1、【 ;百万教育资源文库 】 2015年普通高等学校招生全国统一考试 （浙江 卷 ） 数学（文科）答案解析 一、选择题 1.【答案】 A 【解析】由题意得， | 3P x x?或 1x? ，所以 3,4)?PQ ，故选 A. 【提示】求出集合 P ，然后求解交集即可 . 【考点】一元二次不等式的解法，集合的交集运算 . 2.【答案】 C 【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为 2的正方体与一个底面边长为 2，高为 2的正四棱锥的组合体，故其体积为 3 2 31 3 22 2 2 c m33V ? ? ? ? ?，故选 C. 【提示】判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可 .
2、【考点】三视图，空间几何体的体积 . 3.【答案】 D 【解析】本题采用特殊值法：当 3, 1?ab时， 0?ab ，但 0ab? ，故是不充分条件；当 3, 1? ?ab时，0?ab ，但 0?ab ，故是不必要条件，所以“ 0?ab ”是“ 0ab? ”的既不充分也不必要条件 .故选 D. 【提示】 利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可 . 【考点】充分条件、必要条件的判定，不等式的性质 . 4.【答案】 A 【解析】采用排除法，选项 A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项 B 中，当 ? 时， ,lm可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项 C 中， l ? 时， ,?可以
3、相交；选项 D 中， ? 时， ,lm也可以异面，故选 A. 【提示】根据线面垂直的判定定理得出 A 正确； B 根据面面垂直的性质判断 B 错误；根据面面平行的判断定理得出 C错误；根据面面平行的性质判断 D错误 . 【考点】直线、平面的位置关系 . 5.【答案】 D 【解析】因为 11( ) c o s ( ) c o s ( )f x x x x x f xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故函数是奇函数，所以排除 ,AB；取 x ? ，则 11( ) c o s 0 f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，故选 D.
4、 【提示】由条件可得函数 ()fx为奇函数，故它的图像关于原点对称；再根据在 (0,1) 上， ( ) 0fx? ，结合所【 ;百万教育资源文库 】 给的选项，得出结论 . 【考点】函数的基本性质和函数图像的判定 . 6.【答案】 B 【解析】由 ,? ? ? ?x y z a b c，所以 ()ax by cz az by cx? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) 0a x z c z x x z a c? ? ? ? ? ? ?故ax by cz az by cx? ? ? ? ?，同理可得 ay bz cx ay bx cz? ? ? ? ?， az by cx ay b
5、z cx? ? ? ? ?，故最低费用为az by cx?.故选 B. 【提示】作差法逐个选项比较大小可得 . 【考点】不等式的性质，不等式比较大小 . 7.【答案】 C 【解析】由题可知，当 P 点运动时，在空间中，满足条件的 AP 绕 AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成 60 角的平面去截圆锥，所得图形为椭圆，故选 C. 【提示】根据题意， 30?PAB 为定值，可得点 P 的轨迹为一以 AB 为轴线的圆锥侧面与平面 ? 的交线，则答案可求 . 【考点】圆锥曲线的定义，线面位置关系 . 8.【答案】 B 【解析】因为 | 1| | sin |a b t? ? ? ，所以 2 2 2(
6、 1) sina b t? ? ?，所以 2221a a t? ? ? ，故当 t 确定时， 2 1t? 确定，所以 2 2aa? 唯一确定，故选 B. 【提示】根据代数式得出 2221? ? ?a a t ， 2sin2 ?bt，运用条件，结合三角函数可判断答案 . 【考点】函数概念 . 二、填空题 9.【答案】 12? 33 【解析】2 2log =2122 1log 2 = 2? ?； 2 4 2 4lo g 3 lo g 3 lo g 3 lo g 32 = 2 2 = 3 3? ?. 【提示】直接利用对数运算法则化简求值即可 . 【考点】对数运算 . 10.【答案】 23 1? 【解
