1、一元二次方程的应用一元二次方程的应用-平均增长率问题平均增长率问题 教学分析，教学分析， 1. 教学内容分析：教学内容分析： 一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，其中一元二次方 程的应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程应用的继续，又是二次 函数学习的基础，具有承前启后的作用。本届是一元二次方程的应用-增长率问题，它 是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型，这部分的内容是学生在学习了， 一元二次方程的概念和求解的方法后，将一元二次方程的运用到实际问题中。本节内容 一方面通过更加贴近实际生活的问题，进一步突出仿成这种数学模型的应用具有广泛性 和有效
2、性。 2. 学情分析：学情分析： 本节课对象是八年级学生，他们已经熟练掌握一元二次方程的解法，并且有一定分析 问题解决问题的能力，但对生活信息了解较少，制约着一些实际问题的分析，不能将理 论知识自如的应用到实际中，对于生活中一些一元二次方程的模型很模糊。鉴于此，本 节课从具体的问题情境中抽象出数学问题，建立数学关系式，获得合理的解答，通过自 主探索和合作交流，无意义的探索过程，理解并掌握相应的数学知识与技能，产生积极 的情感经验，进而创造性的解决问题，它具有明显的问题性，实践性，开放型和创造性 等特点，有效的发展学生的思维能力。 教学目标教学目标 1. 知识技能知识技能 （1） 学会分析实际问
3、题中的数量关系和列一元二次方程解的应用题， （2） 能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理， 2. 过程与方法，过程与方法， 通过对增长率问题的探究过程，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识，动手，动 脑习惯，激发学生学习热情。 3. 情感态度与价值观情感态度与价值观 通过用增长率问题解决身边的实际问题，让他们在学习活动中获得成功的体验，建 立自信心，而是学生更加热爱数学，热爱生活，从而提高学生学习数学的兴趣，了 解数学对促进社会进步和发展的作用， 教学重点教学重点 会用列一元二次方程的方法，解决有关增长率的问题， 教学难点教学难点 提高学生转化实际问题为数学问题的能力以及分析问题，解决问
4、题的能力。 教学过程，教学过程， 一一 复习复习 1解一元二次方程有哪些方法？ 2. 连一元一次方程解应用题有哪些步骤？ 设计思路，为学生创设了一个回忆思考的情境，温习前面学习的知识，起到新旧知识的 连接，因为本课的探索新知识阶段，准备基础知识做好铺垫， 二新课二新课 1.引入引入 （1）为了改善我市的环境，市领导决定，将 2017 年已有的绿化面积 300 公顷，经过两年 绿化，到 2019 年底增加到 363 公顷，如果每年的增长率均为 x，这 2018 年绿化面积为 公顷， 2019 年绿化面积为 公顷。可列方程: 分析：2017 绿化面积为 300 公顷，2018 年绿化面积为 300
5、+300X=300(1+X)公顷. 2019 年绿化 面积为 300(1+X)+ 300(1+X)=300（1+X） （1+x）=300（1+x） 2公顷， 所列方程为， 300(1+x) 2=363 （2）华松国际有一种毛衣从原来的每件 400 元，经两次调价后，调至每件 320.4 元，若两 次调价的降价率均为 x，则第一次调价后降至 元，第二次调价后至 元 可列方程为： 【设计意图】 ： ， 用两个简单的增长率问题线段图分析数量之间的关系， 让同学们理解增长率 问题的分析过程及解题方法，为总结增长率问题的公式做准备。 2. 观察下列两个方程，回答以下问题观察下列两个方程，回答以下问题 （
6、1）.以上方程是那种性质的方程？ （2）.又是那种类型的方程？ （3）.解这类方程用那种方法最好？ 板书课题 3.智慧结晶智慧结晶 （1）两次平均增长（降低）率公式 （2）.注意： a 表示初量，b 表示末量，x 表示增长率（降低率)，2 表示增长次数 1 与 x 的位置不要调换 解这类问题列出的方程一般用 直接开平方法 4.小试牛刀小试牛刀 某工厂 1 月份的产值是 50000 元，3 月份的产值达到 60500 元，这两个月的产值平均每月增 长的百分率是多少？ 解：这两个月的产值平均每月增长的百分率是 x， 50000 (1+x) 2 =60500 (1+x) 2 =1.21 x1 0.1
7、= 10% ， x2 2.2（不符合题意，舍去）（不符合题意，舍去） 【设计意图】【设计意图】：统计正确率，了解整体学生的知识掌握情况，进而根据具体情况调整教 学计划，如果正确率低，在讲解例题时再详细些，反之，就将时间教给学生们来分析完成。 体现了以学定教的教学思想。 5.互动平台互动平台 例：淮北按 2016 国民经济发展规划要求，2018 年的社会总产值要比 2016 年增长 21%，求 平均每年增长的百分率 解:设每年增长率为 x，2001 年的总产值为 a，则 a(1+x) 2 =a+21%a 错误解法 解:设每年增长率为 x，2001 年的总产值为 a，则 a(1+x) 2 =a+2
8、1%a 2 (1)axb 错误解法错误解法：a(1+x) 2 =a+21%a (1+x) 2 =1.21 x1 0.1, 答答:平均每年增长的百分率为平均每年增长的百分率为 10% 正确解法：正确解法：a (1+x) 2 =1.21 a (1+x) 2 =1.21 x1 0.1, x2 2.2（不符合题意，舍去（不符合题意，舍去） 方法二 解解:设每年增长率为设每年增长率为 x，2001 年的总产值为年的总产值为 1， 则则 (1+x) 2 =1+21% (1+x) 2 =1.21 1+x =+1.1 x1 0.1, x2 2.2（不符合题意，舍去（不符合题意，舍去） 答答:平均每年增长的百分
