1、第 1 页（共 19 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（7） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）如图，阴影部分表示的集合为( ) A() U AB B() U BA C() U AB D() U BA 2 （5 分）已知复数z满足1(izi i 为虚数单位） ，则z在复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “二百五十二里关，初日健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意为：有一个人走 252 里
2、路，第一 天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天到达目的地，则此人 后四天走的路程为( ) A198 里 B192 里 C60 里 D90 里 4 （5 分）从只读过论语的 3 名同学和只读过红楼梦的 3 名同学中任选 2 人在班内 进行读后分享，则选中的 2 人都读过红楼梦的概率为( ) A 1 5 B 3 10 C 2 5 D 1 2 5 （5 分）若单位向量a，b满足|2| 2 2ab，则向量a，b夹角的余弦值为( ) A 3 4 B 3 5 C 3 4 D 3 5 6 （5 分）已知( )f x是R上的奇函数，且对xR，有(2)( )f xf x 当(0,1
3、)x时， ( )21 x f x ，则 2 (log 41)(f ) A40 B 25 16 C 23 41 D 41 23 7 （5 分）若函数 3 ( )2cossin()(*) 32 f xxxN 的图象的一条对称轴为 12 x ， 则的最小值为( ) A5 B3 C2 D1 8 （5 分）正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，E为BC的中点，则四面体 1 AEDC的体积为 ( ) 第 2 页（共 19 页） A4 B 8 ? 3 C 4 ? 3 D2 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）设 52345
4、012345 (1 2 ) xaa xa xa xa xa x，则满足 2 11 2 nnn aaa 的正整数n的 值可能为( ) A1 B2 C3 D4 10 （5 分）已知23 x ，34 y ，则( ) A 3 2 x B2xy Cxy D2 2xy 11 （5 分）已知双曲线 22 :1 42 xy C的右焦点为F，两条直线 1 22xyt， 2 22xyt 与C的交点分别为A，B，则可以作为| |FAFB的充分条件的是( ) A 1 1t ， 2 8t B 1 2t ， 2 3t C 1 2t ， 2 4t D 1 1t ， 2 4t 12 （5 分）已知正方体的外接球与内切球上各有
5、一个动点M、N，若线段MN的最小值为 31，则( ) A正方体的外接球的表面积为12 B正方体的内切球的体积为 4 3 C正方体的棱长为 2 D线段MN的最大值为2 3 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病 毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分 布(0.1N， 2 0.3 )， 从已经生产出的测温门中随机取出一件， 则其测量体温误差在区间(0.4,0.7) 内 的 概 率 为 （ 附 ： 若 随 机 变 量服
6、从 正 态 分 布 2 ( ,)N ， 则 ()6 8 . 2 7 %P，(22 )95.45%)P 14 （5 分）方程 22 2 1 2 xy kk 表示椭圆，则实数k的取值范围是 15 （5 分）已知函数 1 ( ) |1|1| 2 f xxxx，若函数( )( )g xf xb恰有四个零点，则 实数b的取值范围是 第 3 页（共 19 页） 16 （5 分）如图，在正三棱柱 111 ABCABC中，3AB ， 1 4AA ，M为 1 AA的中点，P是 BC上一点，且由点P沿棱柱侧面经过棱 1 CC到M的最短路线长为29，设这条最短路线 与 1 CC的交点为N，则该三棱柱的侧面展开图的对
7、角线长为 ；PC的长为 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （ 10 分 ） 在ABC中 ， 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 若 2 3s i nc o sc o sc o saBbBCcB （1）求角B的值； （2）若 6 A ，且ABC的面积为7 3，求BC边上的中线AM的长 18 （12 分）随着视频传输和移动通信技术的日益成熟、以及新冠疫情的推动，直播电商 的模式正在全球范围内掀起热潮 目前， 国际上Amazon、Ra utenk等电商平台和以Facebook 为代表的社交类平台都纷纷上线了直播电商业务；在国内，淘宝、京东、抖音、拼
