1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的意的 1 （2 分）3 的算术平方根是( ) A3 B3 C3 D9 2 （2 分）下列医院logo设计的图案中，是轴对称图形的是( ) A B C D 3 （2 分）下列事件中，为必然事件的是( ) A明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起 B成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀 C从能被
2、 8 整除的数中，随机抽取一个数能被 2 整除 D从 10 本图书中随机抽取一本是小说 4 （2 分）代数式21x 在实数范围内有意义的条件是( ) A 1 2 x B 1 2 x C 1 2 x D 1 2 x 5 （2 分）如图所示在ABC中，AB边上的高线画法正确的是( ) A B C D 6 （2 分）下列式子的变形正确的是( ) 第 2 页（共 19 页） A 2 2 bb aa B 22 ab ab ab C 242 2 xyxy xx D 2 2 mn n m 7 （2 分）下列说法正确的是( ) A无理数是开方开不尽的数 B一个实数的绝对值总是正数 C不存在绝对值最小的实数 D
3、实数与数轴上的点一一对应 8 （2 分）剪纸是我国传统的民间艺术如图，将一张纸片进行两次对折后，再沿图 中的虚线裁剪，最后将图中的纸片打开铺平，所得图案应该是( ) A B C D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）一个均匀的正方体，6 个面中有 1 个面是黄色的、2 个面是红色的、3 个面是绿色 的任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是 10 （2 分）如果三角形的三边长分别为 5，8，a，那么a的取值范围为 11 （2 分）如图，将一副直角三角尺按图放置，使三角尺的长直角边与三角尺的某 直角边在同一条直线上，则图中的1 12
4、（2 分）将分式 4 23 2 6 xy x y 约分可得 ，依据为 13 （2 分）若 x表示实数x的整数部分，例如：3.53，则 17 14 （2 分）如图，D，E分别是AB，AC上的点，ADAE，请添加一个条件，使得 第 3 页（共 19 页） ABEACD 这个条件可以为 （只填一个条件即可） 15 （2 分）我国古代的数学名著九章算术中有这样一道题目“今有立木，系索其末， 委地三尺引索却行，去本八尺而索尽问索长几何？” 译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆 在地面的部分尚有 3 尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部 8 尺处时，绳索用尽问绳索长
5、是 多少？” 示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，木柱AB的长用含x的代数式表示为 尺，根 据题意，可列方程为 16 （2 分）有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源为了更好地开展垃圾分 类工作， 某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查 从中随机抽取部分 居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为A，B，C，D四个等次，绘制成如图所 示的两幅不完整的统计图 下面有四个推断： 本次的调查方式是抽样调查，样本容量是 40； 扇形统计图中，表示C等次的扇形的圆心角的度数为72； 第 4 页（共 19 页） 测试成绩为D等次的居民人数占参测总人数的10%； 测试成绩为A或B等
6、次的居民人数共 30 人 所有合理推断的序号是 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 每小题每小题 5 分；第分；第 23-27 题，每小题题，每小题 5 分；分；28 题题 8 分）分） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17 （5 分）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程 已知：如图 1，直线l及直线l上一点P 求作：直线PQ，使得PQl 作法：如图2: 以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B； 分别以点A，B为圆心， 以大于 1 2 AB的同样长为半径作弧， 两弧在直线l上方
7、交于点Q； 作直线PQ 所以直线PQ就是所求作的直线 根据小石设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 证明：连接QA，QB QA ，PA ， PQl( )（填推理的依据） 18 （5 分）计算： 20 327( 4)(1) 19 （5 分）计算： 3 3 1282 32 2 20 （5 分）解方程： 2 6 1 39 x xx 21（5 分） 如图，ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点， 且ADBE 求 证：AECD 第 5 页（共 19 页） 22 （5 分）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，请在图中画
