1、17.4一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 教学设计教学设计 一、一、教材及学情分析教材及学情分析 本节课的内容是一元二次方程的根与系数的关系，该内容是在学习了一元二 次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今 后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。 本阶段的学生，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们 的逻辑推理能力已有了较大提高。因此在学过了一元二次方程的解法后，让学生 自主探究其根与系数的关系是完全可能的。 二、二、三维目标三维目标 1、知识与技能：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用
2、 2、过程与方法：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力 3、情感态度价值观： （1）渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； （2）通过所学数学知识解决生活中的问题，激发学生对数学学习的兴趣。 三、教学重点、难点三、教学重点、难点 1教学重点：根与系数的关系的其推导。 2教学难点：运用韦达定理解决问题。 四、教学流程四、教学流程 （一）、创设情境导入新课 1.利用求根公式解一元二次方程的步骤？ 2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？ 师： 上节我们已学过用公式法解一元二次方程。一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a0) 的求根公式，当 b 24ac0 时， 则有 2 4
3、 2 bbac x a -? =。利用它可不用解方 程，根据一元二次方程的系数 a、b、c 的值，直接求出方程的根，也就是说方程 的根是由系数 a、b、c 的值决定的。那么它们之间到底有什么样的关系呢？这就 是我们今天所要研究的话题（一元二次方程的根与系数的关系） （二）、探索新知：1、观察与归纳 解下列方程，求出它们的根 x1、x2，并计算 x1+x2，x1*x2的值，填写下表，然后观 察根与系数的关系。 方 程 X1 X2 X1+X2 X1X2 X 2-2x=0 0 2 2 0 X 2+3x-4=0 1 -4 -3 -4 X 2-5x+6=0 2 3 5 6 2x 2-x-1=0 1 -
4、2 1 2 1 - 2 1 师：同学们你们通过填表、计算，有什么新的发现？ 生发现：当二次项系数等于 1 时 (1)方程的两根之和等于一次项系数的相反数； (2)两根之积等于常数项. 生发现：当二次项系数不等于 1 且 a0 时 (1)方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数； (2)两根之积等于常数项除以二次项系数 2、由特殊到一般（韦达定理的推导） 师：是不是所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？ 下面找一名学生板书， 其它学生在练习本上推导一元二次方程两根和与两根积和 系数的关系 解：设 x1、x2是方程 ax 2+bx+c=0（a0）的两个根 由此得出，一元二次方程的根与系数的
5、关系 定理：如果 ax 2+bx+c=0（a0）的两个根是 x 1，x2，则：x1+x2 = - a b , x1x2 = a c 此公式是法国人韦达发现的,人们为了怀念他，把此定理叫做韦达定理。 推论：当二次项系数为 1 时,关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 可转化为 x 2+px+q=0 的形式，两根为 x 1,x2 (p,q 为常数).则：x1+x2 = - p , x1x2 = q 还可以写成 x 2-(x 1+x2)x+x1x2=0 的形式。 3、巩固新知：练习 1不解方程，求下列方程两根的和与积. 练习 2.验根判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根 x 2-6
6、x-7=0 (-1,7) 2x2-3x+1=0 (3,1) x 2-4x+1=0 (-2+ 3,-2-3) 验根要注意三个问题：要先把一元二次方程化成标准型，不要漏除二次项系 数还要注意- a b 中的负号 4、典例：已知方程一根，求另一根 例 1：已知方程 2x 2kx-40 的根是-4，求它的另一根及 k 的值 方法（一）解：设方程的另一根为 x2， 则有- 4+x2 = - 2 k ; - 4x2 = - 2 4 解得 x2= 2 1 k= 7 答：方程的另一根为 2 1 ，k 值为 7. 方法（二）解： -4 是方程 2x 2+kx-4=0 的根， 2（-4） 2k（-4）-40， k
7、7 原方程可变为 2x 2+7x-4=0 解此方程得 x1= 2 1 2 2 2 (1)6150 (2)3790 (3)514 xx xx xx -= +-= -= 答：方程的另一根为 2 1 ，k 值为 7. 学生进行比较发现：方法（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值 （三）小结 今天你收获了什么哪些新知？还存在哪些疑惑？ 一元二次方程根与系数的关系:两根之和等于一次项系数除以二次项系数的 商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. (四)、布置作业: 课堂作业：习题 17.4 第 2 题. 家庭作业：1、基础训练 17.4 2、查阅资料，了解韦达的事迹。 五五、板书设计、板书设计 174 一元二次方程根与系数的关系（一） 一元二次方程根与系数关系 关系的推导 应用 （1） （2） （1）验根 （2）已知一根， 求另一根 六、六、教学反思：教学反思： 本节课是在学生学习了利用求根公式求解一元二次方程的基础上，对一元二 次方程根与系数关系的研究，引导学生自己发现韦达定理，并主动探究该定理的 正确性，并能利用韦达定理解决一些简单的问题，学生在解题时易出现一些计算 错误，以后需要多加注意。
