1、高三数学答案 第 1 页（共 7 页） 龙岩市 2021 年高中毕业班第一次教学质量检测 数学试题参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C D D C C A B A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 题号 9 10 11 12 选项 AD BC ABD CD 12简解 A若直线l过点FQ、且与y轴垂直，可得2p ,当直线l过点FQ、但不与y轴垂直时， 得不出2p ，故 A 错; B当点Q在抛物线的内部时,由抛物线的定义得 122 2 P PQPFPQPNP (N为抛物线准线上的点); 当
2、点Q在抛物 线的外部时,连接FQ, 22 (1)12 2 P PQPFQF,得22 3P ,故 B 错 C由条件知直线l的斜率存在，设其方程为 2 p ykx与 2 2xpy联立消去y得 22 20,xpkxp设 1122 ( ,), (,)A x yB xy , 22 2 12 1212 2 ()1 , 444 OAOB x xp x xpy ykk p 则故 C 正确; D设 1122 ( ,), (,)A x yB xy,由 2 2xpy得 12 2 11 ,1yxx x pp , 2 12 x xp , 222 121212 11 ()(), 22 yyxxxxp pp 所以当 12
3、0 xx时, 12 yy取得最小值4p,从而求得 1 212 ,4,2xyy , 1 8 14 2 ABQ S ,故 D 正确. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 131 ； 14. 337 ； 15. 3 ( ,0) 2 ， 3 ； （第一空 2 分，第二空 3 分） 16. 3 2 a 高三数学答案 第 2 页（共 7 页） 16解：动点P的轨迹是以A为球心，半径为2a的球与平面 A B C D ，平面DCC D ，平面CBB C 的交线，这三条 弧长之和为 3 2 a. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。 17 （本题满分 10 分） 解： （1）选
4、条件，由正弦定理 C c B b sinsin 及CbBccos3sin得 sinsin3sincos,CBBC 1 分 0,sin0,BB 2 分 sin3cosCC 3 分 tan3,C0,C4 分 3 C 5 分 选条件，由CCC 2 cos2)2 2 3 sin(cos2 得，CCC 2 cos22coscos2 2 分 2 1 coscos21cos2cos2 22 CCCC， 4 分 3 ,0 CC 5分 选条件CabCCabinCCBCAS ABC sin 2 1 sincoss 2 分 sin0,C 3 ,0, 2 1 cos CCC 5 分 （2）法 1：由（1）知 3 C，
5、又2c 设ABC的外接圆的半径为 R,则 3 34 3 sin 2 sin 2 C c R, 6 分 所以ABC的周长2) 3 2 sin(sin 3 34 2)sin(sin2AABARL 2 6 sin4）（ A 8 分 , 3 2 0 A1) 6 sin( 2 1 , 6 5 66 AA 9 分 (4,6L . 10 分 B A A D C CD B 高三数学答案 第 3 页（共 7 页） 法 2：由（1）知 3 C，又2c 由余弦定理得 Cabbaccos2 222 2 1 2 22 abba 22 abab6 分 2222 31 4()3()()() 44 ababababab 7
6、分 2 ()16,4,24abababcab又 （当且仅当2ab 时取等号） 9 分 46l ,所以ABC的周长的取值范围为(4,6.10 分 18 （本题满分 12 分） 解： （1）22 nn Sa，2n 时， 11 22 nn Sa 2 分 两式相减得 1 22 nnn aaa ，又各项均为正数，即 1 2 n n a a ，4 分 又 11 22Sa，则 1 2a ， 5 分 所以2n n a 6 分 （2） 21 log(1) 2n nnn baan ， 7 分 23 2 23 24 2(1) 2n n Tn 2341 22 23 24 2(1) 2n n Tn - 得 2111 2
7、(1 2 ) -2 2+2 +2(1)22(1)22 1 2 n nnnn n Tnnn 9 分 1 2n n Tn 10 分 因 +211 1 +2(2) 20 nnn nn TTnnn （1）2， 11 分 所以 1nn TT ，即 n T单调递增，所以 1 4kT 12 分 19 （本题满分 12 分） 解:（1）列联表补充如下： 感兴趣 不感兴趣 合计 男 44 12 56 女 36 8 44 合计 80 20 100 1 分 高三数学答案 第 4 页（共 7 页） 计算 2 2 n adbc K abcdacbd 2 10044 836 12 0.1622.706 80 20 56
8、44 , 3 分 所以没有 0 0 90的把握认为学生对“冬季长跑”的兴趣度与性别有关. 4 分 （2）设 2 人中恰有 1 人不感兴趣这一事件为A， 则 44812367 ( ) 5644564422 P A 7 分 （3）根据题意，X的值可能为0,1,2 3，. 则 3 7 3 12 7 0 44 C P X C , 21 75 3 12 21 1 44 CC P X C 12 75 3 12 7 2 22 CC P X C , 3 5 3 12 1 3 22 C P X C 故X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 7 44 21 44 7 22 1 22 11 分 故X的数学期望：
