1 2 i)(1 2 i) 3 c? ? ? ?， 故答案选择 D 【 提示】 由题意，将根代入实系数方程 2 0x bx c? ? ? 整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数 ab， 的方程组 102 2 2 0bcb? ? ? ? ?，解方程得出 ab， 的值即可选出正确选项 。 【 考点 】 复数代数形式的混合运算 ， 复数相等的充要条件 。 16.【答案】 B 【解析】方程 221mx ny?的曲线表示椭圆，常数 ,mn的取值为 00mnmn?， 所以，由 0mn? 得不到程
14、221mx ny?的曲线表示椭圆，因而不充分 ； 反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出 0mn? ，因而必要。 所以答案选择 B 【 提示】 先根据 0mn? 看能否得出方程 221mx ny?的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程 221mx ny?的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出 0mn? ，即可得到结论 。 【 考点 】充分条件和必要条件 ， 充要条件 ， 椭圆的标准方程的理解 。 17.【答案】 A 【解析】由正弦定理，得 s i n s i n s i n222a b cA B CRRR?， ， ，代入得到 222a b c?， 由余弦定理的推理 得 2
15、2 2c o s 02a b cC ab?，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形。 故选择 A 【 提示】 利用正弦定理将 2 2 2sin sin sinA B C?，转化为 222a b c?，再结合余弦定理作出判断即可 。 【 考点 】正弦定理及其推理 ， 余弦定理的运用。 【 ;百万教育资源文库 】 18.【答案】 C 【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项。 【 提示】解决此类问题 需 要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0，这就是规律。 【 考点 】正弦函数的图象和性质和间接法解题。 三、解答题 19.【答案】（ 1） 解 ： 1 2
16、 2 3 2 32ABCS ? ? ? ?， 三棱锥 -PABC 的 体积为： 1 1 42 3 2 33 3 3ABCV S P A? ? ? ? ? ? （ 2） 解 ： 取 PB 的中点 E ， 连接 DE 、 AE ， 则 ED BC ，所以 ADE （ 或其补角）是异面直线 BC 与 AD所 成的角。 在 ADE 中， =2DE ， 2AE? ， 2AD? ， 222 2 2 3c o s 2 2 2 4A D E ? ， 所以 3arccos 4ADE ? 。 因此 ，异面直线 BC 与 AD 所 成的角的大小 是 3arccos4 。 【 提示】 （ 1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形 ABC 的面积： 23ABCS ? ，然后根据 PA 底面ABC ，结合锥体体积公式，得到三棱锥 P ABC 的体积； （ 2） 取 PB 的中点 E ， 连接 DE 、 AE ， 在 BC P 中，根据中位线定理得到 DE BC ，所以 ADE （或其补角） 是异面直线 BC 与 AD 所 成的角 。然后 在 ADE 中 ，利用余弦定理得到 3cos 4ADE? ， 所以3arccos4ADE? 是锐角， 因此 ，异面直线 BC 与 AD 所 成的角的大小 是 3arccos4 。 【 考点 】直线与直线 ， 直线与平面的位置关系，空间中两条异面直线所成
