1、11.3.3 平面与平面平行 课标阐释 思维脉络 1.通过直观感知、操作确认,归 纳出空间中面面平行的相关定 理、推论和性质. 2.掌握平面与平面平行的判定 定理和性质定理,能利用以上定 理解决空间中的平行性问题. 激趣诱思 知识点拨 观察:(1)三角板的一条边所在的直线与桌面平行,这个三角板所在 的平面与桌面平行吗? (2)三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,情况又如何? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示法 公共点个数 两平面 平行 无 两平面 相交 =a 无数个 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1.画两个平行平面时,要使表示平面的两个平行四边
2、形 的相邻两边分别画成平行线;画两个相交平面时,要把交线画出,并 且被遮住的部分要画成虚线或不画. 2.用符号表示两个相交平面时,必须写出交线,不能写成. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 点P是平面外一点,过点P且平行于平面的平面有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 答案:B 激趣诱思 知识点拨 微练习2 (多选题)若平面平面,直线a,直线b,那么直线a,b的位置关 系可能是( ) A.平行 B.异面 C.相交 D.以上都不对 答案:AB 解析:直线a,b可以是平面,内的任意两条直线,它们可以平行,也可 以异面,但不可能相交,故选AB. 激趣诱思 知识点拨 知识点二:两个平面平行
3、1. 激趣诱思 知识点拨 2.符号表示:(1)面面平行的判定定理:如果 l,m,lm,l,m,则. (2)面面平行判定定理的推论:如果 a,b,ab=A,m,n,am,bn,则. (3)面面平行的性质定理:如果,=l,=m,则lm. 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1.应用判定定理证明两个平面平行,必须具有两个条 件:(1)一个平面内有两条直线平行于另一个平面;(2)这两条直线必 须相交. 2.该定理应用时,只要在一个平面内找到(作出)两条相交直线与另 一个平面平行即可. 3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任一直线均平行于另 一个平面. 4.夹在两个平行平面间的平行线段相等. 5.经过平
4、面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行. 激趣诱思 知识点拨 微思考 两个平面平行,则这两个平面内的所有直线一定互相平行吗? 提示:不一定.也可能是异面直线,但可以肯定它们不相交. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面AB1D1平行的平面是( ) A.平面BCD B.平面BCC1 C.平面BDC1 D.平面CDC1 答案:C 激趣诱思 知识点拨 微练习2 在如图所示的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行 四边形.则平面ABC与平面A1B1C1平行吗? .(填“是”或 “否”) 答案:是 激趣诱思 知识点拨 知识点三:三个平面
5、平行的性质 两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. 名师点析 1.该性质是利用面面平行推得线线平行. 2.平行于同一平面的两个平面平行(即平行平面的传递性). 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任一直线均平行于另 一个平面.( ) (2)夹在两个平行平面间的平行线段相等.( ) (3)经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行.( ) (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.( ) (5)平行于同一平面的两个平面平行(即平行平面的传递性).( ) (6)如果三个平面,满足,且平面与这三个平面相交,交 线分别为a,b,c,则有
6、abc成立.( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 平面与平面平行的判定定理平面与平面平行的判定定理 例1如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC上一点,且A1B平面 AC1D,D1是B1C1的中点. 求证:平面A1BD1平面AC1D. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明:如图所示,连接A1C交AC1于点E, 因为四边形A1ACC1是平行四边形, 所以E是A1C的中点,连接ED, 因为A1B平面AC1D, 平面A1BC平面AC1D=ED, 所以A1BED. 因为E是A1C的中点,所以D是BC的中点. 又因
7、为D1是B1C1的中点, 所以BD1C1D,A1D1AD. 又A1D1BD1=D1,ADC1D=D, 所以平面A1BD1平面AC1D. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 证明面面平行的方法 证明面面平行主要是利用面面平行的判定定理,即从其中一个平面 内找到两条相交直线分别平行于另一平面,其次是利用面面平行的 推论,即从其中一个面内找到两条相交直线分别平行于另一平面内 的两条直线. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边 形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PMMA=BNND=PQQD. 求证:
8、平面MNQ平面PBC. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明:在PAD中, PMMA=PQQD, MQAD.又ADBC, MQBC. MQ平面PBC,BC平面PBC, MQ平面PBC. 在PBD中,BNND=PQQD, NQPB.NQ平面PBC,PB平面PBC, NQ平面PBC. MQNQ=Q,平面MNQ平面PBC. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 平面与平面平行的性质定理平面与平面平行的性质定理 例2(1)如图,已知平面,P且P,过点P的直线m与,分别交 于A,C,过点P的直线n与,分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则 BD= . 探究一 探究二 探究三
9、 素养形成 当堂检测 (2)如图,P 是ABC 所在平面外一点,平面 平面 ABC, 分别交线 段 PA,PB,PC 于点 A,B,C.若 = 2 3,求 的值. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1)答案:24 5 解析:由 ,平面 PCD=AB,平面 PCD=CD, 得 ABCD,则 = , 即6 9 = 8- ,得 BD=24 5 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2)解:平面 平面 ABC,平面 PAB平面 =AB,平面 PAB平面 ABC=AB, ABAB.同理可证 BCBC,ACAC. BAC=BAC,ABC=ABC, ACB=ACB, ABCABC.
