1、11.2 平面的基本事实与推论 课标阐释 思维脉络 1.理解平面的三个基本事实与 三个推论,会运用三种语言表示 事实和推论. 2.能进行文字语言、图形语言、 符号语言之间的互相转化. 激趣诱思 知识点拨 日常生活中存在如下的现象:固定照相机或测量用的平板仪的支撑 架都设计成三脚架;自行车、摩托车加一个侧撑就可平稳地放在地 面上;一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了.你知道这些设计 的原理吗? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:点、线、面之间的位置关系及表示 文字语言 图形语言 符号语言 点A在直线l上 Al 点A不在直线l上 Al 点A在平面内 A 点A不在平面内 A 激趣诱思 知识点拨 文字语言
2、 图形语言 符号语言 直线l在平面内 l 直线l不在平面 内 l 直线l和直线m 相交于点A lm=A 平面与平面 相交于直线a =a 激趣诱思 知识点拨 微思考1 “直线l不在平面内”就是说“直线l与平面平行”对吗? 提示:不对,直线l不在平面内说明直线l与平面平行或者直线l与平 面相交. 微思考2 若Aa,a,是否可以推出A? 提示:根据直线在平面内定义可知,若Aa,a,则A. 激趣诱思 知识点拨 微练习 如图所示,平面ABEF记作平面,平面ABCD记作 平面,根据图形填写: (1)A,B ,E ,C ,D . (2)= . (3)A,B ,C ,D ,E ,F . (4)AB ,AB ,
3、CD ,CD ,BF ,BF . 答案:(1) (2)AB (3) (4) 激趣诱思 知识点拨 知识点二:平面的基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本 事实 1 经过不在一条直线上 的3个点,有且只有一 个平面,即不共线的3 点确定一个平面 若A,B,C三点不共线, 则有且只有一个平面 ,使A,B,C 基本 事实 2 如果一条直线上的两 个点在一个平面内, 那么这条直线在这个 平面内 如果A,B,那么 直线AB 基本 事实 3 如果两个不重合的平 面有一个公共点,那 么它们有且只有一条 过该点的公共直线, 这条直线通常称为两 个平面的交线 如果A,A,则 =a且Aa 激趣诱思 知识点拨
4、名师点析 1.基本事实1中,“有且只有一个”有两层含义,“有”表示存 在,“只有一个”表示唯一,故“有且只有一个”表示存在并且唯一.本 事实的作用:确定平面;证明点、线共面. 2.基本事实2中,阐述了两个观点:一是整条线在平面内;二是直线上 所有点在平面内.本事实的作用:可判断直线是否在平面内,点是否 在平面内,也可用直线来检验平面. 3.基本事实3中,此事实中强调的是两个不重合的平面,只要它们有 公共点,其交集就是一条直线,若无特别说明,提到的两个平面,都指 不重合的两个平面. 激趣诱思 知识点拨 微思考1 经过空间中的三点,能作出几个平面? 提示:当三点共线时,能作出无数个平面,当三点不共
5、线时,只能过这 三点作出唯一的一个平面. 微思考2 两个平面的交线可能是一条线段吗? 提示:不可能.由基本事实3知,两个平面若相交,则它们的交线是一 条直线. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 如果直线a平面,直线b平面,Ma,Nb,且Ml,Nl,那么 ( ) A.l B.l C.l=M D.l=N 答案:A 解析:因为Ma,Nb,a,b,所以M,N,根据基本事实2可 知l.故选A. 激趣诱思 知识点拨 微练习2 若两个不重合的平面有公共点,则公共点有( ) A.1个 B.2个 C.1个或无数个 D.无数个且在同一条直线上 答案:D 解析:利用基本事实3可知若两个平面有一个公共点,则它们就一定 有
6、一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个 在同一直线上的交点. 激趣诱思 知识点拨 微练习3 已知直线m平面,Pm,Qm,则( ) A.P,Q B.P,Q C.P,Q D.Q 答案:D 解析:Qm,m,Q.Pm,有可能P,也可能有P. 激趣诱思 知识点拨 知识点三:平面基本事实的推论 文字语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线与直线外 一点,有且只有一个平 面,即直线与直线外一 点确定一个平面 点A直线BC 存在唯一的平面 ,使A,直线 BC 推论2 经过两条相交直线,有 且只有一个平面 直线AB直线 AC=A存在唯 一的平面,使 直线AB,且 直线AC 推论3 经过两
7、条平行直线,有 且只有一个平面 lm存在唯一 的平面,使l, 且m 激趣诱思 知识点拨 微思考 经过空间任意两条直线能确定一个平面吗? 提示:不一定.只有经过空间两条相交或平行的直线才能确定一个 平面. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 三点可确定平面的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.1或无数个 答案:D 解析:当这三点共线时,可确定无数个平面;当这三点不共线时,可确 定一个平面. 微练习2 三条直线两两相交,可确定 个平面. 答案:一或三 解析:当三条直线共点时可确定三个或一个,当三条直线不共点时 可确定一个平面. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 文字、图形
8、、符号三种语言的转化文字、图形、符号三种语言的转化 例1用符号语言和文字语言分别表示下面的图形. 解:符号语言:l,m=M,Ml. 文字语言:直线l在平面内,直线m与平面相交于点M,点M不在直 线l上. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 1用文字语言表示下列符号语言,并画图表示(其中P是 点,a,b,m是直线,是平面): =m,a,b,am=P,bm=P. 解:用文字语言表示为:分别在两个相交平面,内的两条直线a和b 相交,且交点P在平面,的交线m上.图形如图所示(画法不唯一). 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 证明多线共面问题证
