1、【 ;百万教育资源文库 】 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 （山东卷） 理科数学答案解析 第 卷 一 、 选择题 1.【答案】 C 【解析】 2 | 4 + 3 0 | 1 3 A x x x x x? ? ? ? ?， ()2,3AB?I ，答案选 C 【提示】 求出集合 A，然后求出两个集合的交集 【考点】解一元二次不等式，集合间的运算 2.【答案】 A 【解析】 2(1 i)i i + i 1+ iz ? ? ? ? ?， 1iz ? ，答案选 A 【提示】 直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可 【考点】复数代数形式的四则运算 3.【答案】 B 【解析】 sin 412yx?
2、，需将函数 sin4yx? 的图象 向右平移 12 个单位，答案选 B 【提示】 直接利用三角函数的平移原则推出结果即可 【考点】三角函数的图象及其变换 4.【答案】 D 【解析】由菱形 ABCD 的边长为 a ， 60ABC? ? ? 可知 1 8 0 6 0 1 2 0BAD? ? ? ? ? ? ?， 2 22 3( ) ( ) + c o s1 2 0 + 2B D C D A D A B A B A B A D A B a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ?u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur u u urg g
3、g g，答案选 D 【提示】 根据 2( ) ( ) +B D C D A D A B A B A B A D A B? ? ? ? ?u uur u uur u u ur u uur u uur u uur u u ur u uurg g g代入可求 【考点】向量的运算 5.【答案】 A 【解析】 1x? 时 ， 1 (5 ) 4 2xx? ? ? ? ? ?成立 当 15x?时 ， 1 (5 ) 2 6 2x x x? ? ? ? ? ?解得 4x? ； 当 5x? ， 1 ( 5) 4 2xx? ? ? ? ?不成立，综上 4x? ， 答案选 A 【提示】 运用零点分区间，求出零点为 1
4、， 5，讨论 当 1x? ， 当 15x?， 当 5x? ，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可 【 ;百万教育资源文库 】 【考点 】绝对值符号和分类讨论的思想 6.【答案】 B 【解析】由 +z ax y? 得 +y ax z? ，借助图形可知：当 1a?， 即 1a? 时 在 0xy?时有最大值 0，不符合题意；当 01a? ? ，即 10a? ? 时有最大值 +1 4a ? ， 3a? ，不满足 10a? ? ；当 10a? ? ? ，即 01a?时在 1xy?时有最大值 +1 4a ? ， 3a? ，不满足 01a?；当 1a? 时，即 1a? 时在 2x? ， 0y? 时有最大
5、值 24a? ， 2a? ，满足 1a? ，答案选 B 第 6 题图 【提示】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值 【考点】线性规划的问题 7.【答案】 C 【解析】 2215 12 1133V ? ? ?g g g g，答案选 C 【提示】 画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可 【考点】 空间几何体体积的计算 8.【答案】 B 【解析】 0 0 00 0 01( 3 6 ) ( 9 5 . 4 4 6 8 . 2 6 ) 1 3 . 5 92P ? ? ? ? ?，答案选 B 【提示】 由题意 ( 3 3) 6 8 .2 6
6、%P ? ? ? ? ， ( 6 6 ) 9 5 .4 4 %P ? ? ? ? ， 可得 0 0 00 0 01( 3 6 ) ( 9 5 . 4 4 6 8 . 2 6 ) 1 3 . 5 92P ? ? ? ? ?，即可得出结论 【考点】正态分布 9.【答案】 D 【解析】 ( 2, 3)? 关于 y 轴的对称点的坐标 (2, 3)? ， 设反射光线所在的直线为 +3 ( 2)y k x?， 即2 3 0kx y k? ? ? ?， 则2| 3 2 2 3 | 11kkd k? ? ? ? ， 2| 5 +5| +1kk? ， 解得 43k? 或 34? ， 答案选 D 【提示】 点 (
7、 2, 3)? 关于 y 轴的对称点为 (2, 3)? ，可设反射光线所在直线的方程为： +3 ( 2)y k x?，利用直线与圆相切的性质即可得出 【考点】直线与圆的位置关系 【 ;百万教育资源文库 】 10.【答案】 C 【解析】由 ()( ( ) 2 faf f a ? 可知 ( ) 1fa? ， 则 121aa? ?或 13 1 1aa? ?， 解得 23a? ， 答案选 C 【提示】 讨论 ( ) 1fa? 时，以及 1a? ， 1a? ，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围 【考点】函数的定义域 第 卷 二、填空题 11.【答案】 14n? 【解析】具体证明过程可以是： 0
8、 1 2 1 0 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11C + C + C + + C ( 2 C + 2 C + 2 C + + 2 C )2nnn n n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ?0 2 1 1 2 2 2 2 3 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11= (C + C ) +(C + C ) +(C + C ) + +(C + C )2 n n n n nn n n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 1 2 1 2 1 2 1 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
9、 111= (C + C + C + + C + C + + C ) 2 422 n n n n nn n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【提示】 仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果 【考点】排列组合的运算 12.【答案】 1 【解析】 “ 0,4x ?， tanxm? ” 是真命题 ， 则 tan 14m?， 于是 m 的最小值是 1. 【提示】 求出正切函数的最大值，即可得到 m 的范围 【考点】三角函数的运算和命题真假 13.【答案】 116 【解析】 11 200 1 1 1 11 + + 1 + +2 3 6T x d x x d x? ? ? 【提示】
