安徽省江南十校2021届高三下学期3月一模联考文科数学试题 word版含答案.zip

在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 绝密绝密 启用前启用前 2021 届届“江南十校江南十校”一模联考一模联考 数学（文科）数学（文科） 注意事项：注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1.设集合 A=x|x2-5x-60,集合 B=x|41)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线与椭圆交于 M,N 两 2 2 2 x y a 点，若 MNF2的周长为 8,则 MF1F2面积的最大值为 A. B. C.2 D.3 3 2 33 7.设 a,b 为两条直线，则 a/b 的充要条件是： A.a,b 与同一个平面所成角相等 B.a,b 垂直于同一条直线 C.a,b 平行于同一个平面 D.a,b 垂直于同一个平面 8.若直线 y=kx 与曲线（x-)2+(|y|-1)2=1 有交点，则 k 的取值范围是 3 A.-, B.-1,1 C.- , D.- , 33 2 2 2 2 3 3 3 3 9.将数列3n+1与9n-1的公共项从小到大排列得到数列an,则 A.319 B.320 C.321 D.322 10.已知函数 f(x)=e|lnx|,记 a=f(1),b=f(),c=f(2),则 2 3 A.bac B.bca C.cba D.cab 11.如图，在 ABC 中，BAC=，点 D 在线段 BC 上，ADAC, ，则 sin C= 2 3 1 4 BD CD A. B. 7 14 21 14 C. D. 7 7 21 7 12.当 x1 时，函数 y=(lnx)2+alnx+1 的图象在直线 y=x 的下方，则实数 a 的取值范围是 A.(- ,e) B.(- , ) C.(- , ) D.(- ,e-2) 2 5 2 e 45 2 e 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13.已知函数的最小正周期为,则 = . ( )tan()(0) 3 f xx 2 14.已知非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,且|a|=|b|,则 a 和 a+b 的夹角为 . 15.如图，A,F 分别为双曲线1(a0)的右顶点和右焦点，过 F 作 x 轴的 22 2 16 xy a 垂线交双曲线于 H,且 H 在第一象限，A,F,H 到同一条渐近线的距离分别为 d1,d2,d3,且 d1是 d2和 d3的等差中项，则 C 的离心率为 . 16.如图，在三棱锥 A-BCD 中，BCD 是边长为 1 的等边三角形，AB=AC=AD=,点 M, 2 3 3 N,P 分别在棱 AB,AC,AD 上，平面 MNP/平面 BCD,若,则三棱锥 A-BCD 的外接 1 2 AM MB 球被平面 MNP 所截的截面面积为 . 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。 17.(12 分） 某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续 120 天苹果的日销售量 （单位：kg),并绘制频率分布直方图如下： （1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；（同一组中的数据以 这组数据所在区间中点的值作代表） （2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求店长希望每天的 苹果尽量新鲜，又能 80%地满足顾客的需求（在 10 天中，大约有 8 天可以满足顾客的需求）。 请问每天应该进多少千克苹果？（精确到整数位） 18.(12 分） 已知各项均为正数的等差数列an满足 a1=1, . 22 11 2(). nnnn aaaa （1)求an的通项公式； （2)记 b.= ，求数列bn的前 n 项和 Sn. 1 1 nn aa 19.(12 分） 已知菱形 ABCD 边长为 1,AC=,以 BD 为折痕把 ABD 和 CBD 折起，使点 A 到达点 E 3 的位置，点 C 到达点 F 的位置，E,F 不重合。 （1)求证：BDEF; （2)若 EF=,求点 B 到平面 DEF 的距离。 3 2 20.(12 分） 已知函数 f(x)=ax-ax(a0 且 a1). （1)当 a=e 时，求函数 f(x)的最值； （2)设 g(x)是 f(x)的导函数，讨论函数 g(x)在区间（0,1)零点的个数 21.(12 分） 已知动圆 P 与 x 轴相切且与圆 x2+(y-2)2=4 相外切，圆心 P 在 x 轴的上方，P 点的轨迹为曲 线 C. （1)求 C 的方程； （2)已知 E(4,2),过点（0,4)作直线交曲线 C 于 A,B 两点，分别以 A,B 为切点作曲线 C 的切线相 交于 D,当 ABE 的面积 S1与 ABD 的面积 S2之比取最大值时，求直线 AB 的方程。 