1、【 ;百万教育资源文库 】 2013年普通高等学校招生全国统一考试 （ 陕西卷 ） 数学 （ 文科 ） 答案解析 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 10x? ， 1x?， ( ,1 (1, )MRMC? ? ? ?， 所以选 B 【考点】集合的概念和运算，函数的定义域和不等式的求法 2.【答案】 C 【解析】 (1, )am? ， ( ,2)bm? ， ab ， 1 2 2m m m? ? ? ? ?所以选 C 【考点】 向量平行的充要条件的坐标表示 3.【答案】 B 【解析】 1a b c?， ， 考察对数 2个公式： lo g lo g lo ga a axy x y?， loglo
2、g logca c bb a?对选项 A： l o gl o g l o g l o g l o g l o g ca c c a c ab b a b b? ? ?，显然与第二个公式不符，所以为假 对选项 B： l o gl o g l o g l o g l o g l o g ca c c a c bb a b b a? ? ?，显然与第二个公式一致，所以为真 对选项 C： lo g ( ) lo g lo ga a abc b c? ，显然与第一个公式不符，所以为假 对选项 D： lo g ( ) lo g lo ga a ab c b c? ? ?，同样与第一个公式不符，所以为假 所
3、以选 B 【考点】 对数的有关运算 4.【答案】 C 【解析】 60x? ， 2 5 0 .6 ( 5 0 ) 3 1yx? ? ? ? ?， 所以选 C 【考点】 算法语句的理解和分段函数的求值方法 5.【答案】 D 【解析】组距为 5，二等品的概率为 1 ( 0 .0 2 0 .0 6 0 .0 3 ) 5 0 .4 5? ? ? ? ?所以，从该批产品中随机抽取 1 件，则其是二等品的概率为 0.45.所以选 D 【考点】 频率分布直方图中各种数据之间的关系，频率的计算方法，用频率估计概率的应用 6.【答案】 C 【解析】设 2 2 2, , 2z a b i a b R z a b a
4、 b i? ? ? ? ? ? ?经观察， C和 D选项可能是互相排斥的，应重点注意 对选项 A：若 2 00z b z? ? ?， 则 为实数，所以 z为实数为真 对选项 B：若 2 0 0 0z a b z? ? ? ?， 则 ， 且为纯虚数，所以 z为纯虚数为真 对选项 C：若 z为纯虚数 ，则 20 0 0a b z? ? ? ?， 且 ，所以 2 0z? 为假 【 ;百万教育资源文库 】 对选项 D：若 z为纯虚数 ，则 20 0 0a b z? ? ? ?， 且 ，所以 2 0z? 为真 所以选 C 【考点】复数的分类，复数代数形式的运算，命题真假的判断 7.【答案】 A 【解析】
5、 | | 2y x y?与 的图像围成一个三角形区域， 3 个顶点的坐标分别是 (0,0),( 2, 2),(2, 2)? 且当取点(2,2)? 时， 26xy? ? 取最小值所以选 A 【考点】 分段函数的图像和性质以及求解线性规划最优解的思维方法 8.【答案】 B 【解析】点 ( , )Mab 在圆 2 2 2 21 1 .x y a b? ? ? ? ?外 圆 (00)O， 到直线 1ax by?距离221 1d ab? ? ?圆的半径，故直线与圆相交 所以选 B 【考点】 直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用 9.【答案】 A 【解析】因为 c o s c o
6、 s sinb C c B a A?，所以 s i n c o s s i n c o s s i n s i nB C C B A A? 又 s i n c o s s i n c o s s i n ( ) s i nB C C B B C A? ? ? ?联立两式得 sin sin sinA A A? 所以 sin 1 2AA?， 选 A 【考点】 三角恒等变换及正弦定理 二、填空题 10.【答案】 D 【解析】代值法 对 A，设 1.8x? ，则 1x?， 2x?，所以 A选项为假 对 B，设 1.8x? ，则 122x?， 1x? ，所以 B选项为假 对 C，设 1.4x? ， 2
