1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（ 广东 卷） 数学 (理科 )答案 解析 一、选择题 1.【答案】 D 【解析】易得 2,0M? ， 0,2N? ， 所以 2,0,2MN? ， 故选 D 【提示】根据并集 的定义，直接写答案即可 【考点】集合的基本运算（补集） 2.【答案】 C 【解析】是奇函数的为 3yx? 与 2sinyx? ，故选 C 【提示】利用函数 的奇偶性 定义判断即可 【考点】函数奇偶性的判断 3.【答案】 C 【解析】 2 4i 4 2iiz ? ? ? 对应的点的坐标是 (4, 2)? ，故选 C 【提示】求出复数，确定其在复平面的坐标
2、【考点】复数代数式的运算，复平面 4.【答案】 A 【解析】 3 3 1 1 5 31 2 35 1 0 1 0 1 0 2EX ? ? ? ? ? ? ? ?，故选 A 【提示】根据离散型随机变量的分布列，求期望 【考点】离散型随机变量的期望 5.【答案】 B 【解析】由三视图可知，该四棱台的上下底面边长分别为 1和 2 的正方形，高为 2 ， 故 2 2 2 21 1 4(1 1 2 2 ) 233V ? ? ? ? ? ?，故选 B 【提示】通过给出的三视图，得到四棱台，求出四棱台的体积 【考点】台的体积，三视图求几何体的体积 6.【答案】 D 【解析】 若 ? ， m? ， n ? 则
3、不一定 ,m n mn? ， 也可以平行或异面， 若 /?， m? ， n ? ，则不一定 mn ， mn， 也可以垂直或异面， 若 ,m n m ?， n ? ，则不一定 ? ，不符合面面垂直的判定定理 ， A， B， C 是典型错误命题，选 D 【提示】在平面中，利用定理判定线线，线面，面面的平行和垂直 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】线线，线面，面面平行垂直的判定 7.【答案】 B 【解析】依题意 3c? ， 32e? ，所以 2a? ， 从而 2 4a? ， 2 2 2 5b c a? ? ? ，故选 B 【提示】根据双曲线的焦点坐标，离心率大小，利用双曲线的性质，求双曲线的标准方
4、程 【考点】双曲线的性质，双曲线的标准方程 8.【答案】 B 【解析】特殊值法 ， 不妨令 2 3 4x y z? ? ?， ， ， 1w? ， 则 ( , , ) (3, 4,1)y z w S?， ( , , ) (2,3,1)x y w S?， 故选 B 如果利用直接法： 因为 ( , , )x y z S? ， ( , , )z wx S? ，所以 x y z? ， y z x? ， z x y? 三个式子中恰有一个成立； z w x? ， w x z? ， x z w? 三个式子中恰有一个成立配对后只有四种情况： 第一种：成立，此时 w x y z? ? ? ，于是 ( , , )y
5、 z w S? ， ( , , )x y w S? ； 第二种：成立，此时 x y z w? ? ? ，于是 ( , , )y z w S? ， ( , , )x y w S? ； 第三种：成立，此时 y z w x? ? ? ，于是 ( , , )y z w S? ， ( , , )x y w S? ； 第四种：成立，此时 z w x y? ? ? ，于是 ( , , )y z w S? ， ( , , )x y w S? 综合上述四种情况，可得 ( , , )y z w S? ， ( , , )x y w S? 故选 B 【提示】描述法定义新集合，求集合间的基本关系 【考点】集合间的关系
6、二、填空题 9.【答案】 (2,1)? 【解析】易得不等式 2 2 =( 2 )( 1) 0x x x x? ? ? ? ?的解集为 (2,1? 【提示】直接求不等式解 【考点】解一元二次不等式 10.【答案】 1? 【解析】求导得 1ykx? ，依题意 10k? ，所以 1k? 【提示】根据函数解析式，利用导数的几何性质，求导求斜率 【考点】导数的几何意义 11.【答案】 7 【解析】第一次循环后： 12si?， ； 【 ;百万教育资源文库 】 第二次循环后： 23si?， ； 第三次循环后： 44si?， ； 第四次循环后： 75si?， ；故输出 7 【提示】给出框图，分析框图的逻辑关系
7、以及计算步骤，求值 【考点】循环结构的程序框图 12.【答案】 20 【解析】依题意 12 9 10ad?，所以 5 7 1 1 13 3 ( 4 ) 6 4 1 8 2 0a a a d a d a d? ? ? ? ? ? ? ? 或： 5 7 3 83 2 ( ) 2 0a a a a? ? ? ? 【提示】根据等差数列的两项和，利用等差数列的性质和通项，求目标式的值 【考点】等差数列的通项和性质 13.【答案】 6 【解析】画出可行域如图所示，其中 z x y? 取得最小值时的整点为 ? ?0,1 ， 取得最大值时的整点为 (0,4) ， (1,3) ， (2,2) ， (3,1) 及
8、 (4,0) 共 5 个整点 故可确定 5 1 6? 条不同的直线 【提示】给出不等式表示的约束条件，画出可行域，找到目标函数的最值整点，求满足集合的点的个数 【考点】二元线性规划求目标函数的最值 14.【答案】 sin 24?【解析】 曲线 C 的普通方程为 222xy?， 其在点 (1,1) 处的切线 l 的方程为 2xy?， 对应的极坐标方程为 cos sin 2? ? ? ?， 即 sin 24? 【提示】先将曲线的参数方程化为标准方程，根据导数的几何意义，求出直线方程， 在建立极坐标系，将直线方程化为极坐标方程 【考点】坐标系与参数方程，直线方程，导数的几何意义 【 ;百万教育资源文
9、库 】 15.【答案】 23 【解析】 依题意易知 ABC CDE ，所以 AB BCCD DE? ， 又 BC CD? ，所以 2 12BC AB DE?， 从而 23BC? 【提示】观察图形，根据已知条件，利用圆的性质，通过相似三角形求距离 【考点】几何证明选讲 三、解答题 16.【答案】（） 1 （） 1725 【解析】（） 2 c o s 2 c o s 2 c o s 16 6 1 2 4 4f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； （） 2 2 c o s 23 3 1 2f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
