1、专题13 数形结合专题 2020春成都地区中考数学第二部分系统复习考点解读 华罗庚先生曾说过：“数与形，本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂的数学问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质数形结合应用非常广泛，在近几年的中考试题中都有所涉及.方法提炼1.1.数的问题通过形来解决 2 2形的问题借助数来
2、计算 3 3数形转化(数转形)在平面直角坐标系中，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离 AB（x1x2）2（y1y2）2，由此可求得代数式x22x2 x28x25的最小值为_【分析】原式表示的几何意义是点(x，0)到点(1，1)和(4，3)的距离之和，当点(x，0)在以(1，1)和(4，3)为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可【答案】5课堂精讲例 1 阅读材料：如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，对于任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由勾股定理可得：AB2(x1x2)2(y1y2)2，我们把（x1x2）2（y1y2）2叫作 A，B 两点之间的距离，记作A
3、B（x1x2）2（y1y2）2.例题：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点 P(x，0)A(0，2)，B(3，2)，则 AB_；PA_；解：由定义有 AB（03）22（2）25；PA（x0）2（02）2 x24.图 1课堂精讲（x1）24表示的几何意义是_；x21（x2）29表示的几何意义是_ 解：因为（x1）24（x1）2（02）2，所以（x1）24表示的几何意义是点 P(x，0)到点(1，2)的距离；同理可得 x21（x2）29表示的几何意义是点 P(x，0)分别到点(0，1)和点(2，3)的距离和 课堂精讲根据以上阅读材料，解决下列问题：(1)如图 2，已知直线 y2x8 与反比例函
4、数 y6x(x0)的图象交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则点 A，B 的坐标分别为A(_，_)，B(_，_)，AB_；(2)在(1)的条件下，设点 P(x，0)，则（xx1）2y21（xx2）2y22表示的几何意义是_；试求（xx1）2y21（xx2）2y22的最小值，以及取得最小值时点 P 的坐标 图 2课堂精讲【分析】(1)由直线和反比例函数解析式组成方程组，解方程组求出 A，B 坐标；根据两点之间的距离公式即可求出 AB；(2)根据题意容易得出表示的几何意义；作点 B关于 x 轴的对称点 B，连接 AB交 x 轴于点 P(即为满足题意的点)，则 B点坐标为(3，2)，得出（
5、xx1）2y21（xx2）2y22的最小值AB，由两点之间的距离公式求出 AB即可；用待定系数法求出直线 AB的解析式，再求出直线与 x 轴的交点坐标即为点 P 的坐标 课堂精讲【解】(1)1 6 3 2 2 5 (2)点 P(x，0)分别到点(1，6)和点(3，2)的距离和 作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB交 x 轴于 P，如图则 B点坐标为(3，2)（xx1）2y21（xx2）2y22的 最 小 值 AB（13）2（62）22 17.设直线 AB的解析式为 ykxb，把 A(1，6)，B(3，2)代入，得kb6，3kb2.解得k4，b10.直线 AB的解析式为 y4x10.当
6、 y0 时，x52，点 P 的坐标为52，0 答案图课堂精讲例 2 在ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为 5，10，13，求这个三角形的面积 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为 1)，再在网格中画出格点ABC(即ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图 1.这样不需求ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积 我们把上述求ABC 面积的方法叫作构图法(1)若ABC 三边的长分别为 5a，2 2a，17a(a0)，请利用图 2 的正方形网格(每个小正方形的边长为 a)画出相应的ABC，并求出它的面积；课堂精讲思维拓展：(2)若ABC 三边的长分别为
