1、【 ;百万教育资源文库 】 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 (辽宁卷 ) 数学 (供理科考生 使用 )答案 解析 第 卷 一 、 选择题 1.【答案】 B 【解析】 ? ? ? ?UUAB痧 即为在全集 U 中去掉集合 A 和集合 B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案 ， ? ? ? ? ? ? ? ?7 , 9U U UA B A B?痧 ? 【提示】 由题已知全集 ? ?0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9U ? ，集合 ? ?0,1,3,5,8A? ，集合 ? ?2,4,6,8B? ，可先求出两集合 A ， B 的补集，再由交
2、的运算求出 ? ? ? ?UUAB痧 【考点】 集合 2.【答案】 A 【解析】 ? ? ? ?22i2 i 3 4 i 3 4= = = i2 + i 2 + i 2 i 5 5 5? ?【提示】 进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，再进行复数的乘法运算，化成最简形式，得到结果 【考点】 复数 3.【答案】 B 【解析】 a b a b? ? ? ，可以从几何角度理解，以 非零向量 a ， b 为邻边做平行四边形，对角线长分别为ab? ， ab? ，若 a b a b? ? ? ，则说明四边形为矩形，所以 ab? ；也可由已知得 22=a b a b?，即22222 + =
3、+ 2 +a a b b a a b b? ， ab? 【提示】 由于 ab? 和 ab? 表示以 a ， b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，再由 a b a b? ? ? 可得此平行四边形的对角线相等，故此平行四边形为矩形，从而得出结论 【考点】 向量的线性运算 4.【答案】 C 【解析】全称命题的否定形式为将 “ ? ” 改为 “ ? ” ，后面的加以否定，即将 “ 2 1 2 1( ( ) ( )( ) 0f x f x x x? ? ?”改为 “ 2 1 2 1( ( ) ( )( ) 0f x f x x x? ? ?” 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 由题意，命题 p
4、 是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项 【考点】 简单的逻辑联结词，全称量词，存在量词 5.【答案】 C 【解析】每家 3 口人坐在一起，捆绑在一起 3! ，共 3 个 3! ，又 3 家 3 个整体继续排列有 3! 种方法，总共有 4(3!) 【提示】 完成任务可分为两步，第一步，三口之家内部排序，第二步，三家排序，由分步计数原理计数公式，将两步结果相乘即可 【考点】 排列组合及其应用 6.【答案】 B 【解析】 4 8 6+ =2 =16a a a ， 6=8a? ，而 1 1 11 1 61 1(
5、+ )= = 1 1 = 8 82aaSa【提示】 根据等差数列的定义和性质得 1 11 4 8 16a a a a? ? ? ?，再由 1 1111 11( )2aaS ?运算求得结果 【考点】 等差数列 7.【答案】 A 【解析】方法一： s in c o s 2 , ( 0 , )? ? ? ? ?，两边平方得 1 sin2 =2,? sin 2 = 1,2 (0,2)?， 32=2? ， 3=4? ， tan = 1? 方法二：由于形势比较特殊，可以两边取导数得 c o s + s in = 0 , ta n = 1? ? ? 【提示】 由条件可得 1 2sin cos 2?，即 si
6、n2 1? ，故 32=2? ， 3=4? ， 从而求得 tan的值 【考点】 三角函数 8.【答案】 D 【解析】如图所示过点 (5,15)A ， 2+3xy的最大值为 55 第 8 题图 【提示】 先画出满足约束条件的平面区域，结合几何意义，然后求出目标函数 23z x y?取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案 【考点】 二元线性规划求目标函数的最大值 【 ;百万教育资源文库 】 9.【答案】 D 【解析】当 1i? 时，经运算得 2 124S? ? ；（步骤 1） 当 2i? 时，经运算得 ? ?222 1 3S ? ；（步骤 2） 当 3i? 时，经运算得 23=2
7、 22 3S ?；（步骤 3） 当 4i? 时，经运算得 2 432 2S?；（步骤 4） 当 5i? 时，经运算得 2 124S? ? ；（步骤 5） 从此开始重复，每隔 4 一循环，所以当 8i? 时，经运算得 =4S ；接着 =9i 满足输出条件，输出 =4S 【提示】 直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当 99i? ，不满足判断框的条件，退出循环输出结果即可 【考点】 程序框图 10.【答案】 C 【解析】如图所示，令 AC x? ， CB y? ，则 + =12( 0, 0)x y x y ，矩形面积设为 S ，则 (12 ) 32S xy x x? ? ? ?解得 04x?
