1、【 ;百万教育资源文库 】 2015年普通高等学校招生全国统一考试 （天津 卷 ） 数学（文科）答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 2 3 5 2 5UA C B?， ， ， ，则 ( ) 2 5UAB? ， ，故选 B 【提示】求出集合 B的补集，然后求解交集即可 . 【考点】集合运算 . 2.【答案】 C 【解析】 513 = ( 2 ) ( 2 8 ) 9 922z x y x x y? ? ? ? ? ? ? ?，当 23xy?， 取得最大值 9，故选 C此题也可画出可行域，借助图像求解 . 【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值 .
2、 【考点】线性规划 3.【答案】 C 【解析】 由程序框图可知： 0 1 0 1 9 2 7i S i S i S? ? ? ? ? ?， ； ， ； ，； 34iS?， ； . 4i? , 0.S? 故选 C 【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 iS， 的值，当 0S? 时满足条件 1S? ，退出循环，输出 i 的值为 4. 【考点】程序框图 . 4.【答案】 A 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】由 2 1 1 2 1 1 3x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，可知“ 12x?”是“ 21x?”的充分而不必要条件，故选 A 【提示】求解 |21x? ，得出“
3、12x?”，根据充分必要条件的定义判断即可 . 【考点】不等式、充分条件与必要条件 . 5.【答案】 D 【解析】由双曲线的渐近线 0bx ay?与圆 22( 2) 3xy? ? ? 相切，得222 3bab? ，由 222c a b? ? ? ，解得 13ab?， ，故选 D 【提示】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径，求出 ab， 的关系，结合焦点为 (20)F, ，求出 ab， 的值，即可得到双曲线的方程 . 【考点】圆与双曲线的性质 . 6.【答案】 A 【解析】由相交弦定理，得 83C M M DC M M D C N N E N E CN? ? ? ?，故选
4、 A 【提示】由相交弦定理求出 AM ，再利用相交弦定理求 NE 即可 . 【考点】相交弦定理 . 7.【答案】 B 【解析】因为 ? ? 21xmfx ?为偶函数，所以 0m? ，即 ( ) 2 1xfx?. 2 21l o g 3 l o g 30 . 5 2 1( l o g 3 ) l o g 2 1 2 1 3 1 23a f f ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2lo g 52(lo g 5 ) 2 1 4bf? ? ? ?. 0( 2 ) ( 0 ) 2 1 0c f m f? ? ? ? ?， 所以 c a b .故选 B 【提示】 根据函数的奇偶性得出 ? ? 2 1
5、0212 1 0xxmxxfx x? ? ? ? ? ? ，利用单调性求解即可 . 【考点】奇偶性质，对数运算 . 8.【答案】 A 【解析】当 0x? 时， ? ? 22f x x?此时方程 2( ) ( ) 1f x g x x x? ? ? ? ?的小于零的零点为 152x ?； 当 02x? 时， (2 ) 2 2f x x x? ? ? ? ?，方程 ( ) ( ) 2 3 1f x g x x x? ? ? ? ? ? ?无零点； 当 2x? 时， ( 2 ) 2 2 4f x x x? ? ? ? ? ?，方程 22( ) ( ) ( 2 ) 1 5 5f x g x x x x
6、 x? ? ? ? ? ? ? ?大于 2 的零点有一【 ;百万教育资源文库 】 个，故选 A 【提示】 求出函数 ( ) - ( )y f x g x? 的表达式，构造函数 ( ) ( ) (2 )h x f x f x? ? ?， 分类讨论 进行求解即可 . 【考点】函数与方程 . 第 卷 二、填空题 9.【答案】 i? 【解析】 21 2 i i 2 i i ( i 2 ) i2 i 2 i 2 i? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 【提示】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可 . 【考点】复数运算 . 10.【答案】 83 【解析】该几何体是由两个高为 1 的圆锥与一个高为 2