7、m216n2，9m24n2，2 m2n2(m0，n0，且 mn)，试运用构图法求出这个三角形的面积；探索创新：(3)已知 a，b 都是正数，ab3，求当 a，b 为何值时 a24 b225有最小值，并求这个最小值；(4)已知 a，b，c，d 都是正数，且 a2b2c2，c a2d2a2，求证：abcd.课堂精讲【分析】(1)5a 是直角边长为 a，2a 的直角三角形的斜边；22a 是直角边长为 2a，2a 的直角三角形的斜边；17a 是直角边长为 a，4a 的直角三角形的斜边，把它们整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；(2)结合(1)易得此三角形的三边分别是直角边长为 m，4n 的直
8、角三角形的斜边；直角边长为 3m，2n 的直角三角形的斜边；直角边长为 2m，2n 的直角三角形的斜边同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；课堂精讲(3)可作 BD3，过点 A 作 AFBD，交 DE 的延长线于点F，使 AB2，ED5，连接 AE 交 BD 于点 C，然后构造矩形AFDB，RtAFE，利用矩形中直角三角形的性质可求得 AE 的值就是代数式 a24 b225的最小值；(4)根据 a2b2c2，c a2d2a2，得出 c2(a2d2)a4，进而得出(a2b2)(a2d2)a4，再去括号得出 a2b2d2c2，即可得出答案 课堂精讲【解】(1)如图 1，SABC2a
9、4a12a2a122a2a12a4a3a2.(2)构造ABC 如图 2.SABC3m4n12m4n123m2n122m2n5mn.图 1图 2课堂精讲(3)如图 3，已知 AB2，DE5，BD3，ABBD，DEBD，当 A，C，E 在一条直线上时，ACCE 最小，由题意，得 ABDE，ABCEDC.ABEDBCCD，即25BC3BC.解得 BC67，CD367157.图 3课堂精讲过点 A 作 AFBD，交 DE 的延长线于点 F，根据题意得，四边形 ABDF 为矩形 EFABDE257，AFDB3.AE 499 58.即 ACCE 的最小值是58.故 a67，b367157时，a24 b22
10、5有最小值为 58.课堂精讲(4)证明：a2b2c2，c a2d2a2，c2(a2d2)a4.则(a2b2)(a2d2)a4.整理，得 a2b2a2d2b2d2.a2b2d2(a2b2)a2b2d2c2.a，b，c，d 都是正数，abcd.【方法归纳】此题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键即关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答课堂精讲 例3如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，点E在边BC上(E不与B，C重合)，连接AE，把ABE沿直线AE折叠，点B落在点B处，当CEB为直角三角
11、形时，CEB的周长为_课堂精讲【分析】四边形ABCD是矩形，ABCD6，ADBC8，DABABC90.AEB由AEB折叠而成，ABAB6，BEBE，ABCABE90.若CEB90，且DABABC90，四边形ABEB是矩形，且ABAB6.四边形ABEB是正方形BEBE6.ECBCBE2.课堂精讲BC BE2EC22 10.CEB的周长ECBCBE82 10.若EBC90，且ABE90，ABEEBC180.点 A，B，C 三点共线 在 RtABC 中，AC AB2BC210，BCACAB1064.CEB的周长ECBCBE8412.【答案】12 或 82 10 课后精练 1 1如图，二次函数yax2
12、bxc(a0)的图象经过点(1，2)且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中1x10，1x22，下列结论：4a2bc0；2ab4ac；a0，k2xb23课后精练4 4若 M12，y1，N14，y2，P12，y3三点都在函数 ykx(ky1y3课后精练5 5平面直角坐标系中，点 A 在反比例函数 y1kx(x0)的图象上，点 A与点 A 关于点 O 对称，直线 AA的解析式为 y2mx，将直线 AA绕点 A顺时针旋转，与反比例函数图象交于点 B，直线 AB 的解析式为 y3m2xn，若AAB的面积为 3，则 k 的值为_ 课后精练【解 析】设 点 Aa，ka.A 和 点 A 关 于 原 点 对
13、 称，点 A 的 坐 标 为 a，ka.点 A 在 y2 mx 的 图 象 上，点 A 的 坐 标 为(a，am)ka am，a2m k.将 A a，ka代 入 y3m2x n，求 得 n ma2，直 线 AA 绕 点 A 顺 时 针 旋 转，与 反 比 例 函 数 图 象 交 于 点 B，ya2mx，ym2xma2.点 B 的 坐 标 为2a，k2a.课后精练过点 A 作 ACx 轴，过点 B 作 BDx 轴，垂足分别为 C，D，连接 BO，O 为 AA中点，SAOB12SABA32.点 A，B 在双曲线上，SAOCSBOD.SAOBS四边形 ACDB32.由已知点 A，B 坐标分别为a，k
