1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（ 湖北 卷） 数学（理工 类 ）答案解析 一、选择题 1.【 答案】 D 【解析 】 2 i 2 i 1 i= ( )1 i 1 i 1 i 1i1 iiz ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 复数 2i1iz? ? 的共轭复数 1iz? ，其在复平面内对应的点 (1, )1- 位于第四象限 【提示】 将复数 2i1iz? ? 的分母实数化，求得 1+iz? ，即可求得 z ，从而可知答 【 考点】复数的代数表示法及其几何意义 2.【 答案】 C 【解析 】由题意知集合 |1 2 01x xxAx? ? ? ?，集合
2、 2 | | 6 8 0 2 4B x x x x x? ? ? ? ， 2|4B x x x? ? ?R 或 ，故 |( ) 0 2 4A B x x x? ? ? ?R 或 【提示】 利用指数函数的性质可求得集合 A ，通过解一元二次不等式可求得集合 B ，从而可求得 ABR 【 考点】不等式的解法 ， 交 ， 并 ， 补集的混合运算 3.【 答案】 A 【解析 】 “ 至少有一位学员没有降落在指定范围 ” 包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围，因此应为 ( ) ( )pq? 【提示】 由命题 P 和命题 q 写出对应的 p? 和 q? ，则命题 “ 至少有一位学员没有降落
3、在指定范围 ” 即可得到表示 【 考点】复合命题的真假 4.【 答案】 B 【解析 】 cos sin y x x? ， 函数 co s si ()ny x x x? ? ? R的图象向左平移 ()0mm? 个单位长度后，变为函数 =2sin 3y x m?的图象 又 所得到的图象关于 y 轴对称， 则有 32m k k? ? ? ? Z， ， 6m k k? ? ? Z ， 【 ;百万教育资源文库 】 00mk? ， 当 时， m的最小值为 6 【提示】 函数解析式提取 2 变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于 y 轴对
4、称，即可求出 m 的最小值 【 考点】两角和与差的正弦函数 ， 函数 sin( )y A x?的图象变换 5.【 答案】 D 【解析 】对于双曲线 1C ： 22=1cos sinxy? ， 221 cosa ? ， 221 sinb ? ， 21 1c? ； 对于双曲线 2C ： 222 2 2 =1sin sin tanyx? ? ?， 222 =sina ? ， 2 2 22 =sin tanb ?， 222 2 2 2 2 2 2 22 s i n s i ns i n s i n t a n s i n 1 t a n s i n() c o s c o1 t as nc ? ? ?
5、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 只有当 ()4kk? ? ? ?Z时， 2212aa? 或 2212bb? 或 2212cc? ， 而 012a 时满足条件， 故当 102a 时， ( ) 0hx? 有两个根 12xx， ，且121 2xxa? 又121(1 ) 1 2 0 1 2h a x xa? ? ? ? ? ?， ， 从而可知函数 ()fx在区间 1(1, )x 上递减，在区间 12( , )xx 上递增，在区间 2( , )x ? 上递减 12 1( ) ( 1 ) 0 ( ) ( 1 ) 2f x f a f x f a? ? ? ? ? ? ? ? ? ，故选 D 【提