7、 的圆柱组合而成，所以该几何体的体积为3182 1 2 = ( m )33? ? ? ? ?. 【提示】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积 . 【考点】三视图、几何体的体积 . 11.【答案】 3 【解析】因为 ()afxx? ? ，所以 (1) 3fa? ? . 【提示】 由题意求出 ()fx? ，利用 ( ) 3fx? ? ，求 A 【考点】导数的运算法则 . 12.【答案】 4 【解析】 ? ? 2 22222 2 2 2l o g l o g ( 2 ) 11l o g l o g 2 = ( l o g 2 ) ( l o g 1 6
8、) 42 4 4aba b a b? ? ?，当且仅当 2ab? 时取等号，结合 0 0 8a b ab? ? ?， ， ，可得 42ab?， . 【提示】 由条件可得 1a? ，再利用基本不等式，求得当 4a? 时， 22log log 2 )(ab取得最大值，从而得出结论 . 【考点】基本不等式 . 13.【答案】 2918 【解析】在等腰梯形 ABCD 中，已知 2 1 6 0A B D C A B B C A B C? ? ? ? ， ， ， 得 11122A D B C A B A D D C A B? ? ?， ，所以 ? ? ? ? 213 1 2A E A F A B B E
9、A D D F A B B C A D A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【 ;百万教育资源文库 】 22 1 1 1 1 1 2 913 1 2 1 8 3 3 1 8 1 8A B A D B C A D A B B C A B? ? ? ? ? ? ? ? ? 【提示】根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可 . 【考点】平面向量的数量积 . 14.【答案】 2【解析】由 ?fx在区间 ( , )? 内单调递增，且 ()fx的图像关于直线 x? 对称，可得 2? ，且2 2 2 ( ) s i n c o s 2 s i n 14f ? ? ? ? ?
10、? ? ? ?，所以 2 =4 2 2?. 【提示】 由两角和的正弦函数公式化简解析式可得函数 ()fx的单调递增区间，结合已知可解得 0k? ，又由 42xk? ? ? ，可解得函数 ()fx的对称轴，结合已知可得： 2 4? ，从而可求 ? 的值 . 【考点】三角函数的性质 . 三、解答题 15.【答案】 （ ） 由分层抽样方法可知，应从甲，乙，丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为 3， 1，2； （ ）（ i ）从这 6名运动员中随机抽取 2名参加双打比赛，所有可能的结果为 12AA， ， 13AA， ， 14AA， ，1 5 1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 A A A A
11、A A A A A A A A， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 3 4 3 5 3 6 , , A A A A A， ， ， 4 5 4 6 5 6 , , , A A A A A A， ，共 15种 . （ ii ）编号为 56,AA的两名运动员至少有一人被抽到的结果为 1 5 1 6 2 5 , ,A A A A A A， ， ， ， 2 6 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6 , , , A A A A A A A A A A A A， ， ， ， ， ， ， ，共 9种，所以事件 A 发生的概率 93()15 5PA?. 【提示】（）由题意可得抽取比例，可得相应的人数 .
12、 （）（ i ）列举可得从 6名运动员中随机抽取 2名的所有结果共 15种 . （ ii ）事件 A包含上述 9个，由概率公式可得 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】分层抽样，概率计算 . 16.【答案】 （ ） ABC 中，由 1cos 4A? ，得 15sin4A?，由 1 sin 3 152 bc A ? ，得 24bc? .又由 2bc? ， 解得 64bc?， .由 2 2 2 2 co sa b c bc A? ? ? ，可得 8a? ，再 sin sinacAC? ，得 15sin8C?. （ ） 2 3 1 5 7 3c o s 2 c o s 2 c o s s i n
13、 2 s i n ( 2 c o s 1 ) s i n c o s6 6 6 2 1 6A A A A A A ? ? ? ? ? ? ? ?. 【提示】 （ ）通过三角形的面积以及已知条件求出 bc， ，利用正弦定理求解 sinC 的值 . （ ）利用两角和的余弦函数化简 cos 26A?，然后直接求解即可 . 【考点】正弦定理，余弦定理及面积公式，两角和的余弦公式 . 17.【答案】 （ ） 要证明 EF 平面 11ABBA ，只需证明 1EF BA 且 EF? 平面 11ABBA ； 点 EF， 分别是 BC AC， 中点， 1EF BA ， EF? 平面 11ABBA ， 1BA?
