1、第九章解三角形 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.2 余弦定理余弦定理 课后篇巩固提升 基础达标练 1.在ABC 中,角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,若 b=3,c=2,cos A= ,则 a=( ) A.5 B. C.4 D.3 答案 D 解析由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A=9+4-232 =9,解得 a=3.故选 D. 2.在ABC 中,已知 b2=ac且 c=2a,则 cos B等于( ) A. B. C. D. 答案 B 解析因为 b2=ac,c=2a,所以 b2=2a2,b= a.所以 cos B= - - . 3.已知 a,b,c 为ABC的三边长,若
2、满足(a+b-c) (a+b+c)=ab,则 C的大小为( ) A.60 B.90 C.120 D.150 答案 C 解析因为(a+b-c)(a+b+c)=ab, 所以 a2+b2-c2=-ab,即 - =- , 所以 cos C=- ,所以 C=120. 4.在ABC 中,sin2 - (a,b,c分别为角 A,B,C 的对应边),则ABC 的形状为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 答案 B 解析因为 sin2 - - ,所以 cos A= - ,整理得 a2+b2=c2,符合勾股定理.故ABC为直 角三角形. 5.在ABC 中,角 A,B,C的对边分
3、别为 a,b,c,已知 sin Asin Bsin C=357,那么这个三角形中最大 角的度数是( ) A.135 B.90 C.120 D.150 答案 C 解析因为 sin Asin Bsin C=357,故 abc=357,设 a=3k(k0),则 b=5k,c=7k.由大边对大 角定理可知,角 C是最大角,由余弦定理得 cos C= - =- .因为 0C180,因此,C=120.故选 C. 6. 某地需要建设临时医院,其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为 400 m的等腰 三角形组成的图形(如图所示),为使占地面积最大,则等腰三角形的底角为( ) A. B. C. D
4、. 答案 D 解析设等腰三角形的顶角为 ,由三角形的面积公式,得 4个等腰三角形的面积和为 4 400400sin =320 000sin ,由余弦定理可得正方形边长为 - =400 - ,故 正方形面积为 160 000(2-2cos )=320 000(1-cos ),所以所求占地面积为 320 000(1-cos +sin )=320 000 sin - +1 ,所以当 - ,即 = 时,占地面积最大,此时底角为 - ,故选 D. 7.(多选题)(2020 海南中学高一期中)已知ABC 中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且 A=60,b=2,c= +1,则下列说法正确的是(
5、) A.C=75或 C=105 B.B=45 C.a= D.该三角形的面积为 答案 BC 解析由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=4+4+2 -22( +1) =6,所以 a= .由正弦定理,得 ,所以 sin B= .由于 0B0,所以 a ,最大边为 2a+1.因为三角形为钝角三角形,所以 a 2+(2a-1)2(2a+1)2,化简 得 0a2a+1, 所以 a2,所以 2a0,解得 a=4x,b=5x,c=6x,所 以 sin Asin Bsin C=abc=456,所以 A正确;由上可知 c边最大,所以三角形中 C 最大. 又 cos C= - - 0,所以 C为锐角,
6、所以 B 错误;由上可知 a边最小,所以 三角形中 A最小,又 cos A= - - ,所以 cos 2A=2cos 2A-1= ,所以 cos 2A=cos C, 由三角形中 C 最大且 C为锐角可得 2A(0,),C 0, ,所以 2A=C,所以 C 正确;由正弦定理得 2R= ,又 sin C= - ,所以 2R= ,解得 R= ,所以 D正确.故选 ACD. 7.在ABC 中,sin ,AB=5,BC=1,则 AC= . 答案 4 解析由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB BCcos B, 又 cos B=1-2sin2 =1-2 =- . 故 AC2=25+1-251(- )
7、=32, 所以 AC=4 . 8.在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b=3,a+c=3 ,sin C=2sin A. (1)求 a,c 的值; (2)求 sin( )的值. 解(1)由正弦定理 及 sin C=2sin A,得 c=2a.因为 a+c=3 ,所以 a= ,c=2 . (2)由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 所以 cos B= . 因为 B是三角形内角,所以 0B. 所以 sin B= - . 所以 sin 2B=2sin Bcos B= , cos 2B=2cos2B-1= . 所以 sin( )=sin 2Bcos +cos 2
8、Bsin = . 素养培优练 (2020 山东泰安高三模拟)已知 a,b,c分别为ABC 内角 A,B,C的对边,若ABC是锐角三角形,若 ABC 同时满足下列四个条件中的三个:A= ;a=13;c=15;sin C= . (1)条件能否同时满足,请说明理由; (2)以上四个条件,请在满足三角形有解的所有组合中任选一组,并求出对应的ABC 的面积. 解(1)ABC不能同时满足.理由如下: 若ABC同时满足,则在锐角三角形 ABC中,sin C= ,所以 0C . 又因为 A= ,所以 A+C ,这与ABC是锐角三角形矛盾, 所以ABC 不能同时满足. (2)因为ABC 需同时满足三个条件,由(1)知不能同时满足,故只可能同时满足或 ,若同时满足,因为 ca,所以 CA,则 AC ,这与ABC是锐角三角形矛盾.故ABC 不能同时满足. 若同时满足,因为 a2=b2+c2-2bccos A,所以 132=b2+152-2b15 ,解得 b=8或 b=7. 当 b=7 时,cos C= - =- 0,所以 C为锐角,满足题意,所以 b=8.所以ABC的面积 S= bcsin A=30 .
