1、【 ;百万教育资源文库 】 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 理科数学答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 D 【解析】 二项式 7(1 )x? 展开式的通项公式为 71 2=k kCT x? ，令 2k? ，则 2237T Cx? ， 2x? 的系数为 27 21C? 【提示】 由题设，二项式 7(1 )x? ，根据二项式定理知， 2x 项是展开式的第三项，由此得展开式中 2x 的系数是 27C ，计算出答案即可得出正确选项 【考点】 二项式定理 2.【答案】 B 【解析】 22(1 i) 1 i 2 i 12 i 2 i? ? ? ? ? 【提示】 由题意，可先对分
2、子中的完全平方式展开，整理后即可求出代数式的值，选出正确选项 【考点】 复数 3.【答案】 A 【解析】 分段函数在 3x? 处不是无限靠近同一个值，故不存在极限 【提示】 对每一段分别求出其极限值，通过结论即可得到答案 【考点】 分段函数，对数函数，函数的定义域 4.【答案】 B 【解析】 1AE? 正方形的边长也为 1 22 2E D A E A D? ? ? 22 5E C E A A B C B? ? ? ?（ ）， 1CD? 222 3 1 0c o s2 1 0E D E C C DC E D E D E C? ? ? ?2 10s i n 1 c o s 10C E D C E
3、D? ? ? ? ? 【提示】 用余弦定理在三角形 CED 中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦 【考点】 余弦定理，同角三角函数 5.【答案】 D 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 函数 1 ( 0 , 1)xy a a aa? ? ? ?， 的图像可以看成把函数 xya? 的图像向下平移 1a 个 单位得到的当1a? 时，函数 1 ( 0 , 1)xy a a aa? ? ? ?在 R 上增函数，且图像过 (1,0)? 故排除 A， B，当 10a?时，函数1 , ( 0 , 1)xy a a aa? ? ? ?在 R 上减函数，且图像过点 (1,0)? ，故排除 C，故选 D 【
4、提示】 讨论 a 与 1 的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可 【考点】 函数图像 6.【答案】 C 【解析】 若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以 A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故 B 错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故 D 错；故选项 C 正确 【提示】 利用直线与平面所成的角的定义，可排除 A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除 B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断 C 正确；利用面面垂直 的性质可排除 D 【考点】 真假命题的
5、判定，平行与垂直关系 7.【答案】 D 【解析】 若使 abab?成立，则 a 与 b 方向相同 且模长相等 ，选项中只有 D 能保证，故选 D 【提示】 利用向量共线的充要条件，求已知等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件 【考点】 平面向量的基本概念，充分必要条件 8.【答案】 B 【解析】 设抛物线方程为 2 2 ( 0)y px p?，则焦点坐标为 ,02P?，准线方程为 2px? M 在抛物线上， M 到焦点的距离等于到准线的距离 2 20232p y? ? ?， 且 2232p?解得： 2p? ， 0 22y ? ?点 (2,2 2)M 222 ( 2 2 ) 2
6、 3OM? ? ? ? 【提示】 关键点 0(2, )My到该抛物线焦点的距离为 3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点 M【 ;百万教育资源文库 】 的坐标，由此可求 OM 【考点】 抛物线，点与点的距 离公式 9.【答案】 C 【解析】 设公司每天生产甲种产品 x 桶，乙种产品 y 桶，公司共可获得利润为 z 元 /天，则由已知，得300 400zxy? 且2 122 1200xyxyxy? ? ? ?画可行域如图所示， 第 9 题图 目标函数 300 400zxy?可变形为 34 400zyx? ? 这是随 z 变化的一组平行直线 解方程组 2 122 12xyxy? ?， 4
7、4xy?即 (4,4)A m a x 1 2 0 0 1 6 0 0 2 8 0 0z? ? ? ? 【提示】 根据题设中的条件可设每天生产甲种产品 x 桶，乙种产品 y 桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可 【考点】 二元线性规划的实际应用 10.【答案】 A 【解析】 以 O 为原点，分别以 OB 、 OC 和 OA 成 45? 角 所在直线为 x 、 y 、 z 轴， 则 22,0,A R R?， 13, ,022P R R?2 2c o s 4A O P OA O P R? ? ? ?2arccos 4A O P? ? 2arccos 4AP R? 【 ;百
8、万教育资源文库 】 【提示】 由题意求出 AP 的距离，然后求出 AOP? ，即可求解 A 、 P 两点间的球面距离 【考点】 空间向量 11.【 答案】 B 【解析】 方程 22ay b x c?变形得 222acxybb?，若表示抛物线，则 0, 0ab? 所以，分 3b? ， 2? ， 1， 2， 3 五种情况： （ 1）若 3b? ，2 , 0 , 1, 2 , 31, 2 , 0 , 2 , 32 , 2 , 0 , 1, 33 2 , 0 , 1, 2acacacac? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或 或 或或 或 或或 或 或， 或 或 或（ 2）若 3b? ，2
9、, 0 , 1, 2 , 31, 2 , 0 , 2 , 32 , 2 , 0 , 1, 33 2 , 0 , 1, 2acacacac? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或 或 或或 或 或或 或 或， 或 或 或以上两种情况下有 9 条重复，故共有 16 7 23? 条；同理当 2b? ，或 2 时，共有 23 条；当 1b? 时，共有16 条 ； 综上，共有 23 23 16 62? ? ? 种 。 【提示】 方程变形得 222acxybb?，若表示抛物线，则 0a? ， 0b? ，所以分 3b? ， 2? ， 1， 2， 3 五种情况，利用列举法可解 【考点】 排列组合及其应