14、a，2a，k2a，12ak2aka32.k2.答案图【答案】2课后精练6 6如图，将双曲线 ykx(k0)在第四象限的一支沿直线 yx 方向向上平移到点 E 处，交该双曲线在第二象限的一支于 A，B 两点，连接 AB 并延长交 x 轴于点 C.双曲线 ymx(m0)与直线 yx 在第三象限的交点为 D，将双曲线 ymx在第三象限的一支沿射线 OE 方向平移，D点刚好可以与 C 点重合，此时该曲线与前两支曲线围成一条“鱼”(如图中阴影部分)，若 C 点坐标为(5，0)，AB32，则 mk 的值为_.第6题图课后精练【解析】连接 CD，过点 A 作 AFx 轴于点 F，过 D 点作 DHx 轴于
15、H，设 AB 与 EO 的交点为 G，C 点坐标为(5，0)，AB32，OC5，AGBG322.直线 OE：yx，直线 OD：yx，COECODACODCO45.DHOH52，CG522.D52，52，ACCGAG42.答案图课后精练AFCF224 24.OFOCCF1.A(1，4)把 A(1，4)代入 ykx中，得 k4，把 D52，52代入 ymx中，得 m254，mk25.【答案】-25课后精练 7 7如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作ABBD，EDBD，连接AC，EC.已知AB5，DE1，BD8，设BCx.(1)当BC的长为多少时，点C到A，E两点的距离相等？(2)用含x的
16、代数式表示ACCE的长；问点A，C，E满足什么条件时，ACCE的值最小？(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点M(0，4)，N(3，2)，请根据(2)中的规律和结论在x轴上找一点P，使PMPN最小，求出点P坐标和PMPN的最小值图 1图2课后精练解：(1)BCx，BD8，CD8x.ACEC，x252(8x)212，解得 x52.当 BC52时，点 C 到 A，E 两点的距离相等(2)ACCE x225 x216x65，当点 A，C，E 在同一直线上时，ACCE 最小 课后精练(3)如图，过点 N 作关于 x 轴的对称点 N，连接 NM，与 x 轴交点即为点 P.N(3，2)可得直线 MN的解
17、析式为 y2x4.当 y0 时，x2，P(2，0)PM OP2OM2 202 5，PN 1222 5，PMPN 最小值为 3 5.答案图课后精练8 8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y(xa)(x4)(a0)与 x 交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点(1)若 D 点坐标为32，254，求抛物线的解析式和 C 点坐标；(2)点 M 为抛物线对称轴上一点，且点 M 的纵坐标为 a，点 N 为抛物线在 x 轴上方一点，若以 C，B，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，求 a 的值；(3)直线 y2xb 与(1)中的抛物线交于点 D
18、，E，将(1)中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为 D，与直线的另一个交点为E，与x轴右侧的交点为B，在平移的过程中，求 DE的长度，当EDB90时，求点 B的坐标 第8题图课后精练解：(1)由题意，得25432a324，解得 a1，抛物线的解析式为 yx23x4.C(0，4)(2)由题意可知 A(a，0)，B(4，0)，C(0，4a)，对称轴为直线 xa42，则 Ma42，a.MNBC，且MNBC，根据点的平移特征可知Na42，3a，则3aa42a a424，解得 a2213.a0，a2213.课后精练当 BC 为对角线时，设 N(x，y)，根据平行四边形的对角线互相平分，
19、得 a42x4，ay4a，解得x4a2，y5a，则5a4a2a 4a24，解得 a62213.a0，a62213.综上，a 等于2213或62213.课后精练(3)由题意，D32，254在直线 y2xb 上，b134.联立y2x134，yx23x4，解得x132，y1254，或x212，y294，则 E12，94.则 DE2 5，根据抛物线的平移规律，则平移的过程中线段 DE的长度始终等于 2 5.答案图课后精练设平移后 Dm，2m134，则 Em2，2m34.平移后的抛物线解析式为：y(xm)22m134，则 DB：y12xn 过 Dm，2m134，y12x52m134，则 B5m132，0.课后精练抛物线 y(xm)22m134过 B5m132，0，解得 m132，m2138.B1(1，0)，B2138，0(与 D重合，舍去)点 B的坐标为(1，0)单击此处编辑母版标题样式谢谢
