1、【 ;百万教育资源文库 】 2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学 （文史 类 ） 答案解析 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 i (1 i) i 1 1 iz ? ? ? ? ? ? ?，故选 B 【提示】 化简复数 z ，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 2.【答案】 A 【解析】 “ 12x?” 能推出 “ 2x? ” 成立，但 “ 2x? ” 不能推出 “ 12x?” 成立，故选 A 【提示】 设 12 | A x x? ? ? ， | 2B x x?，判断集合 A， B 的包含关系，根据 “ 谁小谁充分，谁大谁必要
2、” 的原则，即可得到答案 【考点 】命题的基本关系，充分、必要条件 3.【答案】 D 【解析】抽样比为 3160 20? ，所以甲抽取 6件，乙抽取 4件，丙抽取 3件， 13n? ，故选 D 【提示】 甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为 6： 4： 3，求出丙车间生产产品所占的比例，从而求出 n的值 【考点】 分层抽样方法 4.【答案】 B 【解析】 ?fx是奇函数， ?gx是偶函数， ? ? 2( 11)fg? ? ? ，即 ? ? ? ?1 1 2fg? ? ? ? ?14)1(fg? ? ? ，即 ? ? ? ?1 1 4fg? 由 + 得 ?13g ? ，故选 B 【提示】
3、由 ()fx、 ()gx的奇偶性可得关于 (1)f 、 (1)g 的方程组，消掉 (1)f 即可求得 (1)g 【考点】 奇偶 性与单调性的综合 5.【答案】 A 【解析】 2 sin 3a B b? ， 2sin in 3sinAs B B? sin 0B? ， sin 32A? 0,2A ? ?， 3A? ，故选 A 【提示】 利用正弦定理可求得 sinA，结合题意可求得角 A 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 正弦定理 6.【答案】 C 【解析】利用图象知，有两个交点，故选 C 【提示】 在同一个坐标系中，画出函数 ( )lnf x x 与函数 22( ) 4 4 ( 2 )g x
4、x x x? ? ? 的图象，数形结合可得结论 【考点】 根的存在性及根的个数判断；函数的图象 7.【答案】 D 【解析】如图所示，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 的俯视图为 ABCD ，侧视图为 11BBDD ，此时满足其面积为 2 ，故该正方体的正视图应为 11AACC 又因 2AC? ，故其面积为 2 ，故选 D 【提示】 通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可 【考点】 简单空间图形的三视图 8.【答案】 C 【解析】可利用特殊值法求解可令 10()a? , ， 01()b? , ， ()c x y? ， 由 |1c a b? ? ? ，得
5、221 1 1xy? ? ? ? ? ? ? ?， 22( ) (11) 1xy? ? ? ? |c 即为 22xy? ，可看成 M 上的点到原点的距离， | | | | 21 1m a xc O M ? ? ，故选 C 【提示】 通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】 平面向量数量积的运算 ， 向量的模 9.【答案】 D 【解析】如图，设 2AB x? ， 2AD y? 由于 AB 为最大边的概率是 12 ，则 P 在 EF 上运动满足条 件，且 12DE CF x?，即 AB EB? 或 AB FA? 22 3222x y
6、x? ? ? ? ?，即 2 2 244 94x y x?， 即 2274 4xy? ， 22 716yx ? 74yx?又 2724AD y yAB x x? ? ?，故选 D 【提示】 先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件 “ 在矩形 ABCD 的边 CD上随机取一点 P ，使 APB 的最大边是 AB ” 发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率 12 ，从而求出 ADAB 【考点】 简单线性规划 二、填空题 10.【答案】 68, 【解析】 68UA? , ， 6 8 2 6 8 6 8( ) U AB ?, , , , 【提示】 先求出集合 A的补集，再利用交集的定义
7、求 ()UAB 【考点】 交、并、补集的混合运算 11.【答案】 4 【解析】 1l 的普通方程为： 21xy?， 2l 的普通方程为： 12xay? ? ，即 22aaxy?， 4a? 【提示】 先将直线的参数方程化为普通方程，再利用两条直线平行，直接求出 a 的值即可 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系 12.【答案】 9 【解析】输入 12ab?， ，不满足 a8，故 3a? ； 3a? 不满足 8a? ，故 5a? ； 5a? 不满足 8a? ， 故 7a? ； 7a? 不满足 8a? ，故 9a? ，满足 8a? ，终止循环输出 9a? 【提示】 分析程序中各变量、各语句的作
8、用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加 a 值，并判断满足 8a? 时输出 a 的值 【考点】 程序框图 13.【答案】 6 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】画出可 行域，令 z x y? ，易知 z 在 2(4)A, 处取得最大值 6. 【提示】 先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值 【考点】 简单线性规划 14.【答案】 31? 【解析】如图所示， 12PF PF? ， 12 30PFF? ? ? ，可得 2| |PF c? 由双曲线定义知， 1 2| PF a c?， 由 2 2 21 2 1 2| |