8、出 2 个形状不 同的等腰三角形，使它的腰长为5，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三 角形共 个 23 （6 分）已知 2 1aa，求代数式 2 2 131 2442 aaa aaaa 的值 24 （6 分）关于x的分式方程 3 2 1 xm x 的解是负数，求满足条件的整数m的最大值 25 （6 分）创建文明城市，携手共建幸福美好某地为美化环境，计划种植树木 4800 棵， 由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前 4 天完成任务求原 计划每天植树的棵数 26 （6 分）某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了 40 名八年级男生 进行“引体向
9、上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下： 个数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 21 人数 1 1 6 8 11 4 1 2 2 1 1 2 请根据以上表格信息，解答如下问题： （1）分析数据，补全表格信息： 平均数 众数 中位数 6 （2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生 “引体向上”项目测试的“合格标准” ，并说明选择的理由 第 6 页（共 19 页） （3）如果该区现有 8000 名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准” ，估计该区八年级 男生“引体向上”项目测试的合格人数 27 （6 分） 如图，ABC中，26ACAB，3
10、3BC AC的垂直平分线分别交AC，BC 于点D，E （1）求BE的长； （2） 延长DE交AB的延长线于点F， 连接CF 若M是DF上一动点，N是CF上一动点， 请直接写出CMMN的最小值为 28 （8 分）如图 1，射线/ /APBQ，分别作PAB，ABQ的角平分线，这两条射线交于 点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合） （1）当CDAP时， 补全图 1； 若ACa，BDb，则AB的长为 （用含a，b的式子表示） （2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量 关系，并证明 第 7 页（共 19 页） 2020-2
11、021 学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题 意的意的 1 （2 分）3 的算术平方根是( ) A3 B3 C3 D9 【解答】解：3 的算术平方根是3， 故选：B 2 （2 分）下列医院logo设计的图案中，是轴对称图形的是( ) A B C D 【解答】解：根据轴对称图形的定义，可知选项B是轴对称图形， 故选：B 3 （2 分）下列事件中，为必
12、然事件的是( ) A明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起 B成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀 C从能被 8 整除的数中，随机抽取一个数能被 2 整除 D从 10 本图书中随机抽取一本是小说 【解答】解：A、明天早晨，大家能看到太阳从东方冉冉升起，是随机事件； B、成绩一直优秀的小华后天的测试成绩也一定优秀，是随机事件； C、从能被 8 整除的数中，随机抽取一个数能被 2 整除，是必然事件； D、从 10 本图书中随机抽取一本是小说，是随机事件； 故选：C 4 （2 分）代数式21x 在实数范围内有意义的条件是( ) 第 8 页（共 19 页） A 1 2 x B 1 2 x C 1
13、 2 x D 1 2 x 【解答】解：由题意得，21 0 x ， 解得 1 2 x， 故选：D 5 （2 分）如图所示在ABC中，AB边上的高线画法正确的是( ) A B C D 【解答】解：在ABC中，AB边上的高线画法正确的是B， 故选：B 6 （2 分）下列式子的变形正确的是( ) A 2 2 bb aa B 22 ab ab ab C 242 2 xyxy xx D 2 2 mn n m 【解答】解：A、 2 2 bb aa ，原变形错误，故此选项不符合题意； B、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意； C、 242(2 )2 22 xyxyxy xxx
14、，原变形正确，故此选项符合题意； D、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：C 7 （2 分）下列说法正确的是( ) A无理数是开方开不尽的数 B一个实数的绝对值总是正数 C不存在绝对值最小的实数 D实数与数轴上的点一一对应 【解答】解：A无理数不一定是开方开不尽的数，故本选项说法错误； B一个实数的绝对值总是非负数，故本选项说法错误； C存在绝对值最小的实数，故本选项说法错误； D实数与数轴上的点一一对应，故本选项正确； 第 9 页（共 19 页） 故选：D 8 （2 分）剪纸是我国传统的民间艺术如图，将一张纸片进行两次对折后，再沿图 中的虚线裁剪，最后
15、将图中的纸片打开铺平，所得图案应该是( ) A B C D 【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直 角顶点处剪去一个直角梯形， 展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形， 从菱 形的中心剪去一个六边形，可得： 故选：B 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 16 分，每小题分，每小题 2 分）分） 9 （2 分）一个均匀的正方体，6 个面中有 1 个面是黄色的、2 个面是红色的、3 个面是绿色 的任意掷一次该正方体，则绿色面朝上的可能性是 1 2 【解答】解：6个面中有 1 个面是黄色的、2 个面是红色的、3 个面是绿色的， 任意掷一次该正方体
