1、【 ;百万教育资源文库 】 2012年普通高等学校招生全国统一考试 （安徽卷） 数学 (理科 )答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 D 【解析】 根据复数的运算法则计算即可： 5 5 ( 2 i )( i ) ( 2 i ) 5 i i 2 2 i2 i ( 2 i ) ( 2 i )z z z ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【提示】复数的乘法转化为除法，化简复数方程，利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数，然后整理即可 【考点】复数代数形式的混合运算 2.【答案】 C 【解析】 分别求出各函数的 (2)fx值，与 2()fx 比较，即可得出结果： ()A 对于 (
2、)f x x? 有 ( 2 ) = 2 = 2 = 2 ( )f x x x f x，结论成立； ()B 对于 ()f x x x? 有 ? ?( 2 ) 2 2 = 2 2 = 2 = 2 ( )f x x x x x x x f x? ? ? ?，结论成立； ()C 对于 ( ) 1f x x?有 ( 2 ) 2 1 2 ( ) 2 2f x x f x x? ? ? ?， ， (2 ) 2 ( )f f x? ，结论不成立； ()D 对于 ()f x x? 有 (2 ) 2 = 2 ( )f x x f x? ，结论成立 因此，不满足 (2 ) 2 ( )f x f x? 的是 ( )
3、1f x x?，故选 C 【提示】分别根据函数解析式求出 (2)fx与 2()fx ，看其是否相等，从而可得到所求 【考点】进行简单的演绎推理 3.【答案】 B 【解析】 根据 程序框图 所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足 4x? 的最小项数解答： 根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表： 是否继续循环 x y 循环前 1 1 第一圈 是 2 2 第二圈 是 4 3 第三圈 是 8 4 第四圈 否 输出 4 【 ;百万教育资源文库 】 ?最终输出结果 =4y 故选 B 【提示】列出循环中 x ， y 的对应关系，不满足判断框结束循环，推
4、出结果 【考点】循环结构 4.【答案】 B 【解析】 na 是等比数列，且 3 11 16aa? ， 27 16a? ? ，又 等比数列 na 的各项都是正数， 7 4a? ? ，1 9993 31 6 7= = 4 ( 2 ) = 4 2 =3 2a a q ? ?， 52 1 6 2 2lo g = lo g 3 2 = lo g 2 = 5a? 故选 B 【提示】由公比为 32 的等比数列 na 的各项都是正数，且 3 11 16aa? ，知 27 16a ? ，故 7 4a ? ， 916 7= =32a a q? ，由此能求出 2 16loga 【考点】等比数列的通项公式，对数的运算
5、性质 5.【答案】 C 【解析】 1 ( 4 5 6 7 8 ) 65x ? ? ? ? ? ?甲， 1 (5 3 6 9 ) 65x ? ? ? ? ?乙， ?甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数； 甲的成绩的中位数 6? ，乙的成绩的中位数 5? ， ?甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数； 甲的成绩的方差为 221 (2 2 1 2) 25 ? ? ? ?，乙的成绩的方差为 221 (1 3 3 1) 2.45 ? ? ? ?， ?甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差； 甲的成绩的极差 8 4 4? ? ? ，乙的成绩的极差 9 5 4? ? ? ， ?甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差 因此
6、，正确的表述是：甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 故选 C 【提示】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数，然后利用方差公式求出甲与乙的方差，从而可得到结论 【考点】极差、方差与标准差，分布的意义和作用，众数、中位数、平均数 6.【答案】 A 【解析】 ? ， b m b b a? ? ? ? ?， ?“ ? “” 是 “ ab? ” 的充分条件， 如果 am ，则 ab?与 bm? 条件相同， ?“ ? ” 是 “ ab? ” 的不必要条件 故选 A 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】通过两个条件之间的推导，利用平面与平面垂直的性质以及结合图形，判断充要条件即可 【考点】必要条件、充分条件与
7、充要条件的判断，平面与平面垂直的性质 7.【答案】 D 【解析】 第一个因式取 2x ，第二个因式取21x得： 1451 ( 1) 5C? ? ? ，第一个因式取 2 ，第二个因式取 5(1)? 得：52 ( 1) 2? ? ? ， ?展开式的常数项是 5 ( 2) 3? ? ? 故选 D 【提示】 5221( 2) 1x x?的展开式的常数项是第一个因式取 2x ，第二个因式取21x；第一个因式取 2，第二个因式取 5(1)? ，故可得结论 【考点】二项式定理的应用 8.【答案】 A 【解析】 (0,0)O ， (6,8)P ， ?设 (1 0 co s ,1 0 sin )OP ? ，得
8、3cos 5? ， 4sin 5? ，又 向量 OP按逆时针旋转 34? 后，得向量 OQ ， 331 0 c o s , 1 0 s i n ( 7 2 , 2 )44OQ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故选 A 【提示】由点 (0,0)O ， (6,8)P ，知 (6,8)OP? ，设 (1 0 co s ,1 0 sin )OP ? ， 则 3cos 5? ， 4sin 5? ，由向量 OP绕点逆时针方向旋转 34? 后得向量 OQ ，由此能求出结果 【考点】平面向量的坐标运算 9.【答案】 C 【解析】 设 (0 )AFx ? ? ? ? ? ?， |BF
9、a? ， | | 3AF? ，即点 A 到准线 :1lx? 的距离为 3 ， 2 3cos =3? ，即 1cos 3? ， 2 cos( )=aa?， 2 2 3=11 c o s 21 3a ? ? ? ?， AOB? 的 面 积 为1 1 3 2 2 3 2| | | | s i n 1 32 2 2 3 2S O F A B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?故选 C 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】设直线 AB 的倾斜角为 ? ，利用 | | 3AF? ，可得点 A 到准线 :1lx? 的距离为 3，从而 1cos 3? ，进而可求 |BF ， |AB ，由此可求 AOB