10、用 12.【答案】 D 【解析】 由 ( ) 2 cosf x x x? 又 数列 na 是公差为 8 的等差数列，且 1 2 3 4 5 35a a a a a a? ? ? ? ? 1 2 5 1 5 2 4 3( c o s c o s c o s ) c o s c o s + ( c o s + c o s ) + c o s a a a a a a a a? ? ? ? ? =3 3 3 3 3 c o s 2 + c o s 2 c o s + c o s + + c o s8 8 8 8a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
11、 ? ? ? ? ? ? ? ?， 3= c o s (1 2 2 2 )a ? ? ?又 1 2 5( ) ( ) . ( ) 5 f a f a f a? ? ? 3cos 0a ? 故3 2a? 222 2 23 1 3 3 3 1 5 3 13 ( ) ( 2 c o s ) 1 6 1 6f a a a a a a a? ? ? ? ? ? ?【提示】 由 ( ) 2 cosf x x x? ，又 na 是公差为 8 的等差数列， 可求得 1 2 5 3 3) ) )( ( ( 1 0 c o s 1 2 2 2 )(f a f a f a a a? ? ? ? ? ? ?，由题意可
12、求得3 2a?，从而可求得答案 【考点】 等差数列，余弦函数 第 卷 【 ;百万教育资源文库 】 二、填空题 13.【答案】 ,acd 【解析】 ( ) , U A c d? ； ( ) UBa? ,( ) ( ) UUAB a c d?痧 【提示】 由题意全集 , , , U a b c d? ，集合 , A ab? ， , , B b c d? ，可先求出两集合 A ， B 的补集，再由并 集 的运算求出 ( ) ( )UUAB痧 【考点】 集合 14.【答案】 90? 【解析】 以 D 为原点，分别以 DA ， DC ， 1DD 为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系 D xyz
13、? 设正方体边长为 2，则 (0,0,0)D ， (0,2,1)N ， (0,1,0)M ， 1 2,( 0,2)A 故， (0,2,1)DN? 所以， 11 1c o s , 0D N M AD N M A D N M A? ? ? ?，故 1D D? ，所以夹角为 90? 【提示】 以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出 DN 与 1AM 夹角求出异面直线 1AM与 DN 所成的角 【考点】 线面垂直的判定，空间向量的运算 15.【答案】 3 【解析】 设椭圆的右焦点为 E，如图： 第 15 题图 由椭圆定义得： FAB 的周长 ( 2 ) ( 2 ) 4A B A F
14、 B F A B a A E a B E a A B A E B E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； 0AB AE BE? ? ? 当 AB 过点 E 时取等号； 44A B A F B F a A B A E B E a? ? ? ? ? ? ? ?即直线 xm? 过椭圆的右焦点 E 时FAB 的周长最大；此时 FAB 的高为： 2EF? ，此时 1x m c? ? ? ；把 1x? 带入 22143xy?得 32y? ，3AB? 所以： FAB 的面积等于： 113 3 2 322S E F? ? ? ? ? ? ? FAB 【提示】 先画出图像，结合图像得到 FAB 的周长最
15、大时对应的直线所在位置。即可求出结论 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 椭圆的定义 16.【答案】 【解析】 若 5a? ，根据1 , ( )2 nan xnxxn? *N当 1n? 时，2 51 32x ?，同理3 31 22x ?，故 对 对于 可以采用特殊值列举法： 当 1a? 时， 1 1x? ， 2 1x? ， 3 1x? ， 1nx? ，此时 均对 当 2a? 时， 1 2x? ， 2 1x? ， 3 1x? ， 1nx? ，此时 均对 当 3a? 时， 1 3x? ， 2 2x? ， 3 1x? ， 4 2x? ， 1nx? ，此时 均对 综上，真命题有 【提示】 按照给出的
16、定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假， 列举即可； 需举反例； 可用数学归纳法加以证明； 可由归纳推理判断其正误 【考点】 数的新定义，数列递推关系 三、解答题 17.【答案】 （ 1） 15P? （ 2）随机变量 ? 的概率分布列为： ? 0 1 2 3 P 11000 271000 2431000 7291000 随机变量 X 的数学期望为： 2710E? 【解析】 （ 1）设： “ 至少有一个系统不发生故障 ” 为事件 C，那么 1 4 91 ( ) 1 1 0 5 0P C P? ? ? ?，解得 15P? (步骤 1) （ 2）由题意， 303 110C 1 0 1 0 0
17、0()P ? ? ?213 1 1 2 71 C 11 0 1 0 1 0 0 0()P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?223 1 1 2 4 32 C 11 0 1 0 1 0( 00)P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【 ;百万教育资源文库 】 0333 1 1 7 2 93 C 11 0 1 0 1 0( 00)P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（步骤 2） 所以，随机变量 ? 的概率分布列为： ? 0 1 2 3 P 11000 271000 2431000 7291000 故随机变量 X 的数学期望为： 1 2 7 2 4 3 7 2 9 2 70 1 2 31 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（步骤 3） 【提示】 求出 “ 至少有一个系统不发生故障 ” 的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为， 4950 可求 P 的值 ， ? 的所有可能取值为 0， 1， 2， 3，求出相应的概率，可得 ? 的分布列与数学期望 【考点】 互斥事件，相互独立事件，对立事件的