10、2 c o s 2 c o s 2 s in 24? ? ? ? ? ? 因为 3cos 5? ， 3,22? ?， 所以 4sin 5? ， 所以 24s in 2 2 s in c o s 25? ? ? ? ?， 22 7c o s 2 c o s s i n 25? ? ? ? ? ? 所以 2 3f ?cos2 sin 2?7 24 1725 25 25? ? ? ? ? 【提示】直接给出函数解析式，求函数值；给出角的余弦值，利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系求目标函数值 【考点】函数 sin( )y A x?的性质，同角三角函数的的基本关系，二倍角 17.【答案】（） 22
11、（） 13 （） 1633 【解析】 （）样本均值为 1 7 1 9 2 0 2 1 2 5 3 0 1 3 2 2266? ? ? ? ? ?； 【 ;百万教育资源文库 】 （）由（）知样本中优秀工人占的比例为 2163? ， 故推断该车间 12 名工人中有 112 43?名优秀工人 （） 设事件 A ：从该车间 12 名工人中，任取 2 人，恰有 1名优秀工人， 则 1148212CC 16() C 33PA ? 【提示】 （） 根据实际生活的例子以及茎叶图，直接计算样本的均值； （） 利用茎叶图推断优秀工人； （） 直接通过茎叶图求目标事件的概率 【考点】茎叶图，古典概型，排列组合及其应
12、用 18.【答案】 （）在图 1中，易得 3 3 2 2 2O C A C A D? ? ?， ， 连结 OD OE， ，在 OCD 中，由余弦定理可得 22 2 c o s 4 5 5O D O C C D O C C D? ? ? ? ? 由翻折不变性可知 22AD? ? ，所以 2 2 2A O OD A D?，所以 AO OD? ? ， 理可证 AO OE? ? ，又 OD OE O? ，所以 AO? ? 平面 BCDE （）传统法：过 O 作 OH CD? 交 CD 的延长线于 H ，连结 AH? ，因为 AO? ? 平面 BCDE ，所以 AH CD? ? ， 所以 AHO? 为二
13、面角 A CD B?的平面角 结合图 1 可知， H 为 AC 中点，故 322OH?，从而 22 302A H O H O A? ? ?所以 15c o s5OHA H O AH? ? ?，所以二面角 A CD B?的平面角的余弦值为 155 向量法：以 O 点为原点，建立空间直角坐标系 O xyz? 如图所示，则 (0,0, 3)A? ， (0, 3,0)C ? ， (1, 2,0)D ? 所以 (0,3, 3)CA? ， ( 1,2, 3)DA? 设 ( , , )n x y z? 为平面 ACD? 的法向量， 则 00nCAnDA? ?，即 3 3 02 3 0yzx y z? ? ?
14、 ? ?，解得3yxzx? ?，令 1x? ，得 (1, 1, 3)n? 由 （） 知， (0,0, 3)OA? 为平面 CDB 的一个法向量， 【 ;百万教育资源文库 】 所以 3 1 5c o s ,5| | | 35n O An O A n O A ? ? ? ?，即二面角 A CD B?的平面角的余弦值为 155 【提示】通过题设条件以及图形，利用线线垂直，余弦定理证明线面垂直；利用各种判定定理，找到二面角的平面角，进而求余弦值；或建立空间直角坐标系将几何问题化为代数问题，利用空间向量及其运算求值 【考点】空间直角坐标系，空间向量及其运算，二面角，线线，线面垂直的判定，余弦定理 19.
15、【答案】 （）依题意，12 122133Sa? ? ? ?，又 111Sa?，所以 2 4a? ； （） 当 2n? 时， 321 122 33nnS na n n n? ? ? ?， 321 122 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )33nnS n a n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? 两式相减得 21 122 ( 1 ) ( 3 3 1 ) ( 2 1 )33n n na n a n a n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?整理得 1( 1) ( 1)nnn a na n n? ? ? ?，即 1 11nnaa? ? ， 又 211aa? 故数列 nan?是
16、首项为 1 11a? ，公差为 1的等差数列， 所以 1 ( 1) 1na nnn ? ? ? ? ?， 所以 2nan? （） 当 1n? 时，1171 4a ? ； 当 2n? 时，121 1 1 5 71 4 4 4aa? ? ? ? ?； 当 3n? 时，21 1 1 1 1( 1 ) 1na n n n n n? ? ? ?，此时 2 2 2121 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1114 3 4 4 2 3 3 4 1na a a n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
17、 ?1 1 1 7 1 71 4 2 4 4nn? ? ? ? ? ? ? 综上，对一切正整数 n ，有121 1 1 74na a a? ? ? ? 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】已知数列前 n 项和与 1n? 项的关系式和首项，求第二项；根据题设条件，利用递推公式求通项公式；通过放缩法直接证明不等式的大小 【考点】数列的通项，递推公式求通项，间接证明 20.【答案】（） 2 4x cy? （） 002 2 0x x y y? ? ? （） 92 【解析】 （）依题意，设抛物线 C 的方程为 2 4x cy? ，由 |0 2| 3 222c? ?结合 0c? ，解得 1c? 所以抛物线 C 的方程为 2 4xy? （） 抛物线 C 的方程为 2 4xy? ，即 214yx? ，求导得 12yx? 设 11( , )Ax
