1、【 ;百万教育资源文库 】 2015年普通高等学校招生全国统一考试 （四川 卷 ） 数学（文科）答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 A 【解析】集合 ( 1 2) (1 3)AB=- ， ， = ， 故 ( 1 3)AB=-， ，选 A 【提示】直接利用并集求解法则求解即可 . 【考点】集合的并集运算 . 2.【答案】 B 【解析】由向量平行的性质，有 2:4 :6x? ，解得 3x? ，选 B 【提示】利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出 x . 【考点】向量平行的性质 . 3.【答案】 C 【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样 ， 选 C 【提示】若总体由差异
2、明显的几部分组成时， 一般 采用分层抽样的方法进行抽样 . 【考点】抽样方法的适用范围 . 4.【答案】 A 【解析】 1ab?时，有 22log log 0ab?成 立，反之也正确 ， 选 A 【提示】先求出 22log log 0ab?的充要条件，再和 1ab?比较，从而求出答案 . 【考点】充分 、 必要条件 . 5.【答案】 B 【解析】 A B C， ， 的周期都是 ， D 的周期是 2 ，但 选项 A中， cos2yx= 是偶函数， 选项 C中2sin 2 4yx?=+是非奇非偶函数 . 【提示】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可 . 【考点】三角函数的周期 . 6.【答案
3、】 D 【解析】第四次循环后， 5k= ，输出 5 1sin 62S=，选 D 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 k的值，当 5k= 时满足条件 =k4 ，计算并输出 S 的值为 12 . 【考点】算法的程序框图 . 7.【答案】 D 【解析】由题意， 13ab?， ，故 2c ? ，渐近线方程为 3yx? ，将 2x ? 代入渐近线方程，得 23y? ，故 43AB? ，选 D 【提示】求出双曲线的渐近线方程，求出 AB 的方程，得到 AB 坐标，即可求解 . 【考点】双曲线的交点，渐近线 . 8.【答案】 C 【解析】由22192 e48 e b
4、kb? ? ? ， 得11192e1 e2bk? ? ?， 于是当 33x= 时， 33 3 1 1 3 1e (e ) e 1 9 2 2 42k b k by ? ? ? ? ?g(小时 ). 【提示】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出 kbee， 的值，运用指数幂的运算性质求解 33kbe? 即可 . 【考点】函数在实际问题中的应用 . 9.【答案】 A 【解析】画出可行域如图， 在 ABC 区域中结合图像可知，当动点在线段 AC上时 xy 取得最大，此时 2 10xy+= ，1 1 2 5( 2 )2 2 2 2xyxy x y ? ? 22 = ，当且仅
5、当 5 5= ， = 时取等号，对应点落在线段 AC上，故最大值为 25.2 【提示】 画 出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可 . 【考点】运用线性规划求最值 . 10.【答案】 D 【解析】不妨设直线 :l x ty m?，代入抛物线方程有： 2 4 4 0y ty m? ? ?，则 216 16 0tm? ? ? ?， 【 ;百万教育资源文库 】 又中点 2(2 2 )M t m t? ， ，则 1MC lkk? ，即 232mt? （当 0t? 时），代入 216 16tm? ? ，可得 230t?，即 203t?.又由圆心到直线的距离等于半径，可得 2 2225 22
6、 2111m td r ttt? ? ? ? ? ?， 由 203t?，可得 (24)r?， ， 选 D 【提示】先确定 M 的轨迹是直线 3x? ，代入抛物线方程 得 交点与圆心距离，即可得出结论 . 【考点】抛物线 、 圆 、 直线的 性质 . 第 卷 二、填空题 11.【答案】 2i 【解析】 1i i i 2ii? ? ? ? . 【提示】直接利用复数的运算法则求解即可 . 【考点】复数的四则运算 . 12.【答案】 2 【解析】 2lg 0 .0 1 lo g 1 6 2 4 2+ =- + =. 【提示】直接利用对数的运算法则化简求解即可 . 【考点】对数函数的求值运算 . 13.