10、PAAA=23,PAPA=25, ABAB=25. SABCSABC=425,即 = 4 25. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 (1)将例2(1)改为:若点P位于平面,之间(如图),其他条件 不变,试求BD的长. (2)已知平面 ,两条直线 l,m 分别与平面 , 相交于点 A,B,C 与 D,E,F.已知 AB=6, = 2 5,求 AC. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)与本例 2(1)同理,可证 ABCD. 所以 = ,即 6 3 = -8 8 .所以 BD=24. (2)由题意可知 = AC= AB= 5 26=15. 探究一 探究二 探究
11、三 素养形成 当堂检测 探索型问题探索型问题 例3如图所示,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,E,F分别为PC,PD的中 点,在底面ABCD内是否存在点Q,使平面EFQ平面PAB?若存在,确 定点Q的位置;若不存在,说明理由. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:存在.点Q在底面ABCD的中位线GH上,理由如下: 取AD,BC的中点G,H,连接FG,HE,GH. 因为F,G分别为DP,DA的中点,所以FGPA. 因为FG平面PAB,PA平面PAB, 所以FG平面PAB. 因为ABCD,EFCD,所以EFAB, 而EF平面PAB,AB平面PAB, 所以EF平面PAB. 因为EFFG=
12、F,所以平面EFGH平面PAB. 又点Q平面ABCD,所以点QGH. 所以点Q在底面ABCD的中位线GH上. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 解探索型问题常用策略 (1)(条件探索型)所给问题结论明确,需要完备条件或条件需探索,或 条件增删需确定,或条件正误需判断. (2)(结论探索型)先探索结论再去证明,在探索过程中常先从特殊情 况入手,通过观察、分析、归纳进行猜测,得出结论,再就一般情况 去证明结论. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的 中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问
13、:当点Q在什么位置时,平 面D1BQ平面PAO? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:当Q为CC1的中点时,平面D1BQ平面PAO. Q为CC1的中点,P为DD1的中点,QBPA. P,O分别为DD1,DB的中点,D1BPO. 而PO平面PAO,PA平面PAO,POPA=P,D1B平面D1BQ,QB平 面D1BQ,D1BQB=B, 平面D1BQ平面PAO. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 要注意将立体问题向平面问题转化要注意将立体问题向平面问题转化 典例如图所示,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1 的中点.求证四边形BED1F是平行四边形
14、. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 证明:取D1D的中点G,连接EG,GC, E是A1A的中点,G是D1D的中点,EGAD. 由正方体性质知ADBC,EGBC. 四边形EGCB是平行四边形,EBGC. 又G,F分别是D1D,C1C的中点,D1GFC. 四边形D1GCF为平行四边形,D1FGC. 由知EBD1F, 四边形BED1F是平行四边形. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛立体几何问题只有在转化为平面几何问题后才能直接使 用平面几何知识解决,正确的解题思路是将立体几何问题转化为平 面几何问题再证明,不能凭想当然将平面几何中的结论或性质随意 推广到立体几何中来.
15、 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.(2020江苏高一月考)已知直线l是平面的斜线,过l作平面,使 ,这样的( ) A.恰能作一个 B.至多作一个 C.至少作一个 D.不存在 答案:D 解析:若存在过直线l的平面,使得,则直线l与平面无公共点, 与直线l是平面的斜线矛盾,不合题意,所以这样的平面不存在. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.若,a,下列四个命题中正确的是( ) a与内所有直线平行;a与内的无数条直线平行;a与内的 任何一条直线都不相交;a与无公共点. A. B. C. D. 答案:B 解析:由性质知错误;由定义知正确;由定义知正确;由定义知 正确,故选
16、B. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.如图是正方体的平面展开图: 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 在这个正方体中,BM平面ADE;CN平面BAF;平面 BDM平面AFN;平面BDE平面NCF. 以上说法正确的是 .(填序号) 3.如图是正方体的平面展开图: 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案: 解析:以ABCD为下底还原正方体,如图所示, 则易判定四个说法都正确. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.已知直线a平面,平面平面,则a与的位置关系 为 . 答案:a或a 解析:若a,则显然满足题目条件; 若a,过直线a作平面,=b,=c,于是由直线a平面得ab, 由得bc,所以ac,又a,c,所以a. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.已知三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点.求证:平面 DEF平面ABC. 证明:如图所示, 在PAB中,因为D,E分别是PA,PB的中点, 所以DEAB. 又AB平面ABC,DE平面ABC, 因此DE平面ABC. 同理,EF平面ABC. 又因为DEEF=E,所以平面DEF平面ABC.