9、| | |F F P F P F?得 2 2 2)4 (c a c c? ? ?，即 222 4 4 0c ac a? ? ?，即 2e 2e 2 0? ? ? ， 2 2 3e2?， e 1 3? 【提示】 根据题意，求得 1| |PF 和 2| |PF ，进而利用双曲线定义建立等式，求得 a 和 c 的关系，则离心率可得 【考点】 双曲线的简单性质 15.【答案】（ 1） 2 （ 2） 17 【解析】（ 1） ? ?1 3 5,a a a 的特征数列为 1， 0， 1， 0， 1， 0， ， 0， 前 3项和为 2. （ 2）根据题意知， P的特征数列为 1， 0， 1， 0， 1， 0，
10、 ，则 1 3 5 99P a a a a?， ， ， ，有 50个元素， Q 的特征数列为 1， 0， 0， 1， 0， 0， 1， ，则 1 4 7 1 0 1 0 0Q a a a a a?， ， ， ， ，有 34个元素， 1 7 1 3 9 7P Q a a a a?， ， ， ，共有 97 11 176?个 【提示】 （ 1）利用 “ 特征数列 ” 的定义即可得出；（ 2）利用 “ 特征数列 ” 的定义分别求出子集 P， Q的 “ 特征数列 ” ，再找出相同 “ 1” 的个数即可 【考点】 数列的求和；交集及其运算 【 ;百万教育资源文库 】 三、解答题 16.【答案】 解：（ 1
11、） 2 2 co s co s3 3 3f ?= c s cos33? = 21124? ? （ 2） ? ? ? ?21 3 1 3c o s c o s 13c o s c o c o s s is s i n n c o s 1 c o s 2 s i n 2242 22 43xxf x x x x x xx xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1cos 22 3 4x? ? ? ? ? 14fx? 等价于 1 11co s 22 3 4 4x? ? ?，即 cos 2 03x? 于是 3 2 2 22 23k x k k? ? ? ? ? ? Z，解得 5 112 1
12、12k x k k? ? ? ? ? Z， 故使 1()4fx? 成立的 x的取值集合为 5 11 ,1 2 1 2x k x k k? ? ? ? ?Z 【提示】 （ 1）将 23x? 代入 ()fx解析式，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到结果；（ 2） ()fx解析式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，变形后，利用余弦函数的图象与性质即可得到满足题意 x的集合 【考点】 两角和与差的余弦函数 ， 余弦函数的单调性 菁优网版权所 17.【答案】 （ 1）证明：因为 AB AC? ， D 是 BC 的中点，所以 AD BC? 又在
13、直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 1BB? 平面 ABC ，而 AD? 平面 ABC ，所以 1AD BB? 由 ， 得 AD? 平面 11BBCC 由点 E 在棱 1BB 上运动，得 1CE? 平面 11BBCC ，所以 1AD CE? （ 2）因为 11AC AC ，所以 11ACE? 是异面直线 AC ， 1CE所成的角， 由题设， 11 60AC E? ? ? ，因为 1 1 1 90B A C B A C? ? ? ? ?，所以 1 1 1 1AC AB? ，又 1 1 1AA AC? ，从而 11AC? 平面11AABB ，于是 1 1 1AC AE? 故 11 1 22
14、cos 60C ACE ? ，又 21 11 21 1 1 2BC A C A B? ?， 所以 11 2211 2C E BB CE ? ， 从而111 1 1 111 1 1 22 2 23 3 2 3A B EC A B E ACVS? ? ? ? ? ? ?三 棱 锥 【提示】 空间点、线、面的之间的位置关系，线线、线面、面面垂直与平行的性质与判定，异面直线所成角，三棱柱的体积 【考点】根据线面垂直推导到线线垂直，求出三棱柱 1 1 1E ABC? 的高 1EB 再求体积 18.【答案】 解：（ 1）所种作物的总株数为 1 2 3 4 5 15? ? ? ? ?，其中 “ 相近 ” 作
15、物株数为 1的作物有 2株，【 ;百万教育资源文库 】 “ 相近 ” 作物株数为 2的作物有 4株， “ 相近 ” 作物株数为 3的作物有 6株， “ 相近 ” 作物株数为 4的作物有 3株列表如下： Y 51 48 45 42 频数 2 4 6 3 所种作物的平均年收获量为： 5 1 2 4 8 4 4 5 6 4 2 315? ? ? ? ? ? ?= 102 192 70 12615? ? ?690 4615? （ 2）由（ 1）知， 51 2()15PY?， 48 4()15PY?故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为 ( 4 8 ) ( 5 1 ) ( 4
16、8 ) 2 4 21 5 1 5 5P Y P Y P Y? ? ? ? ? ? ? 【提示】 （ 1） 根据题意可知所种作物的总株数为 1+2+3+4+5，其中 “ 相近 ” 作物株数为 1的有 2株， “ 相近 ” 作物株数为 2的有 4株， “ 相近 ” 作物株数为 3的有 6株， “ 相近 ” 作物株数为 4的有 3株，据此列表，且可得出所种作物的平均所收获量 （ 2）由（ 1）知， 51 2()15PY?， 48 4()15PY?，从而根据互斥事件的概率加法公式得出在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48kg的概率 【考点】 众数 、 中位数 、 平均数 ， 互斥事件的概率加法公式 19.【答案】 解：（ 1）令 1n? ，得 21 1 12a a a? ，即 211aa? 因为 1 0a? ，所以 1 1a? 令 2n? ，得2 2 22 1 1a S a? ? ? ? 解得 2 2a? 当 2n? 时，由 112 1 2 1n n n na S a S? ? ? ?， 两式相减得 122n n na a a?即 12nnaa? 于是数列 ?na 是首项为 1，公比为 2的等比数列因此， 12nna ? 所以数列 ?na 的通项公式为 12nna ? （ 2）由（ 1）知， 12nnna n ? 记数列 1·