7、2.8 3x ? ? ?， 2 4x? ，所以 C选项为假 故 D选项为真所以选 D 【考点】 新定义问题的探究方法，借助取整函数的意义，取特殊值进行判断 11.【答案】 54 【解析】 2229 2 5 5ee1 6 1 6 4bcaa? ? ? ? ? ?， 所以离心率为 54 【考点】 双曲线的几何量之间的关系 12.【答案】 3 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】综合三视图可知，立体图是一个半径 1r? 的半个球体其表面积 221 4 32 rr? ? ? 【考点】 三视图和空间几何体之间的关系 13.【答案】 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( ) 2 1 3 5 ( 2 1
8、)nn n n n n n? ? ? ? ? ? 【解析】第 n个等式可为： ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( ) 2 1 3 5 ( 2 1 )nn n n n n n? ? ? ? ? ? 【考点】 归纳推理，考生的观察、归纳、猜测的能力 14.【答案】 400 【解析】利用均值不等式解决应用问题设矩形高为 y，由三角形相似得： 40 0 0 4 0 4 04 0 4 0xy x y x y? ? ? ? ?， 且 ， ， ， 4 0 2 2 0x y xy x y? ? ? ? ? ?， 矩形的面积 s xy? 取最大值 400. 【考点】 构建函数模型，利用基本不等式的求解应用为
9、题 15.【答案】 A： R B： 6 C： (1,0) 【解析】 A： 函数 ( ) | | | |f x x a x b? ? ? ?的值域为： | |, ) ( ) | | 2a b x f x a b? ? ? ? ? ? ? ?R， ， 所以，不等式 | | | | 2x a x b? ? ? ?的解集为 R B： .B C P E B C D P E D? ? ? ? 在圆中 B C D B A D P E D B A D? ? ? ? ? ? ? 2 3 2 6P E P DE P D A P E P E P A P DP A P E? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 6P
10、E? C： 2 2 42xt yxyt? ? ? ? ? ?焦点坐标 (1,0)F 【考点】 绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，和绝对不等式的性质，平面几何的计算，参数方程与普通方程的转化，抛物线的方程和几何性质 三、解答题 16.【答案】 解：（ 1） ()f x ab? = 1 3 1 c o s 3 s i n c o s 2 s i n 2 c o s 2 s i n 22 2 2 6x x x x x x? ? ? ? ? 最小正周期 2 2T?所以 ( ) sin 2 6f x x?最小正周期为 （ 2）当 0,2x ?时 ， 52,6 6 6x? ? ? ? ? ? ? ?
11、?由标准函数 sinyx? 在 5,66?上的图象知 1( ) s i n 2 , , 16 6 2 2f x x f f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【 ;百万教育资源文库 】 所以 ， ()fx在 0,2?上的最大值和最小值分别为 11,2? 【考点】 向量的数量积运算，三角变换的方法，三角函数的有界性，凸显向量和三角的网络交汇，等价转化的思想的具体应用 17. 【答案】 （ 1）设公差为 d ，则 1 ( 1)na a n d? ? ? 1 2 1 1 2 1 1 1 11 2 1 2 ( ) ( ) ( ) (
12、 )n n n n n n n nn n nS a a a a S a a a a a a a aS a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?111() 12 ( ) ( )22nn n n n a a nS n a a S n a d? ? ? ? ? ? ? ? （ 2） 1 10aq?， ，由题知 1q? 11111 1 11 1 1 1n n n n n nn n n nq q q q qn S a S S qq q q q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?N ，1111 *2 nnnn na a q