10、 的面积 【考点】直线与圆锥曲线的关系，抛物线的简单性质 10.【答案】 D 【解 析】 26 13 15 13 2C ? ? ? ?， ?在 6位同学的两两交换中少 2种情况，不妨设甲、乙、丙、丁、戍、己6人 设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则甲收到 3 份纪念品，乙、丙收到 4 份纪念品，丁、戍、己收到 5 份纪念品，此时收到 4份纪念品的同学人数为 2 人； 设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则甲、乙、丙、丁收到 4 份纪念品，戍、己收到 5 份纪念品，此时收到 4份纪念品的同学人数为 4人 故选 D 【提示】由题意， 26 13 15 13 2C ? ? ? ?，再分类讨论：仅有甲与乙，
11、丙没交换纪念品；仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，即可得出收到 4份纪念品的同学人数 【考点】进行简单的合情推理，排列、组合及简单计数问题 第 卷 二、填空题 11.【答案】 3,0? 【解析】 求 xy? 的取值范围，则求出 xy? 的最大值和最小值即可作图，可知约束条件对应 ABC 边际及内的区域： (0,3)A ， 30,2B?， (1,1)C ，当 1 x? ， 1y? 时， xy? 取得最大值 0；当 0 x? ， 3y? 时， xy?取得最小值 3? 【提示】画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出 z x y? 的范围 【考点】简单线性规划 12.【答案】 92
12、 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形，高为 4 的直四棱柱， ?几何体的表面积是 2212 ( 2 5 ) 4 ( 2 5 4 4 ( 5 2 ) ) 4 9 22S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【提示】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可 【考点】三视图 13.【答案】 3 【解析】将 4sin? 化为直角坐标方程： 22( 2) 4xy? ? ? ，其圆心坐标为 (0,2) ，将 ()6 R?化为直角坐标方程： 30xy?， ?根据点到直线的距离公式，得圆心到直线 ()6 R?的距离是 | 0 2 3
13、| 32? ? 【提示】将极坐标方程化为直角坐标方程，再用点到直线的距离公式，即可得到结论 【考点】简单曲线的极坐标方程，点到直线的距离公式 14.【答案】 98? 【解析】 |2 | 3ab? ， 224 9 4a b a b? ? ? ?，又 224 4 | | | 4a b a b a b? ? ? ?， 9 4 4a b a b? ? ，98ab? ? ， ab? 的最小值是 98? 【提示】由平面向量 a ， b 满足 |2 | 3ab?，知 224 9 4a b a b? ? ? ， 故 2 2 2 24 2 4 4 | | | 4a b a b a b a b? ? ? ? ?，
14、由此能求出 ab的最小值 【考点】平面向量数量积 15.【答案】 【解析】 2ab c? ， 2 2 2 21c o s 2 2 2a b c a b a bC a b a b? ? ? ? ? ?， 3C?，命题正确； 2a b c? ， 2 2 2 2 2 24 ( ) ( ) 1c o s 2 8 2a b c a b a bC a b a b? ? ? ? ? ? ? ?， 3C?，命题正确； 3 3 3a b c?， aa b a b c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 3C?，命题正确； 2ab? ， 1c? ， 2 2 2 4 4 1 7c o s 2 8 8
15、a b cC ab? ? ? ? ? ? ?， 3C?，命题错误； 以例反证，取 2ab? ， 1c? 满足 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b?，则 2 2 2 4 4 1 7c o s 2 8 8a b cC ab? ? ? ? ? ?，又71082? ， 3C?，命题错误 【提示】 利用余弦定理，将 2c 放大为 ab ，再结合均值定理即可证明 1cos 2C? ，从而证明 3C? ； 利用【 ;百万教育资源文库 】 余弦定理，将 2c 放大为 2()2ab? ，再结合均值定理即可证明 1cos 2C? ，从而证明 3C? ； 利用反证法，假设 3C? 时，推出与题设矛盾，即
16、可证明此命题 正确； 只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形 【考点】命题的真假判断与应用，余弦定理的应用 三、解答题 16.【答案】（ ） 2 2T? （ ）1 s in 2 022()1 s in 2 22xxgxxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?【解析】（ ） 22( ) c o s 2 s in24f x x x? ? ?， 1 1 1c o s 2 s i n 2 (1 c o s 2 )2 2 2x x x? ? ? ? 11sin222 x? ?函数 ()fx的最小正周期 2 2T?； （ ） 当 0,2x ?时， 11( ) ( ) s in 2
17、22g x f x x? ? ?， ?当 ,02x ?时， 0,22x ? ? ? ? ? ? ?， 11( ) s i n 2 s i n 22 2 2 2g x g x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 , 2x ? ? ? ?时， ( ) 0, 2x ? ?， 11( ) ( ) s i n 2 ( ) s i n 222g x g x x x? ? ? ? ?， ?函数 ()gx在 ,0? 上的解析式为1 s in 2 022()1 s in 222xxgxxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【提示】利用两角和的余弦函数以及二倍角公式化简函数的表达式，（ ）直接利用周期公式求解即可； （ ）求出函数 ()gx的周期，利用 0,2x ?时， 1( ) ( )2g x f x? ，对 x 分类求出函数的解析式即可 【考点】三角