8、或 8 12x? ， 该矩形面积小于 32 2cm 的概率为 82123? 第 10 题图 【提示】 设 AC x? ，则 0 12x? ，若矩形面积为小于 32，则 8x? 或 4x? ，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比 【考点】 几何概型 11.【答案】 B 【解析】 ( ) ( )f x f x? ， 所以 函数 ()fx为偶函数，所以 ( )= (2 )= ( 2 )f x f x f x?，所以 函数 ()fx为周期为 2的周期函数 (步骤一 ) 且 ? ?0=0f ， ?1=1f ，而 ? ? ? ?= cos g x x x 为偶函数，且 ? ? 1 1 30 =
9、 = = = 02 2 2g g g g? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，在同一坐标系下做出两函数（步骤二） 在 13,22?上的图像，发现在 13,22?内图像共有 6 个公共点，（步骤三） 【 ;百万教育资源文库 】 则函数 ? ? ? ? ? ?=h x g x f x? 在 13,22?上的零点个数为 6.（步骤四） 第 11 题图 【提示】 利用函数的奇偶性与函数的解析式，求出 10,2x ?， 13,22x ?时， ()gx的解析式，推出 (0) (0)fg? ，(1) (1)fg? ， 13022gg? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，画出函数
10、的草图，判断零点的个数即可 【考点】 偶函数的性质，函数的周期性，函数零点的求解与判断，函数图像的应用 12.【答案】 C 【解析】验证 A，当 =3x 时 ， 3 3 2e 2 .7 = 1 9 .6 8 1+ 3 + 3 = 1 3，故排除 A；（步骤一） 验证 B，当 1=2x 时 ，1216= 31+ ，而 1 1 1 1 1 3 3 9 1 5 2 1 1 5 3 6 1 6 61 + = = = 0gx? 恒成立 所以当 ? ?0,+x?， ( ) (0)=0g x g? ，所以 ? ?0,+x?， 21( )=cos 1+ 2g x x x? 为增函数，所以 ( ) (0)=0g
11、 x g? ，恒成立，故选 C；（步骤三） 验证 D，令 21( )=ln(1+ ) + 8h x x x x? ， 1 ( 3 )( ) = 1 + =+ 1 4 4 ( + 1)x x xhx xx? ? ，令 ? ? 0x 时， 2 ( +1) 1 +1+1= + 2x x x，故 +1 +12xx （步骤二） 记 9( )= ( ) +6xh x f x x? ，则2 2 21 1 5 4 2 + + 1 5 4 +6 5 4( ) = + = + 1 ( +6 ) 2 ( + 1 ) ( +6 ) 4 ( + 1 ) ( +6 )2 + 1 xxhx x x x x x xx? ?
12、? ?32( + 6) 216( +1)= 4( +1)( + 6)xxxx?，（步骤三） 令 3( ) =( + 6 ) 2 1 6 ( +1)g x x x? ，则当 02x 时， 2( )= 3( + 6 ) 2 1 6 0g x x? ? 因此 ()gx在 (0,2) 内是减函数，又由 (0)=0g ，得 ( )0gx ，所以 ( )0hx? （步骤四） 因此 ()hx 在 (0,2) 内是减函数，又由 (0)=0h ，得 ? ?0hx ，于是当 02x 时， ? ? 9 +6xfxx （步骤五） 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 （ 1） 由 ()y f x? 过 (0,0) ，
13、可求 b 的值，根据曲线 ()y f x? 与直线 32yx? 在 (0,0) 点相切，利用导函数，可求 a 的值； （ 2） 由 （ 1） 知 ( ) ln ( 1) 1 1f x x x? ? ? ? ?，由均值不等式，可得 112xx? ? ? ，构造函数 ( ) ln( 1)k x x x? ? ?，可得 ln( 1)xx? ，从而当 0x? 时， 3()2f x x? ， 记 ( )=( + 6) ( ) 9h x x f x x?，可证 ()hx 在 (0,2) 内单调递减，从而 ( ) 0hx? ，故问题得证 【考点】导数 22.【答案】（ 1）证明：由 AC 与 O 相切于 A
14、 ，得 =CAB ADB?，同理 =ACB DAB?，（步骤一） 所以 ACB DAB 从而 =AC ABAD BD ，即 =AC BD AD AB（步骤二） （ 2）由 AD 与 O 相切于 A ，得 =AED BAD?，又 =ADE BDA?，得 EAD ABD （步骤三） 从而 =AE ADAB BD ，即 =AE BD AD AB，（步骤四） 综合（ 1）的结论， =ACAE （步骤五） 【提示】 （ 1） 利用圆的切线的性质得 =CAB ADB?， =ACB DAB?，从而有 ACB DAB ， =AC ABAD BD ，由此得到所证 （ 2） 利用圆的切线的性质得 =AED BAD
15、?，又 =ADE BDA?，可得 EAD ABD ， =AE ADAB BD ，=AE BD AD AB，再结合 （ 1） 的结论 =AC BD AD AB可得， =ACAE 【考点】圆的性质的应用 23.【答案】（ 1） 2,3?2, 3? （ 2） =1 = ta n 33xy ? ? ? ?【解析】（ 1）圆 1C 的极坐标方程为 =2? ，圆 2C 的极坐标方程为 =4cos?，（步骤一） 解 =2=4cos?得 =2? ， = 3? ? ，故圆 1C 与圆 2C 交点的坐标为 2,3?， 2, 3?（步骤二） 注：极坐标系下点的表示不唯一 （ 2）（解法一）由 = cos= sinxy ?，得圆 1C 与圆 2C 交点的直角坐标为 (1, 3) ， (1, 3)?