7、析】由题可得 21 1 12 ( ) ( 6 )a d a d a d? ? ? ?（ ） .即有 13 2 0ad?，又因为 1221aa?，即 13 1,ad?所以【 ;百万教育资源文库 】 1d? ， 1 23a? . 【提示】运用等比数列的性质，结合等差数列的通项公式，计算可得 1?da，再由条件 1221aa?，运用等差数列的通项公式计算即可得到首项和公差 . 【考点】等差数列的定义，通项公式和等比中项 . 11.【答案】 322? 【解析】 2 1 1 c o s 2 1 1 3 2 3( ) = s i n s i n c o s 1 s i n 2 1 s i n 2 c o
8、s 2 s i n 22 2 2 2 2 2 4 2xf x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 2 2T?，min 32() 22fx ?. 【提示】 由三角函数恒等变换化简解析式可得 2 3( ) s in 22 4 2f x x?，由正弦函数的图像和性质即可求得最小正周期，最小值 . 【考点】三角函数的图像与性质和三角恒等变换 . 12.【答案】 12? 2 6 6? 【解析】 2( 2) ( 2) 4f ? ? ? ?，所以 61 ( 2 ) ( 4 ) 4 642f f f? ? ? ? ? ? ?，当 1x? 时， ( ) 0fx? ；当
9、 1x 时，( ) 2 6 6,fx?当 6,6xxx?时取到等号，因为 2 6 6 0? ，所以函数的最小值为 2 6 6? . 【提示】 由分段函数的特点易得 ( 2)ff? 的值；分别由二次函数和基本不等式可得各段的最小值，比较可得 . 【考点】分段函数求值，分段函数求最值 . 13.【答案】 233【解析】由题可知，不妨可设12 13(1, 0 ) ,22ee?，设 ( , ),b xy? 则 1 1,be x? 2 13= 1,22b e x y?故 31,3b ?，所以 1 2 3| | = 133b ?. 【提示】 根据数量积得出12ee，夹角为 60 ， 12 30b e b
10、e? ? ?， ， ，运用数量积的定义判断求解即可 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】平面向量数量积运算和向量的模 . 14.【答案】 15 【解析】 | 2 4 | |6 3 |z x y x y? ? ? ? ? ?，由图可知，当时 22yx? 时，满足的是 AB 劣弧，则 22z x y? ? ? 在点 (10)A， 处取得最大值 3，当 22yx? 时，满足的是 AB 优弧，则 10 3 4z x y? ? ? 与该优弧相切时取得最大值，故 | 10 | 1,5zd ?所以 15z? ，故该目标函数的最大值是 15. 【提示】 由题意可得 2 4 0xy? ， 6 3 0xy?
11、，去绝对值后得到目标函数 3 4 10z x y? ? ，然后结合圆心到直线的距离求得 |2 4 6 3x y x y? 的最大值 . 【考点】简单的线性规划 . 15.【答案】 22【解析】设 (,0)Fc 关于直线 byxc? 的对称点为 ( , )Qmn ，则有122nbm c cn b m cc? ? ? ?，解得 3 2 2222,?c b c bcmnaa，所以 3 2 2222,?c b c bcQ aa在椭圆上，即有 3 2 2 2 26 4 2( ) ( 2 ) 1c b c bca a b? ?，解得 222ac? ，所以 22ce a?. 【提示】 设出 Q 的坐标，利用
12、对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可 . 【考点】点关于直线对称和椭圆的离心率 . 三、解答题 16.【答案】 （ ） 由 tan =24 A?，得 1tan 3A? ，所以 2sin 2sin 2 cosAAA?=22 s i n c o s 2 t a n 22 s i n c o s c o s 2 t a n 1 5A A AA A A A?（ ） 由 1tan 3A? 可得 1 0 3 1 0s in , c o s .1 0 1 0AA?3, ,4?aB 由正弦定理知： 3 5.b? 又 25s i n s i n ( ) s i n c o s c
