1、【 ;百万教育资源文库 】 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 设 iz a b? ， iz a b? ， 则 2 ( i) ( i) 3 2 ia b a b? ? ? ? ?， 3 i 3 iab? ? ? ， 1a?， 2b? ， 1 2iz? ? ? 【提示】 设出复数 z ，通过复数方程求解即可 【考点】 复数代数形式的乘除运算 2.【答案】 C 【解析】 ? ?| 2 ,xA y y x R? ? ?， = | 0A y y?， ? ?2| 1 0B x x? ? ? ， | 1 1B x x? ?
2、? ? ?， (0, )AB? ? ? 【提示】 求解指数函数的值域化简 A ，求解一元二次不等式化简 B ，再由并集运算得出答案 【考点】 并集及其运算 3.【答案】 D 【解析】 由频率分布直方图可知：组距为 2 5，故这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22 5 小时的频率为： ( 0 .1 6 + 0 .0 8 + 0 .0 4 ) 2 .5 = 0 .7?， ?人数是 2 0 0.7=140? 人 【提示】 根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于 22 5 小时的频率，进而可得自习时间不少于 22 5 小时的频数 【考点】 频率分布直方图 4.【答案】 C 【解析】
3、 作图： 可见当取点 A 时取最大值，最大值为 223 ( 1) 10? ? ? 【提示】 由约束条件作出可行域，然后结合 22xy? 的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得xy123 1 2 3 4 5 612345123AO【 ;百万教育资源文库 】 22xy? 的最大值 【考点】 简单线性规划 5.【答案】 C 【解析】 由三视图可知，此几何体是一个正三棱锥和半球构成的， 体积为 31 4 2 1 1 21 1 1 + =+ 3 3 2 2 3 6? ? ? ? 【提示】 由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案 【考点】 由三视图求面积、体
4、积 6.【答案】 A 【解析】 若直线相交，一定有一个交点，平面一定有一条交线，所以是充分条件；两平面相交，平面内两条直线关系任意 【提示】 根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 7.【答案】 B 【 解 析 】 22 ( ) 2 s i n c o s 3 c o s 3 s i n s i n 2 3 c o s 2 2 s i n 2 3f x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ?， 最 小 正 周 期2 2 2T ? 【提示】 利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的
5、周期 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 ， 三角函数的周期性及其求法 8.【答案】 B 【解析】 ()n tm n?， ( ) 0n tm n? ? ? ， 2| | | c o s , | | 0t m n m n n? ? ? ? ?， 4| | 3| |mn? ， 1cos , 3mn? ? ，231| | | | | 043t n n n? ? ?， 104t? ? ? ， 4t? 【提示】 若 ( )n t n?，则 ( )0n t n?，进而可得实数 t 的值 【考点】 平面向量数量积的运算 9.【答案】 D 【解析】 当 12x? 时， 1122f x f x? ? ? ? ?
6、 ? ? ? ? ? ? ?，既 ( ) ( 1)f x f x?，周期为 1， (6) (1)ff? ； 当 0x? 时，3( ) 1f x x?，且 11x? ? ， ( ) ( )f x f x? ? ， ( 6 ) (1) ( 1) 2f f f? ? ? ? ? ? 【提示】 求得函数的周期为 1，再利用当 11x? ? 时， ( ) ( )f x f x? ? ，得到 (1) ( 1)ff? ? ，当 0x? 时，【 ;百万教育资源文库 】 3( ) 1f x x?，得到 ( 1) 2f ? ? ，即可得出结论 【考点】 抽象函数及其应用 10.【答案】 A 【解析】（ A） 函数
7、的特征是存在两点切线垂直，既存在两点导数值相乘为 1? ； （ B） 选项中 lnyx? 的导数是 1y x? 恒大于 0 ，斜率成绩不可能为 1? ； （ C） 选项中 exy? 的导函数 exy? 恒大于 0 ，斜率成绩不可能为 1? ； （ D） 选项中 3yx? 的导函数 23yx? 恒大于等于 0 ，斜率成绩不可能为 1? 【提示】 若函数 ()y f x? 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数 ()y f x?的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为 1? ，进而可得答案 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 第 卷 二、填空题 11.【答案】 3
8、 【解析】 输入的 a ， b 的值分别为 0 和 9， 1i? 第一次执行循环体后： 1a? ， 8b? ，不满足条件 ab? ，故 2i? ；第二次执行循环体后： 3a? ， 6b? ，不满足条件 ab? ，故 3i? ；第三次执行循环体后： 6a? ，3b? ，满足条件 ab? ，故输出的 i 值为 3 【提示】 根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案 【考点】 程序框图 12.【答案】 2? 【解析】 2515 1()rrrrT C ax x? ? ?， 510 52r?， 2r? ， 5x 的系数为 235 80Ca?