9、率为平均每年增长的百分率为 10% 【设计意图】 ：【设计意图】 ： 例题均来自于生活的实际问题，随处可见，增加学生学习的兴趣，使学生能结合自己的学习 经历，建立实际问题的方程模型解决问题。通过教师的讲解，进一步加深对一元二次方程的 理解， 7.探索乐园探索乐园 - 传播问题传播问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有 121 人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了 几个人? 如果按照这样的传染速度, 三轮传染后有多少人患流感? N 轮后呐? 【设计意图】 ：【设计意图】 ：设计问题，引导学生，帮助学生突破障碍，并对学生进行适当的指导， 帮助学生分析流感的传播方式，提高学生的学习效率，提高了学
10、生的应用能力的核心素养。 智慧升华智慧升华： 1.若原来量(初量）为 a,平均增长率是 x,增长后的量（末量）为 b ，n 为增长次数。 则 第 1 次增长后的量是 a(1+x) =b 第 2 次增长后的量是 a(1+x)2=b 第 n 次增长后的量是 a(1+x)n=b 这就是重要的增长率公式. 2、特别地，两次平均增长（降低）率公式为 a(1+x)2=b 三三课堂练习课堂练习 1.才艺展示才艺展示 （1）.（2007.岳阳）某商品原价 200 元，连续两次 降价 a%后售价为 148 元，下列所列方程中正确的是( ) A. 200(1+a%)2=148 B. 200(1+2a)=148 C
11、. 200(1-a%)2=148 D. 200(1+a2%)=148 （2）.某厂今年一月的总产量为 500 吨,三月的总产量 为 720 吨,平均每月增长率是 x, 列方程( .某厂今年一月的总产量为 500吨,三月的总产量 为720 吨,平均每月增长率是 x, 列方程( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 （3）.党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总 值到 2020 年比 2000 年翻两翻。在本世纪的头 20 年（2001 年2020 年）要实现这一目标， 以
12、 10 年为单位计算，设每个 10 年的国民生产总值的增长率都是 x，根据题意得方程为（ A.(1+x)2=2 B.(1+x)2=4 C.1+2x=2 D.（1+x）+2（1+x）=4 （4） 、某农场粮食产量是：2003 年 1200 万千克，2004 年为 1452 万千克。如果平均每 年的增长率为 x，则可得方程( ) A. 1200(1+x) =1452 B. 1200(1+2x)=1452 C. 1200(1+x%)2=1452 D. 1200(1+x%)=14 （5） 、某超市一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 1000 万元， 如果平均月增长率为 x，则可
13、列方程为 ( ) A.200(1+X)2=1000 B. 200+2002x=1000 C.200+2003x=1000 D. 200+200(1+x)+ 200(1+x)2=1000 （6） 、某种植物主干长出若干数目的枝干，每个分枝又长出同样数目的小分支，主干枝 干小分支的总数是 91 ， 每个枝干长出几个小分支？是每个枝干长出 x 个小分支。（ ） A.(1+X)2=91 B. 1+x+x2=91 C. 1+x+2x=91 D. 1+2x+x2=91 2.一展身手一展身手 （1）.某校去年对实验器材的投资为 2 万元,预计今年和明年两年的投资总额为 8 万元, 若设该校今年和明年两年在实
14、验器材投资上的平均增长率是 x,则可列方程为 _ （2） 、某商场二月份的销售额为 100 万元，三月份的销售额下降了 20%，商场从四月份 起改进经营措施，销售额稳步增长，五月份销售额达到 135.2 万元，求四、五两个月的平均 增长率。则可列方程为_ 【设计意图】 ：【设计意图】 ： 通过练习， 培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力， 加强了学生数学建 模思想的核心素养。 三三 畅所欲言畅所欲言 经历今天的学习活动，你有何收获和体会，请把你的感悟告诉你的同学！ 【设计意图】 ： 点名本课主题和中心环节， 使学生巩固知识， 加深印象， 知识脉络清晰。 【教师感悟】【教师感悟】 宇
15、宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无 处不用数学。 方程的应用是解决生活实际问题的重要工具。 一份耕耘、 一份收获， 同学们相信自己， 只要付出，一定会有收获！会有解决以上问题的方法！行动吧！ 【教学反思【教学反思】 1. 数学建模是中学数学的一条主线，一元二次方程的应用是一种典型的数学建模，与实际 生活紧密联系。本节课从温故知新，做好铺垫，难点提前突破，水到渠成，错例分析， 变式练习加深理解，实现能力的提高。整体上引导学生自我建构自己的知识结构，体现 了“人人学有价值的数学”的理念。 2. 本课的成功之处在于通过分析实际问题形成规律。练习中，学生的基础不同会有差异， 但通过沟通、交流，每个同学都有所收获。体现了“人人都能获得必需的数学，不同的 人在数学上得到不同的发展。 ” 的理念。 不足之处在于学习的内容本身和生活紧密联系， 如果能在课后组织学生收集一些一元二次方程在生活中应用的社会调查，那必将使学生 对一元二次方程的了解上升到一个新的台阶。 3信息技术的应用，便于及时发现问题，反馈教学，使教与学更有层次性、针对性、实效 性教师要善于抓住这个契机，充分利用多媒体技术，利用图形结合功能，降低难度，增强 直观性信息技术的应用大大提高了课堂效率
