1、【 ;百万教育资源文库 】 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 (四川 卷 ) 数学 （文史类） 答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 D 【解析】 集合 A中包含 ab， 两个元素，集合 B中包含 b c d， ， 三个元素，共有 a b c d， ， ， 四个元素，所以A B a b c d? ， ， ， 【提示】 由题意，集合 A a b? ， ， B b c d? ， ， ， 并 由运算的定义直接写出两集合的并集即可选出正确 选项 。 【考点】 并集及其运算。 2.【答案 】 A 【解析】 二项式 7(1 )x? 展开式的通项公式为 1yx? = 17kkkT Cx? ，
2、令 2k? ， 则 2237T Cx? ， 所以 2x 的系数 为27 21C? 。 【提示】 由题设，二项式 7(1 )x? ，根据二项式定理知， 2x 项是展开式的第三项，由此得展开式中 2x 的系数是 27C ，计算出答案即可得出正确选项 。 【考点】 二项式定理。 3.【 答案 】 B 【 解析 】 N= 9 6 9 6 9 69 6 2 1 2 5 4 3 8 0 81 2 1 2 1 2? ? ? ? ? ? ? 【提示】 根据甲社区有驾驶员 96 人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为 12， 求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数。 【考点】 分层抽样方法。 4.
3、【 答案 】 C 【 解析 】 采用特殊值验证法。函数 ( 0 1)xy a a a a? ? ? ?，恒过 (1,0) ，只有 C 选项符合 。 【提示】 通过图象经过定点 (1,0) ，排除不符合条件的选项，从而得出结论。 【考点】 指数函数的图像变换。 5.【 答案 】 B 【解析】 | | 1AE? ，正方形 的边长 也 为 1 22| | | | | | 2 | E D |E D A E A D? ? ? ?， 22| | ( | | |) | | 5E C E A A B C B? ? ? ?， | | 1CD? ， 【 ;百万教育资源文库 】 222| | | | | | 3 1
4、 0c o s2 | | | | 1 0E D E C C DC E D E D E C? ? ? ?， 2 10s i n 1 c o s 10C E D C E D? ? ? ? ?。 【提示】 法一：用余弦定理在 CED 中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；法二：在 CED 中用正弦定理直接求正弦。 【考点】 两角和与差的正切函数 ， 任意角的三角函数的定义。 6.【 答案 】 C 【 解析 】 若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以 A 错 ； 一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故 B 错；若 两
5、个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故 D 错；故选项 C 正确 。 【提示】 利用直线与平面所成的角的定义，可排除 A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排 除 B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断 C 正确；利用面面垂直的性质可排除 D 【考点】命 题的真假判断与应用 ， 空间中直线与平面之间的位置关系。 7.【 答案 】 D 【 解析 】 若使| | | |ab?成立，则 a与 b方向 相同 ， 选项中只有 D 能保证，故选 D 【提示】 利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件 。 【考点】 充分条件 ， 平行向
6、量与共线向量。 8.【 答案 】 C 【 解析 】 目标函数 34z x y?可以变形为 344zyx? ? ， 做函数 34yx? 的平行线，当其经过点 (4,4)B 时截距最大时，即 z 有最大值为 34z x y?= 3 4 4 4 28? ? ? ? 。 【提示】 先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数 34z x y?的最大值。 【考点】 简单线性规划。 9.【 答案 】 B 【 解析 】 设抛物线方程为 2 0)2 (y px p?，则焦点坐标为 ,02p?，准线方程为 2px? 。 M 在 抛物线上， M? 到 焦点
7、的距离等于到准线的距离 ， 即 22202 2 322ppy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 01 2 2py?解 得 ： ， 。 【 ;百万教育资源文库 】 2,2 2M?点 （ ） ，根据 两点距离公式有： 22| | 2 ( 2 2 ) 2 3OM ? ? ?。 【提示】 关键点 0(2, )My到该抛物线焦点的距离为 3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点 M的坐标，由此可求 |OM 。 【考点】 抛物线的简单性质。 10.【 答案 】 A 【 解析 】 以 O 为原点，分别以 OB OC OA、 、 所在直线为 x y z、 、 轴，则2 2c o
8、s 4A O P OA O P R? ? ? ?， 22, 0,A R R?， 13, ,022P R R? 2arcco s 4AOP? ? ? 2arccos 4AP R? 【提示】 由题意 建立直角坐标 系，然后求出 AOP? ，即可求解 AP、 两点间的球面距离。 【考点】 反三角函数的运用 ， 球面距离及相关计算。 11.【 答案 】 B 【 解析 】 方程 22ay b x c?变形得 222acxybb?， 若 表示抛物线，则 00ab?， 。 所以 ，分 2b? ， 1， 2，3 四种情况： （ 1）若 2b? ， 1 0 2 32 0 1 33 0 1 2acacac?， 或
9、 或， 或 或， 或 或； （ 2）若 2b? ， 2 0 1 31 2 0 33 2 0 1acacac? ? ? ? ? ? ?， 或 或， 或 或， 或 或以上两种情况下有 4 条重复，故共有 9 5 14? 条 ； 同理 ， 若 b=1，共有 9 条 ； 若 b=3 时，共有 9 条 。 综上，共有 14 9 9 32? ? ? 种 。 【提示】 方程变形得 222acxybb?，若表示抛物线，则 00ab?， ，然后进行排列。 【考点】 排列、组合及简单计数问题 ， 抛物线的标准方程。 12.【 答案 】 D 【 解析 】 3( ) ( 3) 1f x x x? ? ? ?， 3(
10、) 2 ( 3 ) 3f x x x? ? ? ? ? ?。 令 ( ) ( ) 2g x f x?， ()gx? 关于 (3,0) 对称。 【 ;百万教育资源文库 】 1 2 7( ) ( ) ( ) 1 4f a f a f a? ? ? ? 1 2 7( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 0f a f a f a? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 7( ) ( ) ( ) 0g a g a g a? ? ? ? ? 4()ga? 为 ()gx与 x轴的 交点 。 因为 ()gx关于 (3,0) 对称 ，所以 4 3a? 。 1 2 7 47 2 1a a a a? ? ? ? ?
