全国百强名校“领军考试”2021届高三下学期3月联考理科数学试题 含答案.zip

高三理数答案第 1 页 共 9 页 20202021 学年下学期全国百强名校 “领军考试”高三数学（理数）答案与解析 1 【答案】A 【命题意图】本题考查复数的运算及复数的模；考查数学抽象及数学运算核心素养. 【解析】由1i 1i x y 得 ()()() 1 i1i11ixyyy=+= -+,所以 1 01 xy y = - = + ,解得2,1xy= -, 所以ixy= 22 2i215,故选 A. 2 【答案】B 【命题意图】本题考查终边相同的角及特殊角的三角函数值；考查数学运算核心素养. 【解析】角的终边与角 5 3 的终边重合,则 5 2 , 3 kk Z,所以 5 22 3 k , 51 cos2 =cos 32 ,故选 B. 3 【答案】C 【命题意图】本题考查集合的运算及集合的包含关系；考查数学运算及逻辑推理核心素养. 【解析】因为 ()() 10Axxaxa=-=1x axa+,所以 1Ax xaxa=+ R 或1axaxx或, 因为 2 log102Bxxxx=, 所以 13 fxfx 13 13 2ln4 22 xx , 整理得 1 3 7 ln 22 x x ,由 1 73,x 得 1 7 02 22 x ,又 3 1x , 3 ln0 x ,所以 3 0ln2x, 所以 3 12 ln = + x xx 3 ln1 ,0 63 x ,故选 B. 13 【答案】10 【命题意图】本题考查二项式定理；考查数学抽象及逻辑推理核心素养. 【解析】 5 1xyz的展开式中xy的系数为 11 54 C C20, 2 x y的系数为 21 53 C C30, 所以 5 211xxyz 的展开式中 2 x y的系数为2 203010. 14 【答案】15， 【命题意图】本题考查线性规划；考查直观想象与数学运算的核心素养. 【解析】如图所示,约束条件 20 220 660 xy xy xy 表示的可行域是以 86 ,2, 6 ,0, 2 77 ABC 为顶点的三 角形区域,设 2 y zx,则22yxz,当直线22yxz经过点 C 时 z 取得最小值, min 1 021 2 z ,当直线22yxz经过点 B 时 z 取得最大值, max 1 265 2 z , 所以 2 y x的取值范围是15，. 高三理数答案第 4 页 共 9 页 15 【答案】 3 4 【命题意图】本题考查三角变换及解三角形；考查数学运算及逻辑推理核心素养. 【解析】由 3bc 及正弦定理得 2 cossin cos33sin3 3 BbbB CcC ,所以tan3tanBC , 由bc得tan0C , 所 以 tantan tantan tantan1 BC ABC BC 2 2tan 3tan+1 C C 2 = 1 3tan tan C C 223 = 1 32 3 3tan tan C C ,所以 0 6 A, ABC 的面积 1113 sin3= 2224 SbcA .当 6 3 1 3tan tan A bc C C ,即1,3acb时取等号. 16 【答案】5 【命题意图】本题考查球的性质及三棱锥的体积；考查直观想象及逻辑推理核心素养. 【解析】取 AB 中点 D,则ODAB,因为平面 ABC平面 ABO,所以OD 平面 ABC,ODDC, 因为OAOBOC,所以DADBDC,所以CACB,因为,CACB所以CDAB, 因为球 O 的半径为 4,且球 O 上的点到平面 ABC 的最大距离为 5,所以1OD , 22 15CDOCOD , 所以三棱锥OABC的体积 11 32 VAB CD OD= 11 2 1515 1=5 32 . 17.【命题意图】本题考查等差数列的通项及裂项求和；考查数学运算与逻辑推理的核心素养. 【解析】(1)因为 12 1 2314 n n nSSS n , 所以 112 1 2 234 n n nSSS n n , 高三理数答案第 5 页 共 9 页 两式相减得2 12 n Sn n n ,即 1 2 2 n n n Sn ,（3 分） 由 12 1 2314 n n nSSS n 得 1 1S ,也满足上式, 所以 1 . 2 n n n S (6 分) (2)因为 1 2 n n n S ,所以2n 时 1nnn aSSn , 又 11 1aS也满足上式,（8 分） 所以 2 2 1 21 211 ,=222 111 nn nn n nn aa an b Sn nn nnn ,（10 分） 所以 2 11111124 22 122 1 2231+1+1 n nn Tnn nnnn .(12 分) 18.【命题意图】本题考查线面位置关系及二面角的计算；考查直观想象与逻辑推理的核心素养. 【解析】(1)过点 1 B在平面 11 B BCC内作 MB1 1 CC,与 BC 交于点 M,则平面 11 AB M就是平面， 点 M 就是平面与直线 BC 的交点,由题意可得四边形 CMCB 11 是平行四边形， 且 2, 4 11 CBMCBC ， 所以点 M 为棱 BC 中点.(2 分) 证明如下： 由 11 AB 11 C D, 11 AB 平面 11 C CDD, 11 C D 平面 11 C CDD,可得 11 AB平面 11 C CDD, 由 1 B M 1 C C 1 B M 平面 11 C CDD, 1 C C 平面 11 C CDD,可得 1 B M平面 11 C CDD, 因为 1111 ABB MB,所以平面 11 AB M平面 11 C CDD.(4 分) (2) 因为侧面 11 AB BA底面 ABCD,以 AB 中点 O 为坐标原点,直线 AB 为 x 轴,过点 O 在平面 ABCD 内作 AB 的垂线为 y 轴,过点 O 在平面 11 AB BA内作 AB 的垂线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 高三理数答案第 6 页 共 9 页 则0,0,0 ,2,0,0 ,2,0,0OAB,2,4,0 ,2,4,0CD ,由 11 4,2ABAB, 11 17AABB,可得等腰梯形 11 AB BA的高为 4, 所以 1 1,0,4A , 1 1,2,4C, 1 1,2,4D , 所以4,0,0CD , 1 1, 2,4CC ,2,4,0OC , 1 1,0,4OA ,(6 分) 设平面 1 AOC的法向量 111 ,x y zm,则 1 0 0 OC OA m m ,即 11 11 2 +40 40 xy xz , 取 1 1z ,得4, 2,1m；(8 分) 设平面 1 DC C的法向量 222 ,x y zn,则 1 0 0 CD CC n n ,即 2 222 40 240 x xyz , 取 2 1z ,得0,2,1n,(10 分) 设平面 1 AOC与平面 1 DCC所成锐二面角为, 则 2 22222 4 0+22 1 1 105 cos 35 421021 m n m n , 所以平面 1 AOC与平面 1 DCC所成锐二面角的余弦值为 105 35 .(12 分) 19.【命题意图】本题考查频率分布直方图、独立性检验及随机变量的分布列；考查数据分析及数学建模核心素 养. 【解析】(1)设这 100 名学生测试分数的中位数为 a,由前 5 组频率之和为 0.4,前 6 组频率之和为 0.8,可得 8090a, 所以0.4+800.040.5a,82.5a .（分） (2)列联表如下： 男生女生 优秀4515 不优秀2515 2 2 100 45 1525 15 1.786 70 30 60 40 K 3.841. 所以没有 95%的把握认为测试优秀与性别有关. (3)由题意可知,12 人中分数在80,90内的共有 8 人,分数不低于 90 分的学生有 4 人, 高三理数答案第 7 页 共 9 页 X 的取值依次为 0,1,2,3. 3 8 3 12 C14 0 C55 P X , 21 84 3 12 C C28 1 C55 P X , 12 84 3 12 C C12 2 C55 P X , 3 4 3 12 C1 3 C55 P X , 所以 X 的分布列为 X0123 P14 55 28 55 12 55 1 55 1428121 01231 55555555 EX .（12 分） 20.【命题意图】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系；考查数学运算及逻辑推理的核心素养. 【解析】(1)设 1122 ,A x yB xy,则 1212 2,2xxyy , 且 22 11 22 1 xy ab , 22 22 22 1 xy ab ,两式相减得 2222 1212 22 xxyy ab , 即 2 1212 2 1212 yyyyb xxxxa ,即 2 2 2 3 24 b a ,所以 2 2 3 4 b a ,（3 分） 又直线 l 的方程为 3 11 4 yx ,令0 x ,得 7 4 y , 所以 77 2 164 a,2,3ab, 所以椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy .（5 分） (2)由题意得1,0F,直线,PQ MN的方程分别为 12 1 ,1ykxykx, 设 3344 ,P xyQ xy,联立 1 22 1 1 43 ykx xy ,得 2222 111 3484120kxk xk, 所以 2 1 34 2 1 8 34 k xx k ,（7 分） 则 2 11 22 11 43 , 3434 kk G kk ,同理 2 22 22 22 43 , 3434 kk H kk ,（8 分） 所以 12 22 1 2 12 22 1212 22 12 33 3 3434 4 44 3434 GH kk k k kk k kkkk kk ,（9 分） 高三理数答案第 8 页 共 9 页 由 12 1kk 得 11 3 1 4 GH kk k,（10 分） 所以直线 GH 的方程为 2 2 11 11 22 11 343 34434 kk ykkx kk 整理得 2 11 33 1 44 ykkx ,（11 分） 所以直线 GH 过定点 3 1, 4 .（12 分） 21.【命题意图】本题考查导数在函数中的应用；考查数学运算及逻辑推理核心素养. 【解析】(1)因为 1 eln1 x f xx ,所以 1 1 exfx x ,（1 分） 因为 fx 在0 +，上是增函数,且 10 f , 所以0,1x时 0fx ,1,x时 0fx ,（3 分） 所以 f x在0,1上是减函数,在1+，上是增函数.（4 分） (2)设 1 1eln x g xf xaxaxaxa , 则 1 1 exgxa x ,因为 gx是增函数,且 gx的值域为, ,又 10ga ,所以存在唯一 的1,t,使得 =0g t ,（6 分） 0,xt时 0g t , g x是减函数,且 g x在0,t上的值域为 ,g t, +xt，时 0gx , g x是增函数, g x在+t，上的值域为 ,g t, 方程 1f xaxa有唯一实根 0 x,则 0 xt,且 0 0 g t g t ,（8 分） 即 1 1 1 e0 eln0 t t a t tata ,消去 a 得 1 1 2eln0 t t tt t ,（9 分） 设 1 1 2eln1 t t h tttt t ,则 1 2 1 1e0 t h tt t , h t在1+，上是减函数,（10 分） 因为 1 110,2ln20 2 hh , 所以12t ,即 0 12x.（12 分） 22.【命题意图】本题考查直线的参数方程、曲线的极坐标方程；考查数学运算、数学抽象的核心素养. 高三理数答案第 9 页 共 9 页 【解析】(1)曲线 1 C的参数方程为 2 4 4 xt yt ,消去参数 t 得 2 40yxx, 所以曲线 1 C的直角坐标方程为 22 40,0 xyxy. (2 分) 由cossina及cos,sinxy, 得曲线 2 C的直角坐标方程为0 xya.(5 分) (2)因为射线 =0 3 与曲线 1 C及曲线 2 C交于同一点 A 且曲线 1 C, 2 C都关于射线 =0 4 对称,(7 分) 所以曲线 1 C与曲线 2 C另一个交点 B 就是射线 =0 6 与曲线 1 C的交点, 因为2OB ,所以点 B 的极坐标为 2 6 ，.(10 分) 23.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题；体现了数学运算、逻辑推理的核心素养. 【解析】(1)当2a 时 2f xx 2 22xxx 2 2 40 x x 或 2 22 20 x xx 或 2 2 40 x x , 由 2 2 40 x x 得2x ,由 2 22 20 x xx 得20 x 或2x ,由 2 2 40 x x 得2x , 所以不等式 2f xx的解集为 ,02,.(5 分) (2)当01x时 2f x 即 2 2xax, 即 22 22xxax,即 22 2+2xxaxx , 由01x可得 22 211 20 xx , 2 22xx , 所以02a,即实数 a 的取值范围是0,2.(10 分)