1、【 ;百万教育资源文库 】 2013年普通高等学校招生全国统一考试 （ 四川卷 ） 数学 （ 文史类 ）答案 解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 1, 2,3 2, 2 2?， 故选 B. 【 提示 】 找出 A与 B的公共元素即可求出交集 . 【 考点 】集合的 交集 . 2.【答案】 D 【解析】先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体 .由俯视图是圆环可排除 A， B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除 C，故选 D. 【 提示 】 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 . 【 考点 】 三视图 . 3.【答案】 B 【解析】 设
2、i( , )z a b a b? ? ?R， 且 0a? ， 0b? ， 则 z的共轭复数为 iab? ， 其中 0a? ， 0b?故应为 B 点 . 【 提示 】 直接利用共轭复数的定义，找出点 A表示复数 z的共轭复数的点即可 . 【 考点 】复数 ， 复数的代数表示法 . 4.【答案】 C 【解析】命题 p是全称命题： xM? ， ()px， 则 p? 是特称命题： xM? ， ()px? ， 故选 C. 【 提示 】 “全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题 . 【 考点 】 命题的否定 ， 特称命题 . 5.【答案】 D 【解析】抛物线 2 8yx? 的焦点坐标为 (2,
3、0)F ， 则 ? ?222 3 0 113d ?.故选 D. 【 提示 】已知抛物线的标准方程与直线方程，运用点到直线距离公式求距离 . 【 考点 】点到直线的距离公式 ， 抛物线的标准方程及其 简单几何 性质 . 6.【答案】 A 【解析】 11 5 2 12 12T ?， T?（步骤 1） 又 2( 0)T ?， ? 2 ? ， 2?（步骤 2） 由五点作【 ;百万教育资源文库 】 图法可知当 512x? 时， 2x? ， 即 5 2 12 2? ? ? ， ? 3? .故选 A.（步骤 3） 【提示】 根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的 x 值，求出函数的周期 2 T ?，解得
4、 2? .由函数当 512x? 时取得最大值 2，得到 5 ()62 kk? ? ? ? Z，取 0k? 得到 3? .由此即可得到本题的答案 . 【 考点 】正弦三角函数的图象与性质 . 7.【答案】 A 【解析】借助已知茎叶图得出各小组的频数，再有 ? 频 数频 率样 本 容 量求出各小组的频率，进一步求出 频 率组 距 并得出答案 .由茎叶图知落在区间 ? ?0,5 与 ? ?5,10 上的频数相等，故频率、 频 率组 距 也分别相等 .比较四个选项知 A正确，故选 A. 【提示】根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直
5、方图 . 【 考点 】茎叶图 ， 频率分布直方图的有关知识 . 8.【答案】 C 【解析】先将不等式 24yx? 转化为 24xy? ? ， 画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数55xzy?的最优解，进而求得 ab， 的值 . 82400xyyxxy? ? ? ?，82400xyyxxy? ? ? ?， 由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由 5z y x?， 得 55xzy? .（步骤 1） 由图知目标函数 55xzy?，过点 (8,0)A 时， m in 5 5 0 8 8z y x? ? ? ? ? ? ?，即 8b? .（ 步骤 2）目标函数 55xzy?过点 4(4)B
6、， 时， m a x 5 5 4 4 1 6z y x? ? ? ? ? ?， 即 16a? . 1 6 ( 8) 2 4ab? ? ? ? ? ?， 故选C.（步骤 3） 【提示】 先根据条件画出可行域，设 5z y x?，再利用几何意义求最值，将最小值转化为 y 轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的 (8,0) 时的最小值，过 (4,4) 时， 5yx? 最大，从而得到 ab? 的值 . 【 ;百万教育资源文库 】 【 考点 】 二元 线性规划 . 9.【答案】 C 【解析】设 0( , )P cy? ， 代入椭圆方程求得 0y ， 从而求得 opk ， 由 OP ABkk? 及 c
7、e a? 可得离心率 e . 由题意设 0( , )P cy? ， 将 0( , )P cy? 代入 221xyab?， 得 22 0221ycab?， 则 22 2 20 21 cy b ba? ? ?. 2 2 422a c baa? ?（步骤 1） 20 by a?或 ? ?2by a? 舍 去 ， 22,bPca?， 2OP bk ac? ?.（步骤 2） ? ? ? ?,0 , 0,A a B b， ? 00AB bbk aa? ? （步骤 3） 又 AB OP ， 2bba ac? ? ， bc?， ?2 2 2222c c ce a b c c? ? ? ? 故选 C.（步骤 4
8、） 【提示】 依题意，可求得坐标 22,bPca?，由 A B O PA B O P k k b c? ? ? ? ，从而可得答案 . 【考点】椭圆 的简单性质 . 10.【答案】 A 【解析】由 ( ( )f f b b? 得 ( , ( )Ab f b ， ( ( ), )A f b b? 都在 ()y f x? 的图象上为突破口解决 . 若存在 0,1b? 使 ( ( )f f b b? 成立， 则 ( , ( )Ab f b ， ( ( ), )A f b b? 都在 ()y f x? 的图象上 . 又 ( ) exf x x a? ? ?在 0,1 上单调递增， ( )( ) 0A
9、A A Ax x y y? ? ? ?， 即 ( ( ) )( ( ) 0f b b b f b? ? ?， ? 2( ( ) ) 0f b b?， ()f b b?.（步骤 1） ()f x x?在 ? ?0,1x? 上 有解 ， 即 ex x a x? ? ? 在 0,1 上 有解， ? 2e , 0,1xa x x x? ? ? ?.（步骤 2） 令 2( ) exx x x? ? ? ? ， 0,1x? ， 则 ( ) e 1 2 0xxx? ? ? ? ?， 0,1x? ， 【 ;百万教育资源文库 】 ()x? 在 ? ?0,1 上单调递增，又 (0) 1? ? ， (1) e? ?
10、 ， ? ?( ) 1,ex?， 即 ? ?1,ea? ， 故选 A.（步骤 3） 【提示】 根据题意，问题转化为 “ 存在 ? ?0,1b? ，使 1( ) ( )f b f b? ” ，即 ()y f x? 的图象与函数 1()y f x?的图象有交点，且交点的横坐标 ? ?0,1b? .由 ()y f x? 的图象与 1()y f x? 的图象关于直线 yx? 对称，得到函数 ()y f x? 的图象与 yx? 有交点，且交点横坐标 ? ?0,1b? .因此，将方程 ex x a x? ? ? 化简整理得2ex x x a? ? ? ，记 ( ) exFx? ， 2()G x x x a
11、? ? ?，由零点存在性定理建立关于 a 的不等式组，解之即可得到实数 a的取值范围 . 【考点】 函数的零点与方程根的关系 . 第 卷 二、填空题 11.【答案】 1 【解析】 lg 5 lg 2 0 lg 1 0 0 1? ? ?. 【提示】 利用对数的运算性质求解 . 【考点】 对数的运算性质 . 12.【答案】 2 【解析】由向量加法的平行四边形法则，得 AB AD AC?.（步骤 1） 又 O 是 AC 的中点， ? 2AC AO? ， +2AB AD AO?. 又 +AB AD AO? . =2.? （步骤 2） 【提示】 依题意， AB AD AC?， 而 2AC AO? ， 从
12、而可得答案 . 【考点】 平面向量 . 13.【答案】 36 【解析】 ( ) 4 2 4 4 ( 0 , 0 )aaf x x x a x axx? ? ? ? ? ?， 当且仅当 4 ax x? ， 即2ax时等号成立， 此时 ()fx取得最小值 4a .（步骤 1） 又由已知 3x? 时， min( ) 4f x a? ， 32a?， 即 36a? .（步骤 2） 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 由题设函数 ( ) 4 ( 0 , 0 )af x x x ax? ? ? ?在 3x? 时取得最小值，可得 (3) 0f? ? ，解此方程即可得出 a的值 . 【考点】 函数在某点取得极
13、值的条件 . 14.【答案】 3 【解析】由 sin 2 2 sin cos? ? ? 及 s in 2 s in , , 2? ? ? ? ? ? ?解出 ? ，进而求得 tan2? 的值 .sin 2 sin? ， 2 sin co s sin? ? ? ? ?. (,)2? ， sin 0? ， ? 1cos 2? .（步骤 1） 又 (,)2? ， ? 23? .（步骤 2） 4 t a n 2 t a n t a n t a n 33 3 3? ? ? ? ? ? ?（步骤 3） 【提示】 已知等式左边利用二倍角的正弦函数公式化简，根据 sin? 不为 0 求出 cos? 的值，由
14、? 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 sin? 的值，进而求出 tan? 的值，所求式子利用二倍角的正切函数公式化简后，将 tan? 的值代入计算即可求出值 . 【考点】 二倍角 公式， 同角三角函数间的基本关系 . 15.【答案】 (2,4) 【解析】设平面上任意一点 M ，因为 MA MC AC?， 当且仅当 A M C， ， 共线时取等 号， 同理 MA MC BD?， 当且仅当 B M D， ， 共线时取等号， 连接 AC BD， 交于一点 M ， 若 M A M C M B M D? ? ?最小，则点 M 为所求 .（步骤 1） 又 62231ACk ?， ?直线 AC的方程
15、为 2 2( 1)yx? ? ? ， 即 20xy? .（步骤 2） 又 5 ( 1) 117BDk ? ? ?， ?直线 BD的 方程为 5 ( 1)yx? ? ? ， 即 60xy? ? ? .（步骤 3） 由 得 2060xyxy? ? ? ?， ? 24xy?， (2,4)M? （步骤 4） 【提示】 如图，设平面直角坐标系中任一点 P，利用三角形中两边之和大于第三边得 ： P A P B P C P D P B P D P A P C B D A C Q A Q B Q C Q D? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，从而得到四边形 ABCD 对角线的交点 Q即为所求距
16、离之和最小的点 .再利用两点式方程求解对角线所在的直线方程，联立方程组求交点【 ;百万教育资源文库 】 坐标即可 . 【考点】一 般形式的柯西不等式 . 三、解答题 16.【答案】 1 1a? 3q? 312nnS ? 【解析】设 ?na 的公比为 q .由已知可得 112aq a?， 21 1 143a q a a q?， 所以 1( 1) 2aq?， 2 4 3 0qq? ? ? ，解得 3q? 或 1q? ， 由于 1( 1) 2aq? .因此 1q? 不合题意，应舍去， （步骤 1） 故公比 3q? ，首项 1 1a? .（步骤 2） 所以，数列的前 n项和 312nnS ?.（步骤
17、3） 【提示】 等比数列的公比为 q ，由已知可得， 112aq a?， 21 1 143a q a a q?，解方程可求 q ， 1a ，然后代入等比数列的求和公式可求 . 【考点】 等比数列的前 n项和 ， 等差数列的通项公式 ， 等比数列的通项公式 . 17.【答案】（ ） 4sin 5A? （ ） 2cos2BA B?【 ;百万教育资源文库 】 【解析】（ ）由 3c o s ( ) c o s s i n ( ) s i n ( ) 5A B B A B A C? ? ? ? ? ?得 3c o s ( ) c o s s i n ( ) s i n 5A B B A B B? ? ? ? ?， （步骤 1） 则 3cos( ) 5A B B? ? ? ?，即 3cos 5A? （步骤 2） 又 0 A?，则 4sin 5A? （步骤 3） . （ ）由正弦定理，有 sin sinabAB? ，所以 sin 2sin2bAB a?， （步骤 4） 由题知 ab? ，则 AB? ，故 4B? .（步骤 5） 根据余弦定理，有 2 2 2 3( 4 2 ) 5 2 5 ( )5cc? ? ? ? ? ?， 解得 1c? 或 7c? （负值舍去）， （步骤 6） 向量 BA 在 BC 方向上的投影为 2cos2BA B?.（步骤 7） 【提示】 （ ）由已