14、平面 11ABBA ， EF? 平面 11ABBA . （ ） 因为 AB AC E? ， 为 BC 中点，所以 1AE BC? ，因为 1AA? 平面 11ABC BB AA， ， 所以 1BB? 平面 ABC，从而 1BB AE? ，又 1BC BB B? ， 所以 1AE BCB?平 面 ，又因为 AE? 平面 1AEA ， 所以平面 1AEA? 平面 1BCB . （）取 1BB 中点 M 和 1BC中点 N ，连结 11AM AN， .因为 N 和 E 分别为 1BC BC， 中点， 所以1112NE BB NE BB? ，故 11NE AA NE AA? ， ，所以 11A N A
15、E A N AE? ， ， 又因为 AE? 平面 1BCB ，所以 1AN? 平面 1BCB ，从而 11ABN? 就是直线 11AB与平面 1BCB 所成角， 在 ABC 中，可得 2AE? ，所以 1 2AN AE?，因为 11BM AA BM AA? ， ， 所以 11/A M AB A M AB?， ，又由 1A BB? ，有 11AM BB? ，在 11Rt AMB 中，可得 114AB? ， 在 11Rt ANB 中， 111 11 1sin 2ANA B N AB? ? ?， 因此 11 30ABN?，所以直线 11AB与平面 1BCB 所成角为 30 . 【 ;百万教育资源文库
16、 】 【提示】 （ ）证 1EF AB ，由线面平行的判定定理可得 . （ ）易证 AE BC? ， 1BB AE? ，可证 AE? 平面 1BCB ，进而可得面面垂直 . （ ）取 1BB 中点 M 和 1BC中点 N ，连接 11AM AN NE， ， ，易证 11ABN? 为直线 11AB与平面 1BCB 所成角，解三角形可得 . 【考点】线面平行的判定，面面垂直的判定，线面所成角的大小 . 18.【答案】 （ ） 设 na 的公比为 q ， nb 的公差为 d ，由题意 0q? ，由已知，有 242 3 2,3 10,qdqd? ? ?消去 d ，得 422 8 0qq? ? ? ，解
17、得 22qd?， ，所以 na 的通项公式为 1*2nnan?N， ， nb 的通项公式为*21nb n n? ? ?N， . （ ） 由 （ ） ，有 1(2 1)2nncn ? ，设 nc 的前 n 项和为 nS ， 则 0 1 2 11 2 3 2 5 2 ( 2 1 ) 2 nnSn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 1 2 32 1 2 3 5 2 ( 2 1 ) 2 nnSn? ? ? ? ? ? ? ? ?，两式相减得231 2 2 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 3 ) 2 3n n nnS n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 (2 3)
18、2 3nnSn? ? ?. 【提示】 （ ）设出数列 na 的公比和数列 nb 的公差，由题意列出关于 qd， 的方程组，求解方程组得到qd， 的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求 . （ ）由题意得到 1(2 1)2nncn ? ，然后利用错位相减法求得数列 nc 的前 n 项和 . 【考点】等差 、 比数列的通项公式 ， 错位相减法求和 . 【 ;百万教育资源文库 】 19.【答案】 （ ） ( ,0)Fc? ，由已知 55ca?及 2 2 2a b c?，可得 52a c b c?， ，又因为 (0 )Bb， ，故直线 BF 的斜率 0 20 ( )bbk cc? ? ? . （ ）（ i ） 设点 ( ) ( ) ( )P P Q Q M MP x y Q x y M x y， ， ， ， ，（ i ）由（ 1