1 2 S S （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分。题计分。 22.选修 4-4:坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数）以坐标原点 O 为极 1 2 3 1 2 xt yt 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 . 1 3sin ()4 4 kk k k （1)当 k=1 时，求 C1和 C2的直角坐标方程； （2)当 k=2 时，C1与 C2交于 A,B 两点，设 P 的直角坐标为（0,1),求的值。 11 |PAPB 23.选修 4-5:不等式选讲（10 分） 已知函数 f(x)=|x-2|+|x+1|. （1)解不等式 f(x)x+2; （2)记 f(x)的最小值为 m,正实数 a,b,c 满足 a+b+c=m, 证明： 222222 . 33 abcabc2021 届“江南十校”一模联考 数学（文科）参考答案及评分细则 一、选择题 届“江南十校”一模联考 数学（文科）参考答案及评分细则 一、选择题 123456789101112 CAACABDABCBD 1.C【解析】1A ，6，所以14AB ，故选 C. 2.A【解析】由题意得 2i2 i1i bb z aaa ，所以 2 11 b aa 且，则2b ，故选 A. 3.A【解析】因为 33 sin 522 且，所以 3 tan 4 ，故 2 2tan24 tan2 1tan7 ， 故选 A. 4.C【解析】过 3 O作x轴平行线EO3，则 16 3 EOO.由五 角星的内角为 36，可知 18 3 BAO，所以直线AB的倾斜角为 21618，故选C. 5.A 【解析】 因为xR且 ()cos()cos ()( ) 22 xx xxxx fxf x ， 所以( )f x为奇函数，排除 C，D；又易知 ( )0 2 f， ( )0 4 f，故选 A. 6.B【解析】MNF2的周长为 221122 48MNMFNFMFNFMFNFa， 所以2a ，故3c ，则MF1F2面积的最大值为 1 23 2 c bbc，故选 B. 7.D【解析】由排除法可排除 A，B，C，故选 D. 8.A【解析】0y时，曲线方程为 22 (3)(1)1xy，0y 时，曲线方程为 22 (3)(1)1xy.当直线ykx与曲线相切时，3k ，则k的取值范围是33 ， 故选 A. 9.B【解析】由题意知，数列 n a是首项为 9，公比为 9 的等比数列，所以9n n a ，则 1020 10 9 =3a，故选 B. 10.C 【解析】 ,1, ( ) 1 ,01, x x f x x x ， 23 (1)1( ) 32 afbf，(2)2cf， 所以cba， 故选 C. 11.B 【解析】 在ABD 中， sin sin sinsin() 63 BDADC CD B C ， 解得 3 tan 5 C ， 所以 21 sin 14 C ， 故选 B. 12.D【解析】由题意知， 1 ln ln x ax x ，) 1( x，构造函数 1 ( )ln ln x F xx x ，) 1( x， 2 (ln1)(1ln ) ( ) ln xxx F x xx ，令( )1lng xxx ，则 1 ( )10, ( )(1)0g xg xg x ，故当 1xe时，( )0F x，( )F x单调递减；当xe时，( )0F x，( )F x单调递增，所以 ( )( )=2F xF ee ，所以2ae，故选 D. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.2【解析】周期 2 T ，所以=2. 14. 4 【解析】由数形结合可知a和ab的夹角为 4 . 15. 5 3 【解析】由题意可知，点 A 到渐近线的距离等于 FH 的中点 G 到渐近线的距离，其 中 G 点坐标为) 8 ,( a c，所以直线 AG 与渐近线平行，即 8 4 a aca ，故2ca.又因为 22 16ca，所以35ac， 5 3 e . 16. 3 【解析】设外接球球心为O，球半径为R，BCD 外心为 1 O，直线 1 AO与平面MNP 的 交 点 为 2 O. 在 BCD 中 ， 1 3 3 BO , 所 以 22 11 1AOABBO， 在 BOO1中 ， 222 11 OBOOBO，则 222 3 (1)() 3 RR， 2 3 R ，所以 1 1 3 OO .又因为 2 1 1 3 AOAM AOAB ，得 2 1 3 OO ，所以O到平面MNP的距离等于O到平面BCD的距离，则所求截面的面积等于 BCD 外接圆的面积 3 . 三、解答题 17解： （1）众数为 85， 平均数为：=(65 0.0025+75 0.01+85 0.04+95 0.035+105 0.01+115 0.0025) 10 x =89.75（分） （2）日销售量60 90，的频率为0.5250.8,日销量60100，的频率为0.8750.8，故所求 的量位于90,100.