1、第十一章立体几何初步 11.1 空间几何体 11.1.1 空间几何体与斜二测画法空间几何体与斜二测画法 课后篇巩固提升 基础达标练 1.(2020 北京八十中高一期中)下列说法正确的是( ) A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等 C.画与平面直角坐标系 xOy 对应的坐标系 xOy时,xOy必须是 45 D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行 答案 D 解析等腰三角形的两底角相等,但在直观图中不相等,故 A 错误.正方形的两邻边相等,但在直观图中 不相等,故 B错误.画与平面直角坐标系 xOy对应的坐标系 xOy时,xOy可以是 45也可以是 135
2、,故 C错误.故选 D. 2.水平放置的ABC,有一边在水平线上,它的斜二测直观图是等边三角形 ABC,则ABC是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 答案 C 解析如图所示,斜二测直观图还原为平面图形,故ABC是钝角三角形. 3. 如图所示的正方形 OABC的边长为 1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长 是( ) A.6 cm B.8 cm C.(2+3 )cm D.(2+2 )cm 答案 B 解析直观图中,OB= ,OB=2 .原图形中 OC=AB= =3,OA=BC=1,原图形的周长是 2(3+1)=8(cm). 4. 如图所示,
3、ABC是水平放置的ABC 的直观图,则在ABC 的三边及中线 AD 中,最长的线段是( ) A.AB B.AD C.BC D.AC 答案 D 解析还原ABC,即可看出ABC为直角三角形,故其斜边 AC最长. 5.已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一 个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( ) A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm 答案 D 解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为 2+3=5(cm),在直观图中与 z 轴平行的线 段长度不变,仍为 5 cm.故选 D.
4、 6.已知等边三角形 ABC的边长为 a,那么等边三角形 ABC的直观图ABC的面积是( ) A. a2 B. a2 C. a2 D. a 2 答案 D 解析如图为实际图形,建立如图所示的平面直角坐标系 xOy. 如图,建立坐标系 xOy,使xOy=45,由直观图画法知:AB=AB=a,OC= OC= a,过点 C 作 CDOx于点 D,则 CD= OC= a.所以ABC的面积是 S= AB CD= a a= a 2. 7. 如图所示为一个平面图形的直观图,则它的实际形状四边形 ABCD为 . 答案正方形 解析因为DAB=45,由斜二测画法规则知DAB=90,又因四边形 ABCD为平行四边形,
5、且 AB=BC,所以原四边形 ABCD 为正方形. 8.(2020 天津高一期末)用斜二测画法画边长为 2 的正方形 ABCD的直观图时,以射线 AB,AD分别为 x 轴、y 轴的正半轴建立直角坐标系,在相应的斜角坐标系中得到直观图 ABCD,则该直观图的面积 为 . 答案 解析设原图的面积为 S,直观图的面积为 S,则 S=2 S,即 S= S. 因为正方形 ABCD的面积为 S=22=4,所以其直观图的面积为 S= S= 4= . 9. 如图,平行四边形 OPQR是四边形 OPQR的直观图,若 OP=3,OR=1,则原四边形 OPQR 的周长 为 . 答案 10 解析由四边形 OPQR的直
6、观图可知原四边形是矩形,且 OP=3,OR=2,所以原四边形 OPQR的周长为 2(3+2)=10. 10. (2020天津滨海新区塘沽第三中学高一期中)水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示,已知 AC=3,BC=2,则 AB边上的中线的长度为 . 答案 解析在直观图中,AC=3,BC=2,所以在 RtABC 中,AC=3,BC=4,C=90, AB= =5,因此,AB边上的中线的长度为 AB= . 11. (2020全国高一课时练习)如图所示,在梯形 ABCD中,ABCD,AB=4 cm,CD=2 cm, DAB=30,AD=3 cm,试画出它的直观图. 解第一步:如图所示,在梯形 ABC
7、D中,以边 AB 所在直线为 x轴,A 为原点,建立平面直角坐标系 xOy; 如图所示,画出对应的 x轴、y轴,使xOy=45; 第二步:在图中,过点 D作 DEx轴,垂足为点 E;在图中,在 x轴上取 AB=AB=4 cm,AE=AE= 2.598(cm),过点 E作 EDy轴,使 ED= ED= =0.75(cm),再过点 D作 DC x轴,且使 DC=DC=2 cm; 第三步:连接 AD,BC,并擦去 x轴与 y轴多余的部分及其他一些辅助线,如图所示,则四边形 ABCD就是所求作的直观图. 能力提升练 1.(2020 河南周口郸城实验高中高一月考)下列说法正确的是( ) A.互相垂直的两