16、，则绿色面朝上的可能性是 31 62 ， 故答案为： 1 2 10 （2 分）如果三角形的三边长分别为 5，8，a，那么a的取值范围为 313a 【解答】解：由三角形的三边关系可得：8558a， 则313a， 故答案为：313a 第 10 页（共 19 页） 11 （2 分）如图，将一副直角三角尺按图放置，使三角尺的长直角边与三角尺的某 直角边在同一条直线上，则图中的1 105 【解答】解：由题意得，260 ，345 ， 则123105 ， 故答案为：105 12 （2 分）将分式 4 23 2 6 xy x y 约分可得 3 y x ，依据为 【解答】解： 4 23 2 63 xyy x y
17、x （根据分式的基本性质，分式的分子和分母都除以 3 2)xy， 故答案为： 3 y x ，分式的基本性质 13 （2 分）若 x表示实数x的整数部分，例如：3.53，则 17 4 【解答】解：161725， 4175 ， 174， 故答案为：4 14 （2 分）如图，D，E分别是AB，AC上的点，ADAE，请添加一个条件，使得 ABEACD 这个条件可以为 ABAC，AEBADC ，BC （只填一个条 件即可） 【解答】解：AEAD，AA ， 根据SAS，可以添加ABAC，使得ABEACD ， 第 11 页（共 19 页） 根据ASA，可以添加AEBADC ，使得ABEACD ， 根据AAS
18、，可以添加BC ，使得ABEACD ， 故答案为：ABAC，AEBADC ，BC 15 （2 分）我国古代的数学名著九章算术中有这样一道题目“今有立木，系索其末， 委地三尺引索却行，去本八尺而索尽问索长几何？” 译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆 在地面的部分尚有 3 尺，牵索沿地面退行，在离木柱根部 8 尺处时，绳索用尽问绳索长是 多少？” 示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，木柱AB的长用含x的代数式表示为 x 尺， 根据题意，可列方程为 【解答】解：设绳索长为x尺，根据题意得： 222 (3)8xx， 故答案为：x； 222 (3)8xx
19、16 （2 分）有效的垃圾分类，可以减少污染、保护地球上的资源为了更好地开展垃圾分 类工作， 某社区居委会对本社区居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查 从中随机抽取部分 居民进行垃圾分类知识测试，并把测试成绩分为A，B，C，D四个等次，绘制成如图所 示的两幅不完整的统计图 下面有四个推断： 第 12 页（共 19 页） 本次的调查方式是抽样调查，样本容量是 40； 扇形统计图中，表示C等次的扇形的圆心角的度数为72； 测试成绩为D等次的居民人数占参测总人数的10%； 测试成绩为A或B等次的居民人数共 30 人 所有合理推断的序号是 【解答】解：1230%40（人)，因此调查的人数为 40 人，即
20、样本容量为 40，故正 确； 8 36072 40 ，因此正确； “B等” 频数4045%18（人)， “D等” 频数为40121882（人)，因此“D等” 所占的百分比为2405%，故不正确； “A等”与“B等”的频数和为121830（人)，因此正确； 综上所述，正确的结论有， 故答案为： 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 68 分，第分，第 17-22 每小题每小题 5 分；第分；第 23-27 题，每小题题，每小题 5 分；分；28 题题 8 分）分） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 17 （5 分）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直
21、线的垂线”的尺规作图过程 已知：如图 1，直线l及直线l上一点P 求作：直线PQ，使得PQl 作法：如图2: 以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B； 分别以点A，B为圆心， 以大于 1 2 AB的同样长为半径作弧， 两弧在直线l上方交于点Q； 作直线PQ 所以直线PQ就是所求作的直线 根据小石设计的尺规作图过程： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 证明：连接QA，QB QA QB ，PA ， PQl( )（填推理的依据） 第 13 页（共 19 页） 【解答】解： （1）补全的图形如图 2 所示： （2）证明：连接QA，QB QAQB，PA
22、PB， PQl （等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合） 故答案为：QB；PB；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合 18 （5 分）计算： 20 327( 4)(1) 【解答】解： 20 327( 4)(1) 341 0 19 （5 分）计算： 3 3 1282 32 2 【解答】解：原式 3 3 122 28 2 2 9 22 28 2 15 2 20 （5 分）解方程： 2 6 1 39 x xx 【解答】解：去分母得： 2 (3)96x xx ， 解得：1x ， 经检验1x 是分式方程的解 21（5 分） 如图，ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点， 且A