（8 分） 由0.8 0.025 0.1 0.4 = 0.275-，得 0.275 90+98 0.035 ，故每天应该进 98 千克苹果. （12 分） 18. 解： （1）由条件得 22 +1+1 2() nnnn aaaa，即 +1+1+1 ()()2() nnnnnn aaaaaa， 又因为数列 n a的各项均为正数，所以 +1 0 nn aa，则有 +1 2 nn aa， n a所以的公差为 2，则21 n an（6 分） （2）由（1）知 1 112121 = 2121( 2121)( 2121) n nn nn b aannnnnn 1 ( 2121) 2 nn.(10 分) 12nn Sbbb所以 1 ( 31)( 53)( 75)( 2121) 2 nn 1 ( 211) 2 n（12 分） 19. 解： （1）证明：菱形 ABCD 中，ACBD，设 AC，BD 交于点 O，连接 EO，FO 则EOBD，FOBD，又EOFOO，所以BDEOF平面， 所以BDEF.（6 分） （2）由 3 2 EF， 3 2 OEOF，可得120EOF ， 13 3 sin120 = 216 OEF SOE OF 所以， DEF 中，cos=EDF ， 3 7 sin=EDF ， 13 7 sin= 216 ED F SDE DFEDF 所以.（8 分） 记 B 到平面 DEF 的距离为 h， = 1111 = 3333 B DEFB OEFD OEF DEFOEFOEFOEF VVV ShSOBSODSBD + 即 21 7 h 解得：.（12 分） 20解： （1）当ea 时，( )ee x f xx，( )ee x fx， 令( )0fx，得1x ，显然( ) f x在(,) 单调递增， 当1x 时，( )0fx；当1x 时，( )0fx， 所以，( )f x在,1单调递减，在1,+单调递增， 则( )f x的最小值为(1)0f，无最大值.（5 分） （2）( )( )ln x g xf xaaa， （i）若01a，( )0g x 在(0,1)恒成立，此时( )g x在(0,1)没有零点.（7 分） （ii）若1a， 2 ( )(ln )0 x g xaa，所以( )g x在(0,1)单调递增. (0)=lngaa ， 令( )=lnh aaa(1)a ， 因为 1 ( )=10h a a ， 所以( )h a在(1,) 单调递减，故( )(1)10h ah ，所以(0)=ln0gaa； (1)ln(ln1)gaaaaa 当1ea 时，(1) 0g，( )g x在0,1没有零点. 当ea 时，(1)0g，( )g x在0,1有且只有 1 个零点. 综上所述： 若01a或1ea ，( )g x在0,1没有零点； 若ea ，( )g x在0,1 有且只有 1 个零点（12 分） 20. 解： （1）由题意知，P 到点(0,2)的距离等于它到直线2y 的距离， 由抛物线的定义知，圆心 P 的轨迹是以(0,2)为焦点，以2y 为准线的抛物线（除 去坐标原点） ，则 C 的方程为： 2 8 (0)xy x.（5 分） （2）由题意知，(4,2)E在曲线 C 上，直线 AB 的斜率存在，设 AB 方程为4ykx，因 为直线 AB 不经过 E 点，所以 2 1 k. 由 2 4 8 ykx xy ，可得 2 8320 xkx， 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 12 8xxk， 12 32xx ， 以 A 为切点的切线方程为 1 11 () 4 x yyxx，即 2 11 48 xx yx， 同理以 B 为切点的切线为 2 22 48 xx yx， 由 2 11 2 22 48 48 xx yx xx yx ， 解得交点(4 , 4)Dk ，（9 分） 设 E 到 AB 的距离为 1 d，D 到 AB 的距离为 2 d， 则 11 22 Sd Sd 2 22 2 424 21 1 44424 1 k k k kk k ， 设21kt )0( t，则 1 2 2 9 2 S S t t ，当3t 即1k 时， 1 2 S S 取最大值， 直线 AB 的方程为40 xy.（12 分） 22解： （1） 1: 310Cxy， 2:3 34 20Cxy.（4 分） （2）当2k 时， 2 C的直角坐标方程为 22 44xy，将 1 C的参数方程代入其中， 整理得： 2 74 3120tt，0 ，设 A,B 对应的参数分别为 1 t, 2 t, 12 4 3 7 tt， 12 12 7 tt ，（7 分） 所以 1212 1212 1111 12 7 tttt PAPBtttt , 2 1212 ()42 6 12 3 7 tttt .（10 分） 23解： （1）当2x时，21212)(xxxxxf，解得3x ，所以3x ； 当12x 时，2312)(xxxxf，解得1x ，所以11x ； 当1x时，22112)(xxxxxf，解得 1 3 x ，所以1x. 综上，1x 或3x ，故不等式的解集是(,1)(3,).