7、【答案】 1 【解析】由已知可得 tan 2?=- ， 222 2 22 s i n c o s c o s 2 t a n 1 4 12 s i n c o s c o s 1s i n c o s t a n 1 4 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-. 【提示】已知等式移项变形求出 tan? 的值 ，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将 tan? 的值代入计算即可求出值 . 【考点】三角函数的求值运算 . 14.【答案】 124【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为 1的等腰直角三角形，高为 1的直三棱柱，底面积为 12 . 如图，三棱锥 P
8、 AMN 底面积是三棱锥底面积的 14 ，高为 1，故三棱锥 P AMN 的体积为 1 1 1 13 2 4 24? ? ? . 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥 P AMN 的体积即可 . 【考点】空间几何体的体积 . 15.【答案】 【解析】对于 ，因为 ( ) 2 ln 2 0xfx? ?恒成立，故 正确 . 对于 ，取 8a? ，即 ( ) 2 8g x x? ?，当 12xx， 4时， 0n? ， 错误 . 对于 ，令 ( ) ( )f x g x? ，即 2 ln2 2x xa?，记 ( ) 2 ln 2 2x
9、h x x? - ，则 2( ) 2 (ln2) 2xhx? ? -，存在 0 (13)x?， ，使得 0( ) 0hx? ? ，可知函数 ()hx先减后增，有最小值 ， 因此，对任意的 a ， mn? 不一定成立 ， 错误 . 对于 ，由 ( ) ( )f x g x? ，即 2 ln 2 2x xa? ? ，令 ( ) 2 ln 2 2xh x x?，则 2( ) 2 (ln 2 ) 2 0xhx? ? ? ?恒成立，即 ()hx是单调递增函数，当 x? 时， ()hx? ； 当 x? 时， ()hx? .因此，对任意的 a ，存在 ya? 与函数 ()hx有交点 ， 正确 . 【提示】运
10、用指数函数的单调性，即可判断 ；由二次函数的单调性，即可判断 ； 通过函数 ( ) 2 ln 2 2xh x x=-，求出导数判断单调性，即可判断 ； 通过函数 ( ) 2 ln 2 2xh x x?，求出导数判断单调性，即可判断 . 【考点】函数与命题判断 . 三、解答题 16.【答案】（ ） =2nna （ ） 1=1 2n nT ?【解析】（ ）由已知 12nnS a a=-，有 - 1 - 12 2 ( 2 )n n n n na S S a a n? ? ? ? ?，即 12 ( 2)nna a?- . 从而 2 1 3 2 1=2 2 4a a a a a， =， 又因为 1 2
11、31a a a， +， 成等差数列，即 1 3 22( 1)a a a+ = + . 所以 1 1 1+4 =2(2 +1)a a a ，解得 1=2a ， 所以，数列 na 是首项为 2，公比为 2的等比数列 ， 【 ;百万教育资源文库 】 故 =2.nna （ ）由 (1)得 112nna ?，所以2111221 1 1 1112 2 2 212nn nnT? ? ? ? ? ? ?. 【提示】（ ）由条件 nS 满足 12nnS a a=-，求得数列 na 为等比数列，且公比 2q? ；再根据 1 2 31a a a?， ， 成等差数列，求得首项的值，可得数列 na 的通项公式 . （
12、）由于 112nna ?，利用等比数列的前 n 项和公式求得数列 1na?的前 n 项和 nT . 【考点】等差数列与等比数列的概念 ， 等比数列通项公式 ， 等比数列前 n 项和 . 17.【答案】（ ） 见解析 （ ） 12 【解析】（ ）余下两种坐法如下表所示： 乘客 1P 2P 3P 4P 5P 座位号 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1 （ ）若乘客 P1做到了 2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能坐法可用下表表示为 乘客 1P 2P 3P 4P 5P 座位号 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1