23、DBE 求 证：AECD 第 14 页（共 19 页） 【解答】证明：ABC是等边三角形， ABAC，60ABCBAC ， 18060120ABECAD ， 在ABE与CAD中， BEAD ABECAD ABCA ， ()ABECAD SAS ， AECD 22 （5 分）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，请在图中画出 2 个形状不 同的等腰三角形，使它的腰长为5，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三 角形共 5 个 【解答】解：如图，满足条件的三角形有 5 个 故答案为 5 第 15 页（共 19 页） 23 （6 分）已知 2 1aa，求代数式 2 2 131 2
24、442 aaa aaaa 的值 【解答】解：原式 2 2 132 2(2)1 aaa aaa 2 13 2(1)(2) aa aaa 22 13 (1)(2)(1)(2) aa aaaa 2 (1)(2)aa 2 2 2aa ， 当 2 1aa时， 原式 2 2 12 24 （6 分）关于x的分式方程 3 2 1 xm x 的解是负数，求满足条件的整数m的最大值 【解答】解：解分式方程 3 2 1 xm x 得2xm， 关于x的分式方程 3 2 1 xm x 的解是负数， 20m且21m ， 解得2m ， 满足条件的整数m的最大值是3 25 （6 分）创建文明城市，携手共建幸福美好某地为美化环
25、境，计划种植树木 4800 棵， 由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划多20%，结果提前 4 天完成任务求原 计划每天植树的棵数 【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树(120%)x棵， 依题意，得： 48004800 4 (120%)xx ， 解得：200 x ， 经检验200 x 是原方程的解， 答：原计划每天植树 200 棵 26 （6 分）某区为了了解本区内八年级男生的体能情况，从中随机抽取了 40 名八年级男生 进行“引体向上”个数测试，将测试结果绘制成表格如下： 个数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 21 第 16 页（共 19 页） 人数 1 1
26、 6 8 11 4 1 2 2 1 1 2 请根据以上表格信息，解答如下问题： （1）分析数据，补全表格信息： 平均数 众数 中位数 6 5 （2）在平均数、中位数和众数中，选择一个你认为比较合适的统计量作为该区八年级男生 “引体向上”项目测试的“合格标准” ，并说明选择的理由 （3）如果该区现有 8000 名八年级男生，根据（2）中选定的“合格标准” ，估计该区八年级 男生“引体向上”项目测试的合格人数 【解答】解： （1）5个出现了 11 次，出现的次数最多， 众数为 5 个， 把这些数从小到大排列，中位数是第 20、21 个数的平均数， 则中位数为 55 5 2 （个) 故答案为：5，5
27、； （2）用中位数或众数 5 个作为合格标准次数较为合适， 因为 5 个大部分同学都能达到 （3）根据题意得： 24 80004800 40 （人) 答：该区八年级男生“引体向上”项目测试的合格人数有 4800 人 27 （6 分） 如图，ABC中，26ACAB，3 3BC AC的垂直平分线分别交AC，BC 于点D，E （1）求BE的长； （2） 延长DE交AB的延长线于点F， 连接CF 若M是DF上一动点，N是CF上一动点， 请直接写出CMMN的最小值为 3 3 第 17 页（共 19 页） 【解答】解： （1）3AB ，6AC ，3 3BC ， 222 ABBCAC， 90ABC， 1 s
28、in 2 AB ACB AC ， 30ACB， ED垂直平分线段AC， 3ADCD， 2 3 cos30 CD CE ， 3BEBCCE （2）连接AE，延长AE交CF于H， CB，FD是ACF的高， AH也是高， FD垂直平分线段AC， CMAM， CMMNAMMN， AMMN AH， sin603 3AHAC ， 3 3CMMN， CMMN的最小值为3 3， 故答案为：3 3 第 18 页（共 19 页） 28 （8 分）如图 1，射线/ /APBQ，分别作PAB，ABQ的角平分线，这两条射线交于 点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合） （1）当CD
29、AP时， 补全图 1； 若ACa，BDb，则AB的长为 ab （用含a，b的式子表示） （2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量 关系，并证明 【解答】解： （1）如图 1 所示， 过O作OEAB于E， OA平分BAC，OB平分ABD，OCAP，ODBQ，OEAB， OEOD，OEOC， BEBD，AEAC， ABAEBEACBDab， 故答案为：ab； （2）当点D在点B的右侧时，ABACBD，理由如下： 第 19 页（共 19 页） 过O作OEAB于E，MNAP于M，N，如图 2， 由（1）知ABAMBN，OEOMON，AMAE，BEBN， / /APBQ， MCONDO ， 在OCM与ODN中， 90 MCONDO CMODNO OMON ， ()OCMODN AAS ， OCOD，DNMC， ACBDAMMCBDAMMCBNDNAMBNAEEBAB 当点D在点B的左侧时，ABACBD， 综上所述，ABACBD或ABACBD