9、明多线共面问题 例2求证:如果两两平行的三条直线a,b,c都与另一条直线l相交,那么 这四条直线共面. 证明:如图所示, 因为ab,可知直线a与b确定一个平面, 设为. 因为la=A,lb=B,所以Aa,Bb,则A,B. 又因为Al,Bl,所以由基本事实2可知l. 因为bc,所以直线b与c确定一个平面,同理可知l. 因为平面和平面都包含着直线b与l,且lb=B,而由经过两条相交 直线,有且只有一个平面,可知平面与平面重合,所以直线a,b,c和l 共面. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 2过直线l外一点P,引两条直线PA,PB和直线l分别交于 A,B两点.求
10、证:三条直线PA,PB,l共面. 证明:如图所示,PAPB=P, 过PA,PB确定一个平面.A,B. Al,Bl,l. PA,PB,l共面. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 证明多点共线问题证明多点共线问题 例3已知ABC在平面外,AB=P,AC=R,BC=Q,如图.求 证:P,Q,R三点共线. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 证明:AB=P,PAB,P平面. 又AB平面ABC,P平面ABC. 由基本事实3可知: 点P在平面ABC与平面的交线上, 同理可证Q,R也在平面ABC与平面的交线上. P,Q,R三点共线. 探究一 探究二 探究三
11、探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 证明点线共面的常用方法 (1)归一法:先由部分元素确定一个平面,再证其余元素也在这个平 面内,其中第一步要应用基本事实1,第二步要应用基本事实2. (2)重合法:应用基本事实2,先由部分元素分别确定平面,然后应用 基本事实1证明这几个平面重合. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 变式训练 3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,体对角线A1C与平面 BDC1交于点O,AC,BD交于点M.求证:C1,O,M三点共线. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 证明:由AA1CC1,则AA1与CC1确
12、定一个平面ACC1A1. A1C平面ACC1A1,而OA1C,O平面ACC1A1. 又A1C平面BC1D=O, O平面BC1D. O点在平面BC1D与平面ACC1A1的交线上. 又ACBD=M,M平面BC1D且M平面ACC1A1. 又C1平面BC1D且C1平面ACC1A1, 平面ACC1A1平面BC1D=C1M, OC1M,即C1,O,M三点共线. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 证明三线共点问题证明三线共点问题 例4如图,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在 AD上,且有DFFC=DHHA=23,求证:EF,GH,BD交于一点. 探究
13、一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 证明:如图可知,平面ABD平面BCD=BD. 易知 FHAC 且 FH=2 5AC,GEAC 且 GE= 1 2AC, 所以FHGE且GH,EF交于点O. 因为GH平面ABD,OGH. 所以O平面ABD. 因为EF平面BCD,OEF, 所以O平面BCD. 所以OBD.所以EF,GH,BD交于一点. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 证明三线共点的常用方法 先说明两条直线共面且交于一点,再说明这个点在两个平面内.于 是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素
14、养形成 当堂检测 延伸探究 (1)例4中将证明EF,GH,BD交于一点改为判断E,F,G,H四 点是否共面并证明. (2)例4中如果将条件改为在AB,BC,CD,DA上分别取点G,E,F,H并且 满足GH与EF相交于一点O,结论如何? 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解:(1)因为 DFFC=DHHA=23, 所以 FHAC 且 FH=2 5AC, 因为点 E,G 分别为 BC,AB 的中点, 所以 GEAC 且 GE=1 2AC, 故GEHF且GEHF, 所以E,F,G,H四点共面且组成梯形. (2)EF,GH,BD交于点O. 证明:因为GH与EF相交于一点O,G
15、H在平面ABD内,EF在平面BCD 内,所以O在两平面的交线上,而平面ABD与平面BCD交于直线BD, 所以O在BD上,即EF,GH,BD交于点O. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 交线问题交线问题 例5如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一 点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列点、直线的平面与正 方体表面的交线. (1)过点G及直线AC; (2)过三点E,F,D1. 分析找出两个平面的两个公共点,则过这两个公共点的直线为两平 面的交线. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解:(1)画法:连接GA交A