13、5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1 于是，所有可能的坐法共 8种 . 设 “ 乘客 5P 坐到 5号座位 ” 为事件 A，则事件 A中的基本事件的个数为 4，所以 41()82PA?. 【提示】（ ）根据题意，可以完成表格 . （ ）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客 1P 坐到 5号座位的概率 . 【考点】排列组合 ， 排列组合 ， 古典概型 . 【 ;百万教育资源文库 】 18.【答案】（ ） 见解析 （ ） 见解析 （ ） 见解析 【解析】（ ）点 F G H， ， 的位置如图所示 （ ）平面 BEG 平面 ACH ， 证明如下： 因为 ABCD EFGH? 为正方体，所以 B
14、C FG BC FG ， ， 又 FG EH FG EH ， ，所以 BC EH BC EH ， ， 于是 BCEH 为平行四边形，所以 BE CH ， 又 CH? 平面 ACH ， BE? 平面 ACH ，所以 BE 平面 ACH ，同理 BG 平面 ACH ， 又 BE BG B ，所以平面 BEG 平面 ACH ， （ ） 连接 FH ，因为 ABCD EFGH 为正方体，所以 DH? 平面 EFGH ， 因为 EG? 平面 EFGH ，所以 DH EG? ， 又 EG FH D H FH H? ， ，所以 EG? 平面 BFHD ， 又 DF? 平面 BFHD ，所以 DF EG? 同
15、理 DH BG? ，又 EG BG G ，所以 DF? 平面 BEG . 【提示】（ ）直接标出点 F G H， ， 的位置 . （ ）先证 BCHE 为平行四边形，可知 BE 平面 ACH ，同理可证 BG 平面 ACH ，即可证明平面 BEG平面 ACH . 【 ;百万教育资源文库 】 （ ）连接 FH ，由 DH EG? ，又 DH EG EG FH?， ，可证 EG? 平面 BFHD ，从而可证 DF EG? ， 同理 DF BG? ，即可证明 DF? 平面 BEG . 【考点】简单空间图形的直观图，空间线面平行与面面平行的判定与性质，空间线面垂直的判定与性质 . 19.【答案】（ ）
16、 60C ?= （ ） 13p? ? 【解析】（ ）由已知，方程 2 3 1 0x px p+ - + =的判别式 22( 3 ) 4 ( 1 ) 3 4 4 0p p p p?= - - + = + - ， 所以 2p? 或 2.3p? 由韦达定理，有 t a n t a n 3 t a n t a n 1A B p A B p+ = - ， =- ， 于是 1 ta n ta n 1 (1 ) 0A B p p?- = - - ， 从而 t a n t a n 3t a n ( ) 31 t a n t a nA B pAB A B p? ? ?+=所以 tan tan ( ) 3C A
17、B=- + = ， 所以 60.C ?= （ ）由正弦定理，得 s i n 6 s i n 6 0 2s i n ,32A C CB AB? ? ?解得 45B ?= 或 135B ?= (舍去 )，于是 180 75A B C?= - - = ， 则31ta n 4 5 ta n 3 0 3ta n ta n 7 5 ta n ( 4 5 3 0 ) 2 3 ,1 ta n 4 5 ta n 3 0 313A? ? ?= = + = 所以 11( t a n t a n ) ( 2 3 + 1 ) = 1 333p A B= - + = - + - -.【提示】（ ）由判别式 23 4 4 0pp?= + - ，可得 2p? ，或 2.3p? ，由韦达定理，有 tan tan 3A B p+ =- ，tan tan 1A B p=-， 由两角和的正切函数公式可求 tan tan ( ) 3C A B=- + = ，结合 C 的范围即可求 C 的值 . （ ）由正弦定理可求 sin 2sin ,2AC CB AB?，解得 BA， ，由两角和的正切函数公式可求 tan tan75A= ，从而可