9、721715 0123 444422224 E X . 12 分 20 （本题满分 12 分） 解： （1）在线段AD上存在点E满足题意，且E为AD中点， 1 分 连接ES，EF，SF，底面ABCD为矩形，ABAD， 又,E F分别是,AD BC中点，/ /EFAB，EFAD，2 分 又侧面SAD为等腰直角三角形，SEAD，SEEFE， A D平面SEF，3 分 过 S 点在平面SAD内作AD的平行线l， / /ADBC，/ /BCl 即l为平面SAD与平面SBC的交线 5 分 l平面SEF. 6 分 （2）以E为原点， EA 方向为x轴， EF 方向为y轴， 建立如图坐标系Exyz.则120
10、SEF， 7 分 (0, 1, 3)S，(2,0,0)A，(2,2,0)B，( 2,2,0)C ，( 2,0,0)D ， 设( , 1, 3)Q t 8 分 (2,3,3)SB ，(0,2,0)DC ，(2, 1, 3)DQt ， l E F C D AB S z x y 高三数学答案 第 5 页（共 7 页） 设平面QCD的法向量为( , , )nx y z ，则 由 0 0 n DC n DQ ，得 20 (2)30 y txyz ，取 2 ( 1,0,) 3 t n ，9 分 设直线SB与平面QCD所成角为， 则 2 43 sincos, 4 (2) 4 1 3 t SB n t ， 得
11、 9 4 t 11 分 此时 65 4 DQ 12分 21 （本题满分 12 分） 解： （1）由已知条件设 1( ,0)Fc ，则, 2 2 11 2 1 )( 2 1 22 111 a c ab bca S S BOA FBA 1 分 ., 1 2 11 2 2 1 2 2 222 22 cba ba C a c 又的方程得）代入椭圆，将（所以有 解得2a ，1b 3 分 . 1 2 2 2 y x C的标准方程为椭圆 4 分 （2）依题意可设 1122 ( ,),(,),P x yQ xy 12 0,0 xx 联立直线与椭圆 C 的方程得 2 2 1, 2 , x y ykxm 消去y并
12、整理得 222 (21)4220kxkmxm. 12, 0)22)(12(416 222222 kmmkmk化简得则 5 分 , 12 22 , 12 4 2 2 21 2 21 k m xx k km xx 2 1212 0,0,0,1xxx xm 6 分 , 2 2 2 1 1 1 x y kOQ x y kOP的斜率的斜率 21 21 21 2 xx yy kkk 12 12 ()()kxm kxm x x 21 2 21 2 )( xx mxxkm k 代入上式并化简得把 12 22 , 12 4 2 2 21 2 21 k m xx k km xx ， 2 2 , 0, 12, 02
13、 2222 kkkmmkm 8 分 高三数学答案 第 6 页（共 7 页） 当 2 ,1 2 km 时， 12 0,0kk , 2 2 mxyl的方程为所以直线此时由 0 得 2 2m 200mm，, 且1m 9 分 , 1,2 2 2121 mxxmxx此时 222 21 2 21 2 23) 1(42 2 1 14)(1mmmxxxxkPQ m m dPQO 3 6 2 1 1 的距离到直线点 10 分 dPQS OPQ 2 1 = 2 23 2 1 m 1) 1( 2 2 )2( 2 2 3 6 2222 mmmm 11 分 200mm，, 1m 所以OPQ面积的取值范围为 2 (0,)
14、 2 .12 分 22 （本题满分 12 分） 解： （1） 2 ( )ln,( )ln2f xxxaxx fxxax， 所以 2 ( )lnf xxxaxx有两个极值点就是方程 ln20 xax在(0,+）有两个不同的解， 即2ya与 ln x m x x 的图像的交点有两个 1 分 2 1 ln ( ) x m x x ，当0,xe时， 0m x， m x单调递增； 当,()xe时， 0m x， m x单调递减， m x有极大值 1 e 3 分 又因为0,1x时， 0m x ；1,x时， 1 0m x e 4 分 当 1 02a e 时，即 1 0 2 a e 时有两个解， 1 0, 2
15、a e 5 分 （2） 1 ( )ln(1) x h xg xfxexa x (0)x 1 1 x h xea x ，又 1 2 1 0 x hxe x ， h x在(0,)单调递增 高三数学答案 第 7 页（共 7 页） 若0a 时， 10h 当(0,1)x时， 0.hx h x在(0,1)上单调递减； 当(1,)x时， 0.hx h x在(1,)上单调递增； h x在1x 处取得极小值 0 1ln11he 若0a ，令1,x 则 1 10a e ；令ln(1)1,xa 则 ln(1) 1 1 1 ln(1)1 a ea a 1 10 ln(1)1a 所以在(1,ln(1)1)xa，( )0
16、h x有唯一解； 若0a ，令 1 a x ea ，则 1 1 () a a ea eeaa 1 1 0 a a ea ee ；令1,x 则 1 1 10ea ， 所以在 1 (,1) a x ea ，( )0h x有唯一解； 0h x在(0,)有唯一解 0 x 当 0 (0,)xx时， 0h x， h x在 0 (0,)x单调递减； 当 0 (,)xx时， 0h x， h x在 0 (,)x 单调递增； h x在 0 x处取得极小值 0 1 000 ln(1) x h xexa x 且 0 1 0 1 x ae x 8 分 0 1 000 ln(1) x h xexa x 0 1 00 0 1 (2)ln1 x x ex x 令 x 1 1 (2)ln1 x x ex x ，则 x 21 2 (1)(1) x xx e x 由 0 x得，1x 10 分 当 (0,1)x时， 0 x， x在(0,1)单调递增； 当 (1,)x时， 0 x， x在(1,)单调递减， (1)1x，即 h x的极小值不大于 1. 12 分