16、1D1于点M;连接GC交C1D1于点N;连接 MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图 所示. (2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接 D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则 D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图所示. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 反思感悟 (1)画两平面的交线时,关键是找到这两个平面的两个公 共点,这两个公共点的连线即是.在找公共点的过程中往往要借助 于基本事实2和基本事实3. (2)还要注意:在平面几何中,凡是所引的辅助线都要
17、画成虚线. 在立体几何中,被遮挡的部分画成虚线,没被遮挡的部分则画成 实线.在学习时,一定要正确添加辅助线,否则将影响空间立体感的 形成,不利于空间想象力的培养. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 分类讨论思想的应用分类讨论思想的应用 典例三个平面将空间分成几部分?请画出图形. 分析平面具有无限延展性,任一平面都将空间分为两部分.可先对 两个平面在空间中的位置分类讨论,再让第三个平面以不同的情况 介入,分类解决. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 解:(1)当平面、平面、平面互相平行(即)时,将空间分成 4部分,如图所示. 探究一 探究二 探
18、究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (2)当平面与平面平行,平面与它们相交(即,与其相交)时,将 空间分成6部分,如图所示. (3)当平面、平面、平面都相交,且三条交线重合时,将空间分成 6部分,如图所示. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (4)当平面、平面、平面都相交,且三条交线共点,但互不重合时, 将空间分成8部分,如图所示. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 (5)当平面、平面、平面两两相交,且三条交线平行时,将空间分 成7部分,如图所示. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 1.下面是一些命题的叙述语(
19、A,B表示点,a表示直线,表示平面): A,B,AB; A,A,=A; A,a,Aa; Aa,a,A. 其中命题和叙述方法都正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B 解析:正确.错,其中的AB应为AB.错,其中,应该交于 一条过A点的直线.错,因为点A可能是直线a与平面的交点. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 2.(2020陕西绥德中学高一期末)下列说法错误的是( ) A.平面与平面相交,它们只有有限个公共点 B.经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面 C.经过两条相交直线,有且只有一个平面 D.如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这
20、两个平面重合 答案:A 解析:对于A,平面与平面相交成一条直线,因此它们有无数个公共 点,A错误;对于B,直线和直线外一点确定一个平面,B正确;对于C,两 条相交直线确定一个平面,C正确;对于D,不共线的三点确定一个平 面,D正确. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 3.(1)空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定 个平面. (2)空间5点,其中有4点共面,它们没有任何3点共线,这5个点最多可 以确定 个平面. 答案:(1)4 (2)7 解析:(1)可以想象三棱锥的4个顶点,它们总共确定4个平面. (2)可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面. 探究
21、一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列叙述正确的 是 .(填序号) 直线AC1平面CC1B1B; 设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别 为O,O1,则平面AA1C1C平面BB1D1D=OO1; 点A,O,C只能确定一个平面; 由点A,C1,B1确定的平面是ADC1B1; 由点A,C1,B1确定的平面和由点A,C1,D确定的平面是同一平面. 答案: 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 素养形成 当堂检测 5.判断下列说法是否正确,并说明理由: (1)一点和一条直线确定一个平面; (2)经过一点的两条直线确定一个平面; (3)两两相交的三条直线确定一个平面; (4)首尾依次相接的四条线段在同一平面内. 解:(1)不正确.如果点在直线上,这时有无数个平面; (2)正确.经过同一点的两条直线是相交直线,有唯一一个平面. (3)不正确.三条直线可能交于同一点,也可能有三个不同交点,可以 确定1个或3个平面. (4)不正确.四边形中三点可确定一个平面,而第四点不一定在此平 面内,因此,这四条线段不一定在同一平面内.