9、 ， 2a? 【提示】 利用二项展开式的通项公式 2515 1()rrrrT C ax x? ? ?，化简可得求的 5x 的系数 【考点】 二项式系数的性质 13.【答案】 2 【解析】 令 xc? ，代入双曲线的方程可得 222 1cbyb aa? ? ? ? ?， 由题意可设 2,bAaa?， 2, bBca?，【 ;百万教育资源文库 】 2, bCca?， 2,bDca?， 由 2 | 3 |AB BC? ，可得 222 3 2b ca ? ，即为 223b ac? ， 由 2 2 2b c a?， ce a? ，可得 22 3 2 0ee? ? ? ， 解得 2e? 【提示】 可令 x
10、c? ，代入双曲线的方程，求得 2by a? ，再由题意设出 A ， B ， C ， D 的坐标，由 2 | 3 |AB BC? ，可得 a ， b ， c 的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值 【考点】 双曲线的简单性质 14.【答案】 34 【解析】 直线 y kx? 与圆 22( 5) 9xy? ? ? 相交，所以圆心 (5,0) 到直线 0kx y? 距离小于半径 3r? ， 22| 5 0 | | 5 | 311kkd ? ? ? ?， 2| 5 | 3 1k k? ? ， 2225 9( 1)kk?， 2 9 3 31 4 4 4kk? ? ? ? ? ?，33 3441 (
11、1) 4P? ? ? 【提示】 利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的 k ，最后根据几何概型的概率公式可求出所求 【考点】 几何概型 15.【答案】 (3, )? 【解析】 当 0m? 时，函数2| |,() 2 4 ,x x mfx x m x m x m? ? ? ? ?的图象如下： xm? 时， 2 2 2 2( ) 2 4 ( ) 4 4f x x m x m x m m m m m? ? ? ? ? ? ? ? ?， y? 要使得关于 x 的方程 ()f x b? 有三个不同的根 ， 必须 2 4( 0)m m m m? ? ， 即 2 3 ( 0)m m
12、 m?， 解得 3m? ， m? 的取值范围是 (3, )? 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 作出函数2| |,() 2 4 ,x x mfx x m x m x m? ? ? ? ?的图象，依题意，可得 2 4( 0)m m m m? ? ，解之即可 【考点】 根的存在性及根的个数判断 三 、 解答 题 16.【答案】 （） 由 t a n t a n2 ( t a n t a n ) c o s c o sABAB BA? ? ?得： s i n s i n s i n s i n2c o s c o s c o s c o s c o s c o sAB ABA B B A? ，
13、?两边同乘以 cos cosAB得 ， 2 ( s i n c o s c o s s i n ) s i n s i nA B A B A B? ? ?， 2 s in ( ) s in s inA B A B? ? ? ?，即 2 sin sin sinC A B? ， 根据正弦定理， 2s i n s i n s i na b c RA B C? ? ?，sin 2aA R?， sin 2bB R? ， sin 2cC R?，带入 得 22 2 2a b cR R R?， 2a b c? ? ? （） 2a b c? ， 2 2 2 2( ) 2 4a b a b a b c? ? ?
14、? ? ?， 2 242a b c ab? ? ? ，且 244c ab? ， 当且仅当 ab? 时取等号 ， 又 a ， 0b? ， 2 1cab?， ?由余弦定理 2 2 2 2 23 2 3 1c o s 12 2 2 2a b c c a b cC a b a b a b? ? ? ? ? ? ?， cosC? 的最小值为 12 【提示】（） 由切化弦公式 sintan cosAA A? ， sintan cosBB B? ，带入 t a n t a n2 ( t a n t a n ) c o s c o sABAB BA? ? ?并整理可得2 ( s i n c o s c o s
15、 s i n ) s i n s i nA B A B A B? ? ?，这样根据两角和的正弦公式即可得到 2 sin si sinC A B?，从而根据正弦定理便可得出 2a b c? ； （） 根据 2a b c? ，两边平方便可得出 2 2 224a b ab c? ? ? ，从而得出 2 2 242a b c ab? ? ? ，并由不等式222a b ab? ， 得出 2c ab? ，也就得到了 2 1cab? ，这样由余弦定理便可得出 231cos 122cC ab? ? ?，从而得出cosC 的范围，进而便可得出 cosC 的最小值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 ， 正弦定理
16、 ， 余弦定理 17.【答案】 （） 取 FC 中点 Q ，连结 GQ 、 QH ， G 、 H 为 EC 、 FB 的中点， GQ EF? 且 12GQ EF? ， 12QH BC ， 又 EF BO 且 EF BO? ， GQ BO? 且 12GQ BO? ， 【 ;百万教育资源文库 】 ?平面 GQH 平面 ABC ， GH? 面 GQH ， GH? 平面 ABC （） AB BC? ， BO AC?，又 OO? 面 ABC ， ?以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OO? 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 (2 3,0,0)A ， ( 2 3,0,0)C ? ，
17、(0,2 3,0)B ， (0,0,3)O? ， (0, 3,0)F ， ( 2 3 , 3 , 3)FC ? ? ? ?， (2 3, 2 3,0)CB ? ，由题意可知面 ABC 的法向量为 (0,0,3)OO? ，设 0 0 0( , , )n x y z 为面 FCB 的法向量，则 00nFCnCB? ?，即 0 0 0002 3 3 3 02 3 2 3 0x y zxy? ? ? ?，取 0 1x? ，则 31, 2,3n ? ? ?， 7c o s , 7| | | |O O nO O n O O n? ? ? ? ? ?， 二面角 -FBCA 的平面角是锐角， ?二面角 -FB
18、CA 的余弦值为 77 【提示】（） 取 FC 中点 Q ，连结 GQ 、 QH ，推导出平面 GQH 平面 ABC ，由此能证明 GH 平面 ABC ，（） 由 AB BC? ，知 BO AC? ，以 O 为原点， OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OO? 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 -FBCA 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法 ， 直线与平面平行的判定 18.【答案】 （） 238nS n n?， 2n?时 ， 1= 6 5n n na S S n? ? ?， 1n? 时 ， 1111aS?， 【 ;百万教育资源文库 】 =6 5nan?， 1n n na b b ? ， 11n n na b b? ? ? ， 1 1 1n