10、 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n， T 的值，当 3n? 时不满足条件 3n? ，退出循环，输出 T 的值为 116 【考点】程序框图 14.【答案】 32? 【解析】当 1a? 时， 10+1+0abab? ? ?， 无解；当 01a?时 10+0+1abab? ? ?， 解得 2b? ， 12a? ， 则 13+222ab? ? ? 【提示】 对 a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】指数函数的定义域和值域的应用 15.【答案】 32 【解析】 1C ： 221xyab?( 0, 0)ab?的渐近线为 byxa? 则点 2
11、222,pb pbA aa?， 2222,pb pbB aa?，22 : 2 ( 0)C x py p?的焦点 0,2pF?， 则 222 22pb papba ak b?， 即 22 54ba? ， 2 2 222+94c a baa?， 32ce a? 【提示】 求出 A 的坐标，可得2224 4AC bak ab?，利用 OAB 的垂心为 C2的焦点，可得 224 14b a bab a? ? ? ? ?，由此可求 C1的离心率 【考点】双曲线的离心率 三、解答题 16.【答案】 （ ） ()fx的增区间为 , +44kk?， k?Z ()fx的减区间为 3+,+44kk?， k?Z （
12、 ） 2+34【解析】 （ ） 由 11 ( ) s i n 2 1 + c o s 2 +2 2 2f x x x? ?1 1 1sin 2 + sin 22 2 2xx? 1sin2 2x? 由 2 22+22k x k? ? ? ， k?Z ， 得 +44k x k? ? ? ， k?Z ， 则 ()fx的增区间为 , +44kk?， k?Z ； 由 32 + 2 2 +22k x k? ， k?Z ， 得 3+ +44k x k? ， k?Z ， 则 ()fx的减区间为 3+,+44kk?， k?Z （ ）在锐角 ABC 中， 1sin 022AfA? ? ?， 1sin 2A? ，
13、,6A? 而 1a? ， 由 余弦定理可得 22 1 2 c o s 2 3 ( 2 3 )6b c b c b c b c b c? ? ? ? ? ? ?，当且仅当 bc? 时等号成立 【 ;百万教育资源文库 】 即 1 2+ 323bc ?， 11 1 2 + 3s i n s i n2 2 6 4 4ABCS b c A b c b c? ? ? ?， 故 ABC 面积的最大值是 2+34【提示】 （ ）由三角函数恒等变换化简解析式可得 1( ) sin 2 2f x x?，由 2 22+22k x k? ? ? ， k?Z 可解得 ()fx的单调递增区间，由 32 + 2 2 +22
14、k x k? ， k?Z 可解得单调递减区间 （ ）由 1sin 022AfA? ? ?，可得 sinA ， cosA ，由余弦定理可得： 2+ 3bc? ，且当 bc? 时等号成立，从而可求 1 2+ 3sin24bc A ?，从而得解 【考点】三角函数单调区间，三角形的面积公式 17.【答案】 （ ） 见解析 （ ） 60? 【解析】 （ ） 证明：如图 1，连接 DG ， DC ， 设 DC 与 GF 交于点 O 在三棱台 DEF ABC? 中， 2AB DE? ， 则 2AC DF? ， 而 G 是 AC 的中点， DF AC ，则 DF GC ， 所以四边形 DGCF 是平行四边形，
15、 O 是 DC 的中点 ， DG FC 又在 BDC 中， H 是 BC 的中点 ， 则 OH DB ，又 BD FGH?平 面 ， OH FGH?平 面 ， 故 BD FGH 平 面 第 17 题 图 1 （ ）由 ,CF ABC?平 面 可得 DG ABC?平 面 而 AB BC? ， 45BAC? ? ? ， 则 ,GB AC? 于是 GD ， GB ， GC 两两垂直 ， 以点为 G 坐标原点 ， GA ， GB GD 所在的直线分别为 ,x ,y z 轴建立空间直角坐标系， 如图 2， 2AB? ， 1DE CF?， 22AC? ， 2AG? ， (0, 2,0)B ， ( 2,0,
16、0)C ? ， ( 2,0,1)F ? ， 【 ;百万教育资源文库 】 22, ,022H ?则平面 ACFD 的一个法向量为 1 (0,1,0)n ?ur ， 设平面 FGH 的法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z?uur 则 2200n GHn GF? ?uur uuurguur uuurg 即 222222 0,2 + 0,yxxz? ?取 2 1x? ， 则 2 1y? ， 2 2z ? ， 2 (1,1, 2)n ?uur 12 11c o s , 21+1+ 2nn? ? ? ?ur uur， 故平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角 （锐角） 的大小为 60?
17、第 17 题图 2 【提示】 （ ）根据 2AB DE? 便可得到 2BC EF? ，从而可以得出四边形 EFHB 为平行四边形，从而得到BE HF ，便有 BE FGH 平 面 ，再证明 DE FGH 平 面 ，从而得到 B D E F G H平 面 平 面 ，从而BD FGH 平 面 ； （ ）连接 HE，根据条件能够说明 HC， HG， HE 三直线两两垂直，从而分别以这三直线为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标连接 BG，可说明 1n BG?ur uuur 为平面 ACFD 的一条法向量，设平面 FGH 的法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z
18、?uur ，根据 2200n GHn GF? ?uur uuurguur uuurg 即可求出法向量 2nur ，设平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角为 ，根据 12cos cos ,nn? ? ? ?ur uur即可求出平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角的大小 【考点】线面的位置关系，两平面所夹的角 18.【答案】 （ ）13, 1,3 , 1n nna n? ?， n ?N （ ）113 2 +112 4 3n nnT ?g， n ?N 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 （ ） 由 2 3 +3nnS ? 得11 1 (3+3) 32aS? ? ?111 11( 3 + 3 ) ( 3 + 3 ) 3 ( 2 )22n n nn n na S S n? ? ? ? ? ?， 而 111 33a ? ， 则13, 1,3 , 1.n nna n?