8、条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线 B.梯形的直观图可能是平行四边形 C.矩形的直观图可能是梯形 D.正方形的直观图可能是平行四边形 答案 D 解析 A项,原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,故 A 项错误. B项,原图形中平行的两条线段仍然平行,不平行的两条线段也不会平行,所以梯形的直观图不可 能为平行四边形,故 B项错误. C项,原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,但是原图形中相互平行的两条线 段在直观图中仍然互相平行,所以矩形的直观图中对边仍然平行,所以矩形的直观图可能为平行四边 形而不可能为梯形.故 C 项错误,故 D 项正确. 2. (2020黑龙江齐
9、齐哈尔实验中学高一期中)如图,一个水平放置的平面图形 OABC的斜二测直观图为 直角梯形 OABC,且 OA=2,OC=1,AB平行于 y轴,则这个平面图形 OABC的面积为( ) A.5 B.5 C. D. 答案 B 解析 根据斜二测画法的规则可知,水平放置的平面图形 OABC为直角梯形,由题意可知上底为 OA=2,高为 AB=2 ,下底为 BC=2+1=3,所以这个平面图形 OABC 的面积为 S= (3+2)2 =5 . 3.如图所示,AOB表示水平放置的AOB 的直观图,B在 x轴上,AO与 x轴垂直,且 AO=2,则AOB 的边 OB 上的高为( ) A.2 B.4 C.2 D.4
10、答案 D 解析设AOB的边 OB上的高为 h,因为 S原图形=2 S直观图,所以 OBh=2 OB2, 又 OB=OB,所以 h=4 . 4. 如图,矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图,其中 OA=6,OC=2,则原图形是( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 答案 C 解析设 y轴与 BC交于点 D,则 OD=2 .在原图形中,OD=4 ,CD=2,且 ODCD,所以 OC= =6=OA,所以原图形是菱形. 5. 如图所示,四边形 OABC 是上底为 2,下底为 6,底角为 45的等腰梯形,用斜二测画法,画出这个梯形 的直观图 OABC,在直观图中梯形的高为 ,面积为
11、. 答案 2 解析因为 OA=6,CB=2,所以 OD=2. 又因为COD=45, 所以 CD=2.梯形的直观图如图,则 CD=1.所以梯形的高 CE= .面积为 =2 . 6.(2020 黑龙江鸡西第一中学高一期末)如图是水平放置的AOB 用斜二测画法画出的直观图AOB, 则AOB的周长是 . 答案 4+4 解析根据直观图画出原图如图所示, 根据原图和直观图的关系可知,OB=4,OD=BD=2,AD=8,所以 OA=AB= =2 ,所以AOB 的 周长是 4+2 2=4+4 . 7. 如图所示,已知用斜二测画法画出的ABC 的直观图ABC是边长为 a的等边三角形,那么原ABC 的面积为 .
12、答案 a2 解析法一:过 C作 CMy轴,且交 x轴于 M. 过 C作 CDx轴,且交 x轴于 D,则 CD= a. 所以CMD=45,所以 CM= a. 所以原三角形的高 CM= a,底边长为 a,其面积为 S= a a= a2. 法二:因为 SABC= a a= a2. 由 S直观图= S原图得, S ABC = S ABC= a2= a2. 8.(2020 全国高一课时练习)画出各条棱长都相等的正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直 观图. 解第一步:画 x轴、y轴、z轴,使xOy=45,xOz=90; 第二步:按 x轴、y轴,画正六边形的直观图 ABCDEF; 第三步:过 A,
13、B,C,D,E,F各点分别作 z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取 AA,BB,CC,DD,EE,FF都等于棱 AB的长; 第四步:顺次连接 A,B,C,D,E,F,去掉辅助线及字母,将被遮挡的部分改为虚线,就得到所求作的 正六棱柱的直观图. 素养培优练 一个圆锥的底面直径是 1.6 cm,在它的内部有一个底面直径为 0.7 cm,高为 1 cm的内接圆柱. (1)画出它们的直观图; (2)求圆锥的母线长. 解(1)画轴.取 x轴、y 轴、z 轴,记坐标原点为 O,使xOy=45,xOz=90(如图所示). 画底面.以 O 为中心,按 x轴、y 轴画一个直径等于 1.6 cm的圆的直观图. 画内接圆柱.以 O 为中心,按 x轴、y 轴画一个直径等于 0.7 cm的圆的直观图,然后在 z轴上取 线段 OO=1 cm,过点 O作平行于 x轴的 x轴,平行于 y 轴的 y轴,再以 O为中心,利用 x轴、y轴画一 个直径为 0.7 cm的圆的直观图.再画圆柱的两条母线,使它们与这两个椭圆相切. 成图.画圆锥的两条母线,再加以整理,就得到所要画的直观图(如图所示). (2)设圆锥的高为 h,则 - ,解得 h= . 所以圆锥的母线长为 l= ( ) .