11、故选 D 【提示】 根据 3( ) ( 3) 1f x x x? ? ? ?，可得 3( ) 2 ( 3 ) 3f x x x? ? ? ? ?， 构造函数 ( ) ( ) 2g x f x?，从而 ()gx关于 (3,0) 对称 ，利用 ， 1 2 7( ) ( ) ( ) 1 4f a f a f a? ? ? ?， 可得 1 2 7( ) ( ) ( ) 0g a g a g a? ? ? ?，从而 4()ga 为 ()gx与 x 轴的 交点 ，由此可求 1 2 7a a a? 的值。 【考点】 数列与函数的综合。 第 卷 二、填空题 13.【答案】 1,2? 【 解析 】 由分母部分的
12、 1 2 0x?， 得到 1,2x ? 。 【提示】 结合函数 1() 12fx x? ? 的表达式可得不等式 1 2 0x?的解集即为所求。 【考点】 函数的定义域及其求法。 14.【 答案 】 90? 【 解析 】 方法一：连接 1DM，易得 11DN AD? ， 1DN DM? ， 所以， DN? 平面 11AMD ， 又 1AM? 平面 11AMD ，所以， 11DN AD? ，故夹角为 90? 。 方法二：以 D 为原点，分别以 1DA DC DD， ， 为 x y z， ， 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz? 。 设正方体边长为 2，则 1( 0 , 0 , 0 ) ( 0 , 2
13、 , 1 ) ( 0 , 1 , 0 ) 2 , 0 , 2( )D N M A， ， ，。 故10 , 2 ,1 2 , 1 , 2D N M A? ? ?（ ） ， （ ）。 所以 ， 11 1c o s ( , ) 0| | |D N M AD N M A D N M A? ? ?， 故 1DN DM? ，所以夹角为 90? 。 【提示】 以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出 DN 与1MA夹角求出异面直线 1AM与 DN 所成的角。 【考点】 异面直线及其所成的角。 15.【 答案 】 23 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 根据椭圆定义知： 4 12a? ，
14、 得 3a? ， 又 225ac?， 2c? ， 23ce a? ? ? 。 【提示】 先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出 FAB 的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率。 【考点】 椭圆的简单性质。 16.【 答案 】 【解析】 若 ab， 都小于 1，则 1ab?。 若 ab， 中至少有一个大于等于 1，则 1ab?。 由 22 ( )( ) 1a b a b a b? ? ? ? ?， 所以 ， 1ab?。故 正确 。对于 3 3 2 2| | | ( ) ( ) | 1a b a b a a b b? ? ? ? ? ?， 若 ab， 中至少 有 一个大于等于
15、1，则 221a ab b? ? ? ， 则 | | 1ab?。 若 ab， 都小于 1，则 | | 1ab?， 所以 正确 。 综上，真命题有 。 【提示】 将 221ab? ? ，分解变形为 ( )( ) 1a b a b? ? ? ，即可证明 1ab? ，即 1ab?； 可通过举反例的方法证明其错误性； 若 ab? ，去掉绝对值，将 331ab? ? 分 解变形为 23( 1)( 1 )a a a b? ? ? ?， 即可证明 1ab?，同理当 ab? 时 ， 也可证明 1ba?，从而命题 正确。 【考点】 命题的真假判断与应用。 三、解答题 17.【答案】 （ 1） 解 ： 设 “ 至
16、少有一个系统不发生故障 ” 为事件 C，那么 1 4 91 ( ) 1 1 0 5 0P C P? ? ? ?，解得 15P? 。 （ 2） 解 ： 设 “ 系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数 ” 为事件 D，那么2 2 33 1 1 1 9 7 2 2 4 3( 1 ) ( 1 )1 0 1 0 1 0 1 0 0 0) 250( CPD ? ? ? ? ?。答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为 243250 。 【提示】 （ 1） 求出 “ 至少有一个系统不发生故障 ” 的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为 4950 ，
17、可求 p的值。 （ 2） 利用相互独立事件的概率公式，即可求得结论。 【考点】 n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 ， 互斥事件的概率加法公式 ， 相互独立事件的概率乘法公式。 18.【答案】 （ 1） 解 ： 由已知 ， 2 1c o s s i n c o s2 2 2() 2xxx xf ? ?1 1 1(1 c o s ) s in2 2 2xx? ? ? ?2 cos24x?， 所以 ()fx的最小正周期为 2 ，值域为 22,22?。 （ 2） 解 ： 由 （ 1） 知， 2 32c o s24() 10f ? ?=，所 以 3cos 45?。 【 ;百万教育资源文库 】 所以 s i n 2 c o s 2 c o s 224? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 8 71 2 c o s 14 2 5 2 5? ? ? ? ? ?。 【提示】（ 1） 将 2 1c o s s i n c o s2 2 2() 2xxx xf ? ?化为 2 ( ) co s24f x x?即可求得 ()fx的最小正周期和值域。 （ 2） 由0( 1) 32f ? =可求得 3cos 45?，由余