13、n Nqn ? ? ? ? ? ? ， 所以， na数 列 是首项 1 1a? ，公比 1q? 的等比数列 【考点】 等差数列前 n项和公式推导所用的倒序相加法，等比数列的证明方法，一般数列切入点的技巧 18.【答案】 （ 1）设 11BD线段的中点 1O BD 和 11BD是 1 1 1 1ABCD ABC D? 的对应棱， 11BD BD? 同理， AO和 11AO是棱柱 1 1 1 1ABCD ABC D? 的对应线段 1 1 1 1 1 1A O A O A O O C A O O C A O O C? ? ? ? ， 11AOCO 为平行四边形 11AO OC? ，且 1 1 1 1
14、 1A O B D O O C B D O? ? ?， 面 1ABD 面 11CDB （ 2） 11A O ABCD A O?是三棱柱 1 1 1ABD ABD? 的高 1.AO? 在 11 1.Rt A OA A O ? ， 三棱柱 1 1 1ABD ABD? 的体积1 1 1 211 ( 2 ) 1 12A B D A B D ABDV S A O? ? ? ? 所以，三棱柱 1 1 1ABD ABD? 的体积1 1 1 1ABD ABDV ? ?【考点】 面面平行，体积的计算 19.（ 1） 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3
15、 （ 2） 29 【解析】 （ 1）按相同的比例从不同的组中抽取人数 【 ;百万教育资源文库 】 从 B组 100人中抽取 6人，即从 50人中抽取 3人，从 100人中抽取 6人，从 100人中抽取 9人 （ 2） A组抽取的 3人中有 2人支持 1号歌手，则从 3人中任选 1人，支持支持 1号歌手的概率为 23 B组抽取的 6人中有 2人支持 1号歌手，则从 6人中任选 1人，支持支持 1号歌手的概率为 26 现从抽样评委 A组 3人， B组 6人中各自任选一人，则这 2人都支持 1号歌手的概率 2 2 23 6 9P? 所以，从 A， B两组抽样评委中，各自任选一人，则这 2人都支持 1
16、号歌手的概率为 29 【考点】 利用分层抽样的方法解决实际问题，利用列举法求解概率 20. 【答案】 （ 1 ）点 (,)Mxy 到直线 4x? 的距离，是到点 (1,0)N 的距离的 2 倍，则2222| 4 | 2 ( 1 ) 143xyx x y? ? ? ? ? ? ?所以，动点 M 的轨迹为椭圆，方程为 22143xy? （ 2） ? ?0, 3P ，设 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y， ，由题知 1220xx? ， 1223yy? 椭圆的上下顶点坐标分别是 (0, 3) (0, 3)?和 经检验直线 m 不经过这 2点，即直线 m 斜率 k存在设直线 m
17、方程为 ： 3y kx?联立椭圆和直线方程，整理得： 22 1 2 1 2222 4 2 43 4 ) 2 4 2 4 0 3 4 3 4kk x k x x x x xkk? ? ? ? ? ? ? ?（ ， 2 21 2 1 2 1 222 1 1 2( ) 21 5 ( 2 4 ) 9 322 2 ( 3 4 ) 2 4 2 2x x x x x x k kx x x x k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以，直线 m 的斜率 32k? 【考点】 椭圆的几何性质，轨迹方程的探究，利用直线与圆锥曲线的位置关系探究直线斜率，平面几何性质 21.【答案】 （ 1） ()fx的反函数
18、 ( ) lng x x? ，则 ()y gx? 过点 (1,0) 的切线斜率 (1)kg? 1( ) (1) 1g x k gx? ? ? ?过点 (1,0) 的切线方程为： 1yx? （ 2）当 2e0,4m ?时，有 0个公共点；当 2e4m? ，有 1个公共点；当 2e ,4m ? ?有 2个公共点； （ 3）设 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( )2 2 ( )f a f b f b f a b a f a b a f bb a b a? ? ? ? ? ? ? ( 2 ) e ( 2 ) e ( 2 ) ( 2 ) e e2 ( ) 2 ( )a b b a ab a b a b a b ab a b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令 ( ) 2 ( 2 ) e 0 ( ) 1 ( 1 2 ) e 1 ( 1 ) ex x xg x x x x g x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， 则 ()gx? 的导函数 ( ) (1 1 ) e e 0xxg x x x? ? ? ? ? ?，所以 ( ) (0 )gx
