1、【 ;百万教育资源文库 】 2014 年 普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷） 数学 （ 文科 ） 答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 D 【解析】 0, )M? ? ， ( 1,1)N? ， 0,1)MN? 【提示】先解出集合 N ，再求两集合的交 集 可得出正确选项 . 【考点】交集及其运算 2.【答案】 B 【解析】 2 2 | | 2T ? ? ? 【提示】由题意得 2? ，再代入复合三角函数的周期公式 2|T ? 求解 . 【考点】三角函数的周期性及其求法 3.【答案】 A 【解析】 2iz?， 2iz?， 4 1 5zz? ? ? 【提示】由 z 求出 z ，然后直接利用
2、复数代数形式的乘法运算求解 . 【考点】复数代数形式的乘除运算 4.【答案】 C 【解析】 1 2 32 4 8a a a? ? ?， ， ， na 是 1 2a? ， 2q? 的 等比数列 . 【提示】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式 . 【考点】程序框图 5.【答案】 C 【解析】旋转体为圆柱，半径 r为 1，高为 1，则侧面积为两个圆， 22 2Sr? 【提示】边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积 . 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 6.【答案】 B 【解析】 5 中 取 2 共有 10 种 ，距
3、离小于边长只能是中心到 4 个 顶点 ， 共 4 种 ， 4210 5P? 【提示】 设正方形边长为 1，则从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中任取 2 个点，共有 10 条线段， 4 条长度为 1， 4 条长度为 22，两条长度为 2 ，即可得出结论 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】几何概型 7.【答案】 B 【解析】 A 选项 ： 由 3( ) ( )f x y x y? ? ? ， 3 3 3( ) ( ) ( )f x f y x y xy?， 得 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ， 所以 A 错误 ； B 选项 ：由 ( ) 3xyf x y ? ， ( )
4、 ( ) 3 3 3x y x yf x f y ?， 得 ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ， 又函数 ( ) 3xfx? 是 定义在R 上 的增函数，所以 B 正确 ； C 选项 ：由 23( ) ( )f x y x y? ? ?， 2 2 23 3 3( ) ( ) ( )f x f y x y xy?，得( ) ( ) ( )f x y f x f y? ， 所以 C 错误 ； D 选项 ：函数 1( ) ( )2 xfx? 是 定义在 R上 的减函数，所以 D 错误 。故 选B. 【提示】对选项一一加以判断，先判断是否满足 ( ) ( ) ( )f x y f x
5、 f y? ，然后考虑函数的单调性，即可得到答案 . 【考点】抽象函数及其应用 8.【答案】 A 【解析】原命题与逆否命题等价，逆命题和否命题等价 ， 1 2nnn n naa a a a? ? ? ?为递减数列，故原命题为真，逆命题为真，所以四个命题全为真，选 A. 【提示】先根据递减数列的定义判定命题的真假，再判断否命题的真假，根据命题与其逆否命题同真性及四种命题的关系判断逆命题与逆否命题的真假 . 【考点】命题 及命题的真假 9.【答案】 D 【解析】 样本 数据加同一个数，均值也加此数，方差也不变 【提示】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论 . 【考点】极差、方差
6、与标准差，众数、中位数、平均数 10.【答案】 A 【解析】三次函数过点 (0,0) ， (2,0) ，且 (0) 1f? ? ， (2) 3f? ? ，经 检验只有 321122y x x x?符合 . 【提示】由题设， “ 需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切） ” 可得出此两点处的切线正是两条直道所在直线，由此规律验证四个选项即可得出答案 . 【考点】导数的几何意义，函数解析式的求解及常用方法 第 卷 二、填空题 11.【答案】 1x? 【 ;百万教育资源文库 】 【解析 】 24p? ， 2p? ，开口向右，准线方程是 1x? . 【提示】先根据抛物线的标准方程形式，求出 p，
7、再根据开口方向，写出其准线方程 . 【考点】抛物线的简单性质 12.【答案】 10 【解析 】 由 42a? ，得4 1log 2 2a?，再由 1lg 2xa? ，得 10x? 【提示】化指数式为对数式求得 a ，代入 lgxa? 后由对数的运算性质求得 x 的值 . 【考点】对数的运算性质 13.【答案】 12 【解析 】 22s i n 2 c o s 2 s i n c o s c o s 0ab ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 0 2? ， 2sin cos 0?， tan 12? . 【提示】由条件利用两个向量的数量积公式求得 22sin cos cos 0? ? ?，再利用
8、同角三角函数的基本关系求得 tan? . 【考点】平面向量数量积的运算 14.【答案】 1 2014x x? 【解析 】 由题意1 ( ) ( ) 1 xf x f x x?， ? ?21 1( ) ( ) 1211xxxf x f f xx xx? ? ?， ? ?32 12( ) ( ) 131 12xxxf x f f xx xx? ? ?， ? ?1( ) ( ) 1nn xf x f f x nx? ? ? ?，故2014 () 1 2014xfx x?. 【提示】由题意，可先求出 1 2 3( ) ( ) ( )f x f x f x， ， ，归纳出 ()nfx的表达式，即可得出
9、2014()fx的表达式 . 【考点】归纳推理，函数解析式的求解及常用方法 15.【答案】 5 3 1 【解析 】 A.由柯西不等式得， 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )m a n b m n a b? ? ? ?， 22 55a b ma nb? ? ? ?， ， 22( ) 5mn?， 22mn? 的最小值为 5 ； B.由题意，以 BC为直径的半圆分别交 AB、 AC 于点 E、 F， AEF C? ， EAF CAB? ， AEF ACB ， AE EFAC BC? ， 62BC AC AE?， ， 3EF? ； C.根据极坐【 ;百万教育资源文库 】 标和直角坐标的互化公式
10、cosx ? ， siny ? ，可得点 (2, )6 即 ( 3,1) ；直线 sin( ) 16?即13122xy?，即 3 2 0xy? ? ? ，故点 ( 3,1) 到直线 3 2 0xy? ? ? 的距离为 | 3 3 2 | 113? . 【提示】 A.根据柯西不等式 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b c d ac bd? ? ? ?当且仅当 d bc? 取等号，问题即可解决； B.证明AEF ACB ，可得 AE EFAC BC? ，即可得出结论； C.把极坐标化为直角坐标的方法，利用点到直线的距离公式求得结果 . 【考点】基本不等式，与圆有关的比例线段，点的极坐标
11、和直角坐标的互化 三、解答题 16.【答案】 （ ） 2a c b? ， sin sin 2 sinA C B?， 又 sin sin( )B A C?， s in s in 2 s in ( )A C A C? ? ?. （ ） 2b ac? ，又 2ca? ， 2ba? ， 2 2 2cos 2a c bB ac? 2 2 22424a a aa?34? . 【提示】（）由 a， b， c 成等差数列，利用等差数列的性质得到 2a c b? ，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证； （）由 a， b， c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将 2ca? 代入表示出 b，利用余弦定理表
12、示出 cosB ，将三边长代入即可求出 cosB 的值 . 【考点】余弦定理，等差数列的通项公式，等差关系的确定 17.【答案】 （ ）由三视图可知， AD BCD 平 面 ，且 BCD 是等腰直角三角形， 122133A BCDV ? ? ? ? ?. （ ） AD EFGH 平 面 ， AD ABD?平 面 ，且 A B D E F G H E F?平 面 平 面 ， AD EF ，同理 AD HG ， EF HG ，由 BC EFGH 平 面 同理可得 EH FG ， 四边形 EFGH 是平行四边形 . 【 ;百万教育资源文库 】 由三视图知 AD BCD 平 面 ，又 AD EF ，
13、EF BCD 平 面 ， EF FG ， 90EFG? ， 所以四边形 EFGH 是矩形 . 【提示】（）证明 AD BCD 平 面 ，即可求四面体 ABCD 的体积； （）证明四边形 EFGH 是平行四边形， EF FG ，即可证明四边形 EFGH 是矩形 . 【考点】直线与平面垂直的性质，棱柱、棱锥、棱台的体积 18.【答案】 （ ） (1,1), (2,3), (3, 2)A B C (1, 2), (2,1)AB AC? OP mAB nAC? 又 23mn? OP? 22(1, 2 ) (2 ,1) (2 , 2 )33?， | | 2 2OP? . （ ）由 OP mAB nAC?
14、，得 ( , ) (1 , 2 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 )x y m n m n m n? ? ? ? ?， 22x m ny m n?， 2323xymxyn? ? ?， m n y x? ? ? ，设 z y x?，如图，直线 z y x?过点 (2,3)B 时， z 取得最大值 1，即mn? 的最大值为 1 . 【提示】（）由点的坐标求出向量 AB 和 AC 的坐标，结合 23mn? ，再由 OP mAB nAC?， 求得 |OP的坐标，然后由模的公式求模； （）由 OP mAB nAC?得到 22x m ny m n?，作差后得到 m n y x? ? ? ，令 z y
15、 x?，然后利用线性规划知识求得 mn? 的最大值 . 【考点】简单线性规划 OxyC （ 3 ， 2 ）B （ 2 ， 3 ）A （ 1 ， 1 ）【 ;百万教育资源文库 】 19.【答案】 （ ）设在样本车辆中， “ 赔付金额为 3000 元 ” 为时间 A， “ 赔付金额为 4000 元 ” 为事件 B，则 150( ) 0.151000PA ?， 120( ) 0.121000PB ?，设 “ 赔付金额大于投保金额 ” 为事件 C，则 ( ) ( ) ( ) 0 . 1 5 0 . 1 2 0 . 2 7P C P A P B? ? ? ? ?，即估计赔付金额大于投保金额的概率为 0.
16、27 . （ ）在样本车辆中，车主是新司机的有 1000 10% 100?辆，而赔付金额为 4000 元的样本车辆中，车主是新司机的有 120 20% 24?辆，所以在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4000 元的概率为 0.24 . 【提示】（）设 A表示事件 “ 赔付金额为 3000 元 ” ， B表示事件 “ 赔付金额为 4000 元 ” ，以频率估计概率，求得 ()PA， ()PB，再根据投保额为 2800 元，赔付金额大于投保金额得情形是 3000 元和 4000 元，问题得以解决 . （）设 C表示事件 “ 投保车辆中新司机获赔 4000 元 ” ，分别求出样本车辆中车主为新司机人
17、数和赔付金额为 4000 元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频率，最后利用频率表示概率 . 【考点】古典概型及其概率计算公式 20.【答案】 （ ） 3b? ， 12ca? ， 2 2 2a b c?，解得 2 4a? ， 2 3b? ， 所以所求椭圆的方程为 22143xy?. （ ） 1rc?，又圆心 O 到直线 l 的距离为 2| |5md? ， 24| | 2 15mCD ?； 由方程组2214312xyl y x m? ? ? ?：，得 2230x mx m? ? ? ?，设 11( , )Ax y ， 22( , )Bx y ，则 12x x m?， 212 3xx m?，又 23 12 0m? ? ?，得 2 4m? ；（ ? ） ? ?2 2 215| | 1 4 3 1 2 342A B m m m? ? ? ? ? ?， 225 1 2 35322 4545mm?，解得 2 13m? ， 33m?