13、o s s i n5C A B A B A B? ? ? ? ? ，所以 1 1 2 5s i n 3 3 5 92 2 5ABCS a b C? ? ? ? ? ?. 【提示】 （ ）由两角和与差的正切函数公式及已知可得 tanA ，由倍角公式及同角三角函数关系式即可得解 . （ ）由 1tan 3A? ， (0 )A? ， ，可得 sin cosAA， .又由正弦定理可得 b 和 sinC ，利用三角形面积公式即可得解 . 【 ;百万教育资源文库 】 【考点】同角三角函数基本关系式，正弦定理和三角形面积公式 . 17.【答案】 （ ） 由 *1 1 12 , 1 2 ( ) ,nna b
14、a a n? ? ? ? N， 得 2nna? . 当 n=1时， 121,bb?得 2 2b? . 当 2n? 时，11 n n nb b bn ?，整理得 1 +1,nnb nbn? ? 所以 .nbn? （ ） 由（ 1）知， 2nnnab n? 所以 232 2 2 3 2 2 nnTn? ? ? ? ?， 2 3 4 + 12 2 2 2 3 2 ( 1 ) 2 2nnnT n n? ? ? ? ? ? ?， 所以 2 3 + 1 + 12 2 2 2 2 2 ( 1 ) 2 2n n nn n nT T T n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 1*( 1)
15、2 2 ( )nnT n n? ? ? ? N. 【提示】 （ ）直接由 1122nna a a?， ，可得数列 na 为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列 na 的通项公式 ， 再由1 1 2 3 11 1 123 nnb b b b b bn ? ? ? ? ? ? ?，取 1n? 求得 2 2b? ，当 2n? 时，得另一递推式，作差得到11 n n nb b bn ?，整理得数列 nbn?为常数列，由此可得 nb 的通项公式； （ ）求出 2nnnab n? ，然后利用错位相减法求数列 nnab 的前 n 项和为 .nT 【考点】根据数列的递推关系式求数列的通项公式，错位相减法求和
16、 . 18.【答案】 （ ） 设 E 为 BC 的中点，由题意得 AE? 平面 ABC，所以 1 .AE AE? 因为 AB AC? ，所以 AE BC? ，所以 1AE? 平面 1ABC . 由 DE， 分别为 11BC BC， 的中点，得 1DE BB 且 1DE BB? ，从而 1DE AA 且 1DE AA? ，所以 1AADE 是平行四边形，所以 1 .AD AE 因为 AE? 平面 1ABC ，所以 1AD? 平面 1ABC . （ ）建立如图坐标系 ， 在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 19 0 2 4B A C A B A C A A? ? ? ? ?， ， 所以 11
17、( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) ( 0 , 0 , 12 , 2 , 1 4 ) 4)?， ，O B B A 即 11= ( 0 , 2 , 1 4 ) , =( 0 , 2 , ) , ( 2 , 0 , 1 4 )?0A B O B B B 【 ;百万教育资源文库 】 设平面 11BBCC 的法向量为 ()n x y z? ， ， ， 100nOBnBB? ?即得出 02 14 0y xz? ? ?得出1( 7 0 ) 4 2 2n B A n? ? ?， ， 1 ， ，所以 1 14n BA ? ，1 1 4 7c o s 84 2 2n B A? ? ?，可
18、得出直线 1AB和平面 11BBCC 所成的角的正弦值 为 78 【提示】 （ ）连接 1,AOAD ，根据几何体的性质得出 1 1 1A O A D A D BC?， ，利用直线平面的垂直定理判断 . （ ）利用空间向量的垂直得出平面 11BBCC 的法向量 ( 7,0, )? 1n ， |根据与 1BA 数量积求解余弦值，即可得出直线 1AB和平面 11BBCC 所成的角的 正弦值 . 【考点】空间直线、平面垂直关系的证明，直线与平面所成的角 . 19.【答案】 （ ） 由题意可知，直线 PA 的斜率存在，故设直线 PA 的直线的方程为 ( ).y k x t?所以2()14y k x tyx? ?消去 y，整理得 2 4 4 0x kx kt? ? ? 因为直线 PA 与抛物线相切，所以 216 16 0,k kt? ? ? ?解得 k=t.