8、多多、苏 宁等众多平台都已成为该赛道内的玩家根据中研产业研究院20202025年中国直播电 商行业市场深度分析及投资战略咨询研究报告显示，2020 年上半年， “直播经济”业态主 要岗位的人才达到 2019 年同期的 2.4 倍；2020 年“6 18”期间，带货主播和直播运营两大 岗位高达去年同期的 11.6 倍针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部门推出了针 对电商的商品和服务的评价体系 现从评价系统中选出 200 次成功交易， 并对其评价进行统 计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易 为 80 次 （1）请完成关于商品和服务评价的2
9、2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 对商品不满意 10 第 4 页（共 19 页） 合计 200 （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全为好 评的次数为随机变量X，求对商品和服务全为好评的次数X的分布列和数学期望 附临界值表： 2 ()P K 卥 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 K的观测值： 2 2 () (
10、)()()() n adbc K ab cdac bd （其中)nabcd 19 （12 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知n个圆 1 C， 2 C， n C与x轴和直线 :3(1)l yx均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆 222 :()()( iiii Cxaybr l i n剟， * iN， 21 18 n aaa ，0 i b ，0) i r （1）求数列 n a的通项公式； （2）记n个圆的面积之和为S，求证： 243 8 S 20 （12 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点的直线 11 :(0)l yxkk交拋物线 2 :2C yx于点P（异于原点)O，抛物线C上点P
11、处的切线交y轴于点M，设线段OP的 中点为N，连结线段MN交C于点T （1）求 | | TM MN 的值； （2） 过点P作圆 22 :(1)1Oxy的切线交C于另一点Q， 设直线OQ的斜率为 2 k， 证明： 12 |kk为定值 第 5 页（共 19 页） 21（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD是直角梯形，ABAD，/ /ABCD， PC 底面ABCD，222 2ABADCD，E是PB的中点 （1）求证：PACB； （2）若三棱锥DACE的体积为 1，求二面角PACE的正弦值 22 （12 分）已知函数 2 ( ) x f xeaxb的图象在点0 x 处的切线为ya
12、x （1）求函数( )f x的解析式； （2）当xR时，求证： 2 ( )f xxx； （3）若( )0f xkx对任意的(0,)x恒成立，求实数k的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2022 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（7） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）如图，阴影部分表示的集合为( ) A() U AB B() U BA C() U AB D() U BA 【解答】解：从图中可以看出阴影部分在 UA 内，同时也在集合B内， 故选：B 2 （5 分）已知复数
13、z满足1(izi i 为虚数单位） ，则z在复平面内对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：11izizi ， 故z在复平面内对应的点为( 1, 1) ，在第三象限， 故选：C 3 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “二百五十二里关，初日健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意为：有一个人走 252 里路，第一 天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天到达目的地，则此人 后四天走的路程为( ) A198 里 B192 里 C60 里 D90 里 【解答】解：由题设可知：此人每天走的路程构成公比为 1
14、 2 的等比数列，不妨设为 n a， 其前n项和为 n S， * nN且6n， 又 6 1 6 1 1( ) 2 252 1 1 2 a S ，解得： 1 128a ， 2 62 1 128(1) 2 25260 1 1 2 SS ， 即此人后四天走的路程为 60 里， 第 7 页（共 19 页） 故选：C 4 （5 分）从只读过论语的 3 名同学和只读过红楼梦的 3 名同学中任选 2 人在班内 进行读后分享，则选中的 2 人都读过红楼梦的概率为( ) A 1 5 B 3 10 C 2 5 D 1 2 【解答】解：设只读过论语的三名同学为x，y，z，只读过红楼梦的三名学生为 a，b，c， 设选
15、中的 2 人都读过红楼梦为事件A， 从只读过论语的 3 名同学和只读过红楼梦的 3 名同学中任选 2 人， 基本事件有 15 种，分别为： ( , )x y，( , )x z，( , )x a，( , )x b，( , )x c，( , )y z，( , )y a，( , )y b， