1、10.3 复数的三角形式及其运算 课标阐释 思维脉络 1.知道复数的模和辐角的 定义. 2.会求复数的模和辐角主 值. 3.能求出复数的三角形式. 4.会进行复数三角形式的 乘除运算. 激趣诱思 知识点拨 1.如图,角的终边上一点P(x,y),设P到原点O的距离|OP|=r,那么 怎样用角和r表示x,y? 图 激趣诱思 知识点拨 2.我们知道,复数可以用 a+bi(a,bR)的形式来表示,复数 a+bi 与复 平面内的点 Z(a,b)一一对应,与平面向量 =(a,b)也是一一对应的, 如图,你能用向量 的模 r 和以 x 轴的非负半轴为始边,以向量 所在射线(射线 OZ)为终边的角 来表示复数
2、 z 吗? 图 激趣诱思 知识点拨 知识点一:复数的三角形式 由下图可以看出,对于复数z=a+bi,有 a = r, b = r. 所以z=a+bi=(rcos )+(rsin )i=r(cos +isin ). 激趣诱思 知识点拨 一般地,任何一个非零复数z=a+bi(a,bR)都可以表示成r(cos + isin )的形式.其中,r是复数z的模,是复数z的辐角.r(cos +isin )叫 做非零复数z=a+bi的三角形式,为了与三角形式区分开来,a+bi叫 做复数的代数形式. 任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个,而且任意两个辐角之间 都相差2的整数倍.特别地,在0,2)内的辐角称为z的
3、辐角主值,记 作arg z,即0arg z2. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 出下列复数的辐角主值:- 3i;4;7i;-;-3-3i;-1+ 3i;5-5i. 答案:3 2 ;0; 2; 5 4 ; 2 3 ; 7 4 . 激趣诱思 知识点拨 微练习2 多选题)复数- 3-i的辐角可能是( ) A. 6 B.7 6 C.-5 6 D.19 6 答案:BCD 解析:因为复数- 3-i 的辐角为7 6 +2k,且当 k=0 时,为7 6 ;当 k=-1 时, 为-5 6 ,当 k=1 时,为19 6 ,不存在 6的情况. 激趣诱思 知识点拨 微练习3 已知复数: -1 2 cos 2 3 + i
4、sin 2 3 ;cos - 3 5 +isin - 3 5 ; 2(cos 90+isin 30);4 sin 7 2 + icos 7 2 ; 2(cos 78-isin 78). 其中,是三角形式的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 激趣诱思 知识点拨 答案:A 解析:中,不满足模r0;中,满足复数三角形式的特征;中,不 满足同一个角;中,不满足i与sin 相乘;中,不满足cos 与isin 之间用加号连接.综上可知,只有是复数的三角形式.故选A. 激趣诱思 知识点拨 知识点二:复数的三角形式与代数形式的互化 1.复数的三角形式z=r(cos +isin )化为复数的代数形式
5、z=a+bi(a,bR),只要计算出三角函数值(应用a=rcos ,b=rsin )即 可. 2.复数的代数形式z=a+bi(a,bR)化为复数的三角形式一般步骤: (1)求复数的模:r= 2+ 2; (2)由cos = (或tan = )及点(a,b)所在象限求出复数的一个辐角(一 般情况下,只需求出复数的辐角主值即可); (3)写出复数的三角形式. 激趣诱思 知识点拨 3.每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角主值,并且由它的模与 辐角主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与 辐角主值分别相等,即z1=z2 1 = 2, arg 1= arg 2. 激趣诱思 知识点拨 名师点析
6、 复数三角形式的判断依据和变形步骤 1.依据:三角形式的结构特征“模非负,角相同,余弦前,加号连”. 2.步骤:首先确定复数z的对应点所在象限,其次判断是否要变换三 角函数名称,最后确定辐角.可简记为“定点定名定角”. 激趣诱思 知识点拨 微思考1 把一个复数表示成三角形式时,辐角一定要取主值吗? 提示:不一定,例如 2cos - 4 +isin - 4 也是 1-i 的三角形式. 微思考2 每一个复数都有唯一的模与辐角主值吗? 提示: 不一定,复数0的辐角主值有无数个,每一个不等于零的复数 才有唯一的模与辐角主值. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 两个复数z1,z2的模与辐角分别相等,是z1=
7、z2成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:A 解析:当两个复数z1,z2的模与辐角分别相等时,一定可以推出z1=z2, 充分性成立;但当z1=z2时,不一定非要z1,z2的辐角相等,它们可以相 差2的整数倍,故必要性不成立.综上,两个复数z1,z2的模与辐角分 别相等,是z1=z2成立的充分不必要条件.故选A. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 把下列复数表示成代数形式: (1)10 cos 3 2 + isin 3 2 ;(2)4 cos 5 6 + isin 5 6 解:(1)10 cos 3 2 + isin 3 2 =10cos
8、 3 2 + 10sin 3 2 i =100+10(-1)i=-10i. (2)4 cos 5 6 + isin 5 6 =4cos 5 6 + 4sin 5 6 i=4 - 3 2 +4 1 2i =-2 3+2i. 激趣诱思 知识点拨 知识点三:复数三角形式的乘法及运算律 1.复数三角形式的乘法 若z1=r1(cos 1+isin 1),z2=r2(cos 2+isin 2),则 z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2).这就是说,两个复数相乘,积的模等 于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.简单地说,两 个复数三角形式相乘的法则为:模数相乘,辐角相加. 激趣诱思
9、 知识点拨 2.复数乘法运算的几何意义 两个复数 z1,z2相乘时,先分别画出与 z1,z2对应的向量1 ,2 ,然后 把向量1 绕点 O 按逆时针方向旋转角 2(如果 21,应 伸长;0r21,应缩短;r2=1,模长不变),得到向量 , 表示的复数就 是积 z1z2.这是复数乘法的几何意义. 激趣诱思 知识点拨 3.复数的三角形式乘法法则有如下推论 (1)有限个复数相乘,结论亦成立,即z1z2zn=r1(cos 1+isin 1) r2 (cos 2+isin 2)rn(cos n+isin n) =r1r2rncos(1+2+n)+isin(1+2+n). (2)当z1=z2=zn=z,即
10、r1=r2=rn=r,1=2=n=时,zn= r(cos +isin )n=rncos(n)+isin(n).这就是复数三角形式的乘方 法则,即:模数乘方,辐角n倍. (3)在复数三角形式的乘方法则中,当r=1时,则有(cos +isin )n= cos n+isin n.这个公式叫做棣莫弗公式. 激趣诱思 知识点拨 微思考1 使用复数的三角形式进行运算的条件是什么,辐角要求一定是主值 吗? 提示:使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式 的标准式,辐角不要求一定是主值. 微思考2 两个复数的积仍然是一个复数吗?任意多个复数的积呢? 提示: 两个复数的积仍然是一个复数,可推广到任意
11、多个复数,任意 多个复数的积仍然是一个复数. 激趣诱思 知识点拨 微练习 计算下列各式,并把结果化为代数形式. (1) 2 cos 12 + isin 12 3 cos 5 6 +isin5 6 ; (2)1 2 cos 6 + isin 6 8 cos 3 4 +isin3 4 . 解:(1) 2cos 12+isin 12 3 cos 5 6 +isin 5 6 = 2 3 cos 12 + 5 6 + isin 12 + 5 6 = 6 cos 11 12 + isin 11 12 = 6 -cos 12 + isin 12 = 6 - 2+ 6 4 + 6- 2 4 i =-3+ 3
12、2 + 3- 3 2 i. 激趣诱思 知识点拨 (2)1 2 cos 6 + isin 6 8 cos 3 4 + isin 3 4 =1 28 cos 6 + 3 4 + isin 6 + 3 4 =4 cos 11 12 + isin 11 12 =4 - 2+ 6 4 + 6- 2 4 i =- 2 6+( 6 2)i. 激趣诱思 知识点拨 知识点四:复数三角形式的除法及运算律 1.复数三角形式的除法运算 若z1=r1(cos 1+isin 1), z2=r2(cos 2+isin 2), 则 z1z2=1 2cos(1-2)+isin(1-2). 这就是说,两个复数相除,商的模等于被除
13、数的模除以除数的模所 得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简 单地说,两个复数三角形式相除的法则为:模数相除,辐角相减. 激趣诱思 知识点拨 2.复数除法运算的几何意义 两个复数 z1,z2相除时,先分别画出与 z1,z2对应的向量1 ,2 ,然后 把向量1 绕点 O 按顺时针方向旋转角 2(如果 21,应缩 短;0r21,应伸长;r2=1,模长不变),得到向量 , 表示的复数就是 商 z1z2.这是复数除法的几何意义. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 计算下列各式: (1)6 cos 4 3 + isin 4 3 2 cos5 6 +isin5 6 ; (2)3(cos 2
14、70+isin 270)1 3cos(-90)+isin(-90). 解:(1)原式=3cos(4 3 5 6 )+isin(4 3 5 6 ) =3 cos 2 + isin 2 =3(0+i)=3i. (2)原式=9(cos 360+isin 360)=9(1+0)=9. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 设 z=- 2 2 6 2 i 对应的向量为 ,将 绕点 O 按顺时针方向旋转 120,然后将所得向量的模伸长为原来的2倍,求所得向量对应的复 数.(用代数形式表示) 解:z=- 2 2 6 2 i= 2 - 1 2 - 3 2 i = 2(-cos 60-isin 60)= 2(cos 2
15、40+isin 240). 将 绕点 O 按顺时针方向旋转 120,然后将所得向量的模伸长为 原来的 2倍,则所得向量对应的复数为 2(cos 240+isin 240) 1 2(cos 120+isin 120)=2 2(cos 120+isin 120) =2 2(-1 2 + 3 2 i)=- 2 + 6i. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 复数的模与辐角复数的模与辐角 例 1(1)若复数 z 满足 - 1 =1,当复数 z 的辐角为 30时,复数 z 的模 是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知复数 z=1+ 3i,则复数 2-+4 2- 的辐角主值是
16、( ) A. 3 B. 2 C.2 3 D.3 2 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案:(1)A (2)C 解析:(1)设 z=r(cos 30+isin 30),代入 - 1 =1,得 (cos30 + isin30)- 1 (cos30+isin30) =1, 解得 r=1,所以复数 z 的模是 1. 故选 A. (2)因为 2-+4 2- = (1+ 3i)2-(1+ 3i)+4 2-(1+ 3i) =1+ 3i 1- 3i =-1 2 + 3 2 i=cos 2 3 +isin 2 3 , 所以复数 2-+4 2- 的辐角主值为2 3. 故选 C. 探究一 探究二
17、 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1(1)设复数 z 满足 -1 = 1 2,arg -1 = 3,则 z=( ) A.1- 3 3 i B.1+ 3 3 i C.1- 2 2 i D.1+ 2 2 i (2)已知复数z=1-2i,= 2 +i + 1,则的辐角主值为 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案:(1)B (2)5 4 解析:(1)由已知得-1 = 1 2 cos 3 + isin 3 , 即 1-1 = 1 4 + 3 4 i,即1 = 3 4 3 4 i, 所以 z= 4 3( 3-i) = 3 3 ( 3+i)=1+ 3 3 i. 故选 B
18、. (2)z=1-2i, = 2 +i + 1 = 2 1-2i+i-(2+2i) = 2(1+i) (1-i)(1+i)-(2+2i)=-1-i = 2 - 2 2 - 2 2 i = 2 cos 5 4 + isin 5 4 , 的辐角主值为5 4 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 复数的三角形式与代数形式的互化复数的三角形式与代数形式的互化 例2将下列复数化为三角形式: (1)-1- 3i;(2)ai(aR). 解:(1)-1- 3i=2 - 1 2 - 3 2 i =2 cos 4 3 + isin 4 3 . (2)当 a0 时,ai=a cos 2 + isi
19、n 2 ; 当 a0 时,ai=-a cos 3 2 + isin 3 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2将下列复数化为三角形式: (1)-cos 5+isin 5;(2)sin +icos . 解:(1)-cos 5+isin 5 =cos - 5 +isin - 5 =cos 4 5 +isin4 5 . (2)sin +icos =cos 2 - +isin 2 - . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 复数乘、除运算及其几何意义复数乘、除运算及其几何意义 例 3(1)在复平面内,把复数 3- 3i 对应的向量按顺时针方向旋转 3,
20、所 得向量对应的复数是( ) A.2 3 B.-2 3i C. 3-3i D.3+ 3i (2)复数 z= 2 cos5 6 +isin5 6 5 3-i 的辐角主值为 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案:(1)B (2) 3 解析:(1)由题意知复数 3- 3i对应的向量按顺时针方向旋转 3, 旋转后的复数为(3- 3i)cos(- 3)+isin(- 3)=(3- 3i) 1 2 - 3i 2 =-2 3i. 故选 B. (2)复数 z= 2 cos5 6 +isin5 6 5 3-i = 2 cos25 6 +isin25 6 2 cos11 6 +isin11
21、 6 =cos 25 6 - 11 6 +isin 25 6 - 11 6 =cos7 3 +isin7 3 =cos 3+isin 3, 可得复数 z的辐角主值为 3. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3(1)如果 2 , ,那么复数(1+i) (cos +isin )的辐角主 值是( ) A.+9 4 B.+ 4 C.- 4 D.+7 4 (2)4(cos +isin )2 cos 3 + isin 3 =( ) A.1+ 3i B.1- 3i C.-1+ 3i D.-1- 3i 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案:(1)B (2)C 解
22、析:(1)(1+i)(cos +isin ) = 2 cos 4 + isin 4 (cos +isin ) = 2 cos 4 + + isin 4 + . 由 2 , ,得 4+ 3 4 , 5 4 , 所以复数(1+i)(cos +isin )的辐角主值是 4+. 故选 B. (2)4(cos +isin )2 cos 3 + isin 3 =2 cos - 3 + isin - 3 =2 cos 2 3 + isin 2 3 =-1+ 3i. 故选 C. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 复数乘、除运算的综合应用复数乘、除运算的综合应用 例 4 设 =z+ai(aR)
23、,z=(1-4i)(1+i)+2+4i 3+4i ,且| 2,则 的辐角 主 值的取值范围是 . 答案: 0, 4 7 4 ,2 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析:z=(1-4i)(1+i)+2+4i 3+4i =5-3i+2+4i 3+4i = 7+i 3+4i=1-i. =z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i,且| 2, 1 + (-1)2 2,解得 0a2, -1a-11,-1tan 1. 又 的实部是 1, 的辐角 的终边在第一、 四象限或在 x 轴的正 半轴上,且 的主值在0,2)中, 0arg 4,或 7 4 arg 2. 的辐角 的主值取值范围是 0,
24、 4 7 4 ,2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 4已知复数z满足z +2i=3+ai(aR),且 2arg z,则实 数 a 的取值范围是( ) A.(-2 2,0) B.(-2 3,0) C.(0,2 2) D.(0,2 3) 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案:B 解析:由 z +2i=3+ai, 解得 = +(|2-3)i 2 ,z= 2 + 3-|2 2 i. 2arg z, 0, |2 3. 又|z|2= 2 4 + (3-|2)2 4 , a2=-|z|4+10|z|2-9=-(|z|2-5)2+16. |z|23,a21
25、2, 解得-2 3a2 3. 结合 a0). 2.如果不符合即利用诱导公式转化为三角形式. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1. cos 6 + isin 6 cos 3 + isin 3 =( ) A.1 B.-1 C.i D.-i 答案:C 解析: cos 6 + isin 6 cos 3 + isin 3 = cos 6 + 3 + isin 6 + 3 =cos 2+isin 2 =i. 故选 C. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2.8i2(cos 45+isin 45)= . 答案:2 2+2 2i 解析:8i2(cos 45+isin 45
26、) =8(cos 90+isin 90)2(cos 45+isin 45) =4cos(90-45)+isin(90-45) =4(cos 45+isin 45) =2 2+2 2i. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3. 1 2 + 3 2 i 3(cos 120-isin 300)= . 答案:1 6 3 6 i 解析: 1 2 + 3 2 i 3(cos 120-isin 300) =(cos 60+isin 60)3(cos 120+isin 120) =1 3cos(60-120)+isin(60-120) =1 3cos(-60)+isin(-60) =1 3 1 2 - 3 2 i =1 6 3 6 i. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4.计算: (1+ 3i)5 16 2 cos 6-isin 6 . 解:原式= 2 cos 3+isin 3 5 16 2 cos - 6 +isin - 6 = 25 16 2 cos 5 3 + 6 + isin 5 3 + 6 = 2 cos 11 6 + isin 11 6 = 2 3 2 - 1 2 i = 6 2 2 2 i.