6、示】 先求出 ()fx? ，令 ( ) 0fx?，由题意可得 ln 2 1x ax?有两个解 12xx， ?函数 ( ) ln 1 2h x x ax? ? ? 有且只有两个零点 ? ()hx? 在 (0, )? 上的唯一的极值不等于 0.利用导数与函数极值的关系即可得出 【 考点】利用导数研究函数的极值 ， 函数在某点取得极值的条件 二、填空题 11.【 答案】（ ） 0.0044 （ ） 70 【解析 】（ ）由频率分布直方图知 200, 250) 小组的频率为 ： 1 0 . 0 0 2 4 0 . 0 0 3 6 0 . 0 0 6 0 0 . 0 0 2 4 0 . 0 0 1 2
7、5 0 0 . 2 2()? ? ? ? ? ? ?，于是 0.22 0.004450x ? （ ） 数据落在 )100 250， 内的频率为 0 . 0 0 3 6 0 . 0 0 6 0 0 . 0 0 4() 4 5 0 0 . 7? ? ? ?， 所求户数为 0.7 100 70? 【提示】（） 根据频率分布直方图中，各组的频率之和为 1，我们易得到一个关于 x 的方程，解方程即可得到答案 （） 由已知中的频率分布直方图，利用 100, 250) 之间各小组的纵坐标（矩形的高）乘以组距得到 100, 250)的频率，利用频率乘以样本容量即可求出频数 【 考点】频率分布直方图 12.【
8、答案】 5 【解析 】第一次执行循环体后： 5 i 2a?， ； 第二次执行循环体后： 16 i 3a?， ； 第三次执行循环体后： 8 i 4a?， ； 第四次执行循环体后： 4 i 5a?， ，满足条件，循环结束输出 i5? 【提示】 框图首先给变量 a 和变量 i 赋值，然后对 a 是否等于 4 进行判断，不等于 4，继续判断 a 是否为奇数，是执行路径 31aa?，否执行路径 2aa? ，再执行 i i 1? ，依次循环执行，当 a 等于 4 时跳出循环，【 ;百万教育资源文库 】 输出 i 的值 【 考点】程序框图 13.【 答案】 3147【解析 】由柯西不等式得 2 2 2 2
9、2 2 2( ) ( )1 2 3 ( 2 3 )x y z x y z? ? ? ?当且仅当 1 2 3x y z?时等号成立， 此时 23y x z x?， 2 2 2 1 2 3 1 4x y z x y z? ? ? ? ? ， 1414x? ， 2 1414y? ， 3 1414z? 6 1 4 3 1 41 4 7x y z? ? ? ? 【提示】 根据柯西不等式，算出 2 2 2 2( 2 3 ) 1 4 ( ) 1 4x y z x y z? ? ? ? ? ?，从而得到 23x y z?恰好取到最大值14 ，由不等式的等号成立的条件解出 1414x? ， 2 1414y? ，
10、 3 1414z? ，由此即可得到 x y z?的值 【 考点】一般形式的柯西不等式 ， 进行简单的合情推理 14.【 答案】 1000 【解析 】由题中数据可猜想：含 2n 项的系数为首项是 12 ，公差是 12 的等差数列，含 n 项的系数为首项是 12 ，公差是 12? 的等差数列， 因此 ： 221 1 1 1 2 4( , ) 3 32 2 2 2 2 2kkN n k k n k n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故 221 0 , 2 4 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0()N n n ? ?
11、? 【提示】 观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得 224( , ) 22kkN n k n n?，把 10 24nk?， 代入可得答案 【 考点】归纳推理 15.【 答案】 8 【解析 】设 2AD? ，则 6AB? ，于是 41BD OD?， 如图， 【 ;百万教育资源文库 】 由射影定理得 2 8CD AD BD? ?，则 =2 2CD 在 Rt OCD 中， 1 2 2 2 233O D C DDE OC ? ? ? 则 22 88893C E D C D E? ? ? ? ?， 813 33E O O C C E? ? ? ? 因此 8313 8CEEO? 【提示】 设圆 O 的
12、半径为 3x ，根据射影定理，可以求出 2 8CD AD BD? ?，得 =2 2CD ，进而得到 CEEO 的值 【 考点】与圆有关的比例线段 ， 直角三角形的射影定理 16.【 答案】 63【解析 】将椭圆 C 的参数方程 cos ,sinxayb? ?(为参数， 0ab? )，化为标准方程为 221xyab?( 0ab? ) 又直线 l 的极坐标方程为 2sin42m?(m为非零常数 )，即 2 2 2s in c o s2 2 2 m? ? ?， 则该直线的一般式为 0y x m? ? ? 圆的极坐标方程为 b? ，其标准方程为 2 2 2x y b?， 直线与圆 O相切， |=2m
13、b ， | |= 2mb又 直线 l 经过椭圆 C 的焦点， |Cm? ， 2222c b c b? ， 2 2 2 23a b c b? ? ? 222 23ce a?63e? 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线 l 的极坐标方程分别为 2sin42m?（ m为非零常数 ） 化成直角坐标方程，再利用直线 l 经过椭圆 C 的焦点，且与圆 O 相切，从而得到 2cb? ，又 2 2 2b a c? ? ，消去 b 后得到关于 ac， 的等式，即可求出椭圆 C 的离心率 【 考点】参数方程化成普通方程 ， 椭圆的简单性质 ， 点的极坐标和直角坐标的互化
14、三、解答题 17.【 答案】 （ ） 3 （ ） 57 【解析 】 （ ） 由 co s 2 3co s ( ) 1A B C? ? ?，得 22 co s 3co s 2 0AA? ，即 ( )(2 )1 2 0cos A cos A ? ， 解得 1cos 2A? 或 cos 2A? （ 舍去 ） 因为 0 A?，所以 3A? （ ） 由 1 1 3 3s i n 5 32 2 2 4S b c A b c b c? ? ? ?，得 20bc? 又 5b? ，知 4c? 由余弦定理得 2 2 2 2 c o s 2 5 1 6 2 0 2 1a b c b c A? ? ? ? ? ，故
15、21a? 又由正弦定理得 22 2 0 3 5s i n s i n s i n s i n s i n 2 1 4 7b c b cB C A A Aa a a? ? ? ? ? 【提示】 （ ） 利用倍角公式和诱导公式即可得出 （ ） 由三角形的面积公式 1 sin2S bc A? 即可得到 20bc? 又 5b? ，知 4c? 由余弦定理得 2 2 2 2 c o s 2 5 1 6 2 0 2 1a b c b c A? ? ? ? ? ，即可得出 A 又由正弦定理得即可得到 s in s in s in s in bcB C A Aaa? 即可得出 【 考点】余弦定理 ， 正弦定理
16、18.【答案 】 （ ） 15 33 nna ?或 1( 1)5 nna ? ? （）见 解析 【解析 】 （ ） 设等比数列 na 的公比为 q ，则由已知可得 331211125,| | 10,aqa q a q? ? ? 解得 1 533aq? ? ?或 1 51aq? ?【 ;百万教育资源文库 】 故 15 33 nna ?或 1( 1)5 nna ? ? （） 若 15 33 nna ?，则 11 3 153nna? ?， 故 1na?是首项为 35 ，公比为 13 的等比数列， 从而1311531 9 1 9 = 1 11 1 0 3 1 013mmmn na? ? ? ? ? 若
17、 1( 1)5 nna ? ? a，则 111( 1)5 nna? ? ， 故 1na?是首项为 15? ，公比为 1 的等比数列， 从而11 , 2 1150 , 2mn nm k ka m k k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? NN， 故 1 1 1mn na? ? 综上，对任何正整数 m ，总有11 1mn na? ? 故不存在正整数 m ，使得121 1 1 1ma a a? ? ? ?成立 【提示】 （ ） 设等比数列 na 的公比为 q ，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求 1,aq，进而可求通项公式 （） 结合 （ ） 可知 1na?是等比数列，结合等比数列的求和公式可求121 1 1ma a a? ? ?，即可判断 【考点 】数列的求和 ， 等比数列的通项公式 ， 数列与不等式的综合 19.【 答案】 （ ） 直线 l PAC 平 面 （）见 解析 【解析 】 （ ） 直线 l PAC 平 面 ，证明如下： 连接 EF ，因为 EF， 分别是 PA PC， 的中点，所以 EF AC 又 EF A