（4 分） （2）因为|2|1|2 (1)| 3xxxx ，当且仅当(2)(1) 0 xx时等号成立， 所以3m.（6 分） 故 333111 333222222 222222 333 ()()() +() +() () +() +() = 33 aabcabcabb a c bc c 313131 22222 222222 (+)() , 33 aabbccabc 当且仅当 333 222 111 222 = abc abc ，即abc时等号成立， 所以 333222 33 abcabc .（10 分）2021 届届“江南十校江南十校”一模联考一模联考 数学（数学（文文科）科）参考答案参考答案及评分及评分细则细则 一、选择题一、选择题 123456789101112 CAACABDABCBD 1.C【解析】1A ，6，所以14AB ，故选 C. 2.A【解析】由题意得 2i2 i1i bb z aaa ，所以 2 11 b aa 且，则2b ，故选 A. 3.A【解析】因为 33 sin 522 且，所以 3 tan 4 ，故 2 2tan24 tan2 1tan7 ， 故选 A. 4.C【解析】过 3 O作x轴平行线EO3，则 16 3 EOO.由五 角星的内角为 36，可知 18 3 BAO，所以直线AB的倾斜角为 21618，故选C. 5.A 【解析】 因为xR且 ()cos()cos ()( ) 22 xx xxxx fxf x ， 所以( )f x为奇函数，排除 C，D；又易知 ( )0 2 f， ( )0 4 f，故选 A. 6.B【解析】MNF2的周长为 221122 48MNMFNFMFNFMFNFa， 所以2a ，故3c ，则MF1F2面积的最大值为 1 23 2 c bbc，故选 B. 7.D【解析】由排除法可排除 A，B，C，故选 D. 8.A【解析】0y时，曲线方程为 22 (3)(1)1xy，0y 时，曲线方程为 22 (3)(1)1xy.当直线ykx与曲线相切时，3k ，则k的取值范围是33 ， 故选 A. 9.B【解析】由题意知，数列 n a是首项为 9，公比为 9 的等比数列，所以9n n a ，则 1020 10 9 =3a，故选 B. 10.C 【解析】 ,1, ( ) 1 ,01, x x f x x x ， 23 (1)1( ) 32 afbf，(2)2cf， 所以cba， 故选 C. 11.B 【解析】 在ABD 中， sin sin sinsin() 63 BDADC CD B C ， 解得 3 tan 5 C ， 所以 21 sin 14 C ， 故选 B. 12.D【解析】由题意知， 1 ln ln x ax x ，) 1( x，构造函数 1 ( )ln ln x F xx x ，) 1( x， 2 (ln1)(1ln ) ( ) ln xxx F x xx ，令( )1lng xxx ，则 1 ( )10, ( )(1)0g xg xg x ，故当 1xe时，( )0F x，( )F x单调递减；当xe时，( )0F x，( )F x单调递增，所以 ( )( )=2F xF ee ，所以2ae，故选 D. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.2【解析】周期 2 T ，所以=2. 14. 4 【解析】由数形结合可知a和ab的夹角为 4 . 15. 5 3 【解析】由题意可知，点 A 到渐近线的距离等于 FH 的中点 G 到渐近线的距离，其 中 G 点坐标为) 8 ,( a c，所以直线 AG 与渐近线平行，即 8 4 a aca ，故2ca.又因为 22 16ca，所以35ac， 5 3 e . 16. 3 【解析】设外接球球心为O，球半径为R，BCD 外心为 1 O，直线 1 AO与平面MNP 的 交 点 为 2 O. 在 BCD 中 ， 1 3 3 BO , 所 以 22 11 1AOABBO， 在 BOO1中 ， 222 11 OBOOBO，则 222 3 (1)() 3 RR， 2 3 R ，所以 1 1 3 OO .又因为 2 1 1 3 AOAM AOAB ，得 2 1 3 OO ，所以O到平面MNP的距离等于O到平面BCD的距离，则所求截面的面积等于 BCD 外接圆的面积 3 . 三、解答题 17解： （1）众数为 85， 平均数为：=(65 0.0025+75 0.01+85 0.04+95 0.035+105 0.01+115 0.0025) 10 x =89.75（分） （2）日销售量60 90，的频率为0.5250.8,日销量60100，的频率为0.8750.8，故所求 的量位于90,100.（8 分） 由0.8 0.025 0.1 0.4 = 0.275-，得 0.275 90+98 0.035 ，故每天应该进 98 千克苹果. （12 分） 18. 解： （1）由条件得 22 +1+1 2() nnnn aaaa，即 +1+1+1 ()()2() nnnnnn aaaaaa， 又因为数列 n a的各项均为正数，所以 +1 0 nn aa，则有 +1 2 nn aa， n a所以的公差为 2，则21 n an（6 分） （2）由（1）知 1 112121 = 2121( 2121)( 2121) n nn nn b aannnnnn 1 ( 2121) 2 nn.(10 分) 12nn Sbbb所以 1 ( 31)( 53)( 75)( 2121) 2 nn 1 ( 211) 2 n（12 分） 19. 解： （1）证明：菱形 ABCD 中，ACBD，设 AC，BD 交于点 O，连接 EO，FO 则EOBD，FOBD，又EOFOO，所以BDEOF平面， 所以BDEF.（6 分） （2）由 3 2 EF， 3 2 OEOF，可得120EOF ， 13 3 sin120 = 216 OEF SOE OF 所以， DEF 中，cos=EDF ， 3 7 sin=EDF ， 13 7 sin= 216 ED F SDE DFEDF 所以.（8 分） 记 B 到平面 DEF 的距离为 h， = 1111 = 3333 B DEFB OEFD OEF DEFOEFOEFOEF VVV ShSOBSODSBD + 即 21 7 h 解得：.（12 分） 20解： （1）当ea 时，( )ee x f xx，( )ee x fx， 令( )0fx，得1x ，显然( ) f x在(,) 单调递增， 当1x 时，( )0fx；当1x 时，( )0fx， 所以，( )f x在,1单调递减，在1,+单调递增， 则( )f x的最小值为(1)0f，无最大值.（5 分） （2）( )( )ln x g xf xaaa， （i）若01a，( )0g x 在(0,1)恒成立，此时( )g x在(0,1)没有零点.（7 分） （ii）若1a， 2 ( )(ln )0 x g xaa，所以( )g x在(0,1)单调递增. (0)=lngaa ， 令( )=lnh aaa(1)a ， 因为 1 ( )=10h a a ， 所以( )h a在(1,) 单调递减，故( )(1)10h ah ，所以(0)=ln0gaa； (1)ln(ln1)gaaaaa 当1ea 时，(1) 0g，( )g x在0,1没有零点. 当ea 时，(1)0g，( )g x在0,1有且只有 1 个零点. 综上所述： 若01a或1ea ，( )g x在0,1没有零点； 若ea ，( )g x在0,1 有且只有 1 个零点（12 分） 20. 解： （1）由题意知，P 到点(0,2)的距离等于它到直线2y 的距离， 由抛物线的定义知，圆心 P 的轨迹是以(0,2)为焦点，以2y 为准线的抛物线（除 去坐标原点） ，则 C 的方程为： 2 8 (0)xy x.（5 分） （2）由题意知，(4,2)E在曲线 C 上，直线 AB 的斜率存在，设 AB 方程为4ykx，因 为直线 AB 不经过 E 点，所以 2 1 k. 由 2 4 8 ykx xy ，可得 2 8320 xkx， 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 12 8xxk， 12 32xx ， 以 A 为切点的切线方程为 1 11 () 4 x yyxx，即 2 11 48 xx yx， 同理以 B 为切点的切线为 2 22 48 xx yx， 由 2 11 2 22 48 48 xx yx xx yx ， 解得交点(4 , 4)Dk ，（9 分） 设 E 到 AB 的距离为 1 d，D 到 AB 的距离为 2 d， 则 11 22 Sd Sd 2 22 2 424 21 1 44424 1 k k k kk k ， 设21kt )0( t，则 1 2 2 9 2 S S t t ，当3t 即1k 时， 1 2 S S 取最大值， 直线 AB 的方程为40 xy.（12 分） 22解： （1） 1: 310Cxy， 2:3 34 20Cxy.（4 分） （2）当2k 时， 2 C的直角坐标方程为 22 44xy，将 1 C的参数方程代入其中， 整理得： 2 74 3120tt，0 ，设 A,B 对应的参数分别为 1 t, 2 t, 12 4 3 7 tt， 12 12 7 tt ，（7 分） 所以 1212 1212 1111 12 7 tttt PAPBtttt , 2 1212 ()42 6 12 3 7 tttt .（10 分） 23解： （1）当2x时，21212)(xxxxxf，解得3x ，所以3x ； 当12x 时，2312)(xxxxf，解得1x ，所以11x ； 当1x时，22112)(xxxxxf，解得 1 3 x ，所以1x. 综上，1x 或3x ，故不等式的解集是(,1)(3,).（4 分） （2）因为|2|1|2 (1)| 3xxxx ，当且仅当(2)(1) 0 xx时等号成立， 所以3m.（6 分） 故 333111 333222222 222222 333 ()()() +() +() () +() +() = 33 aabcabcabb a c bc c 313131 22222 222222 (+)() , 33 aabbccabc 当且仅当 333 222 111 222 = abc abc ，即abc时等号成立， 所以 333222 33 abcabc .（10 分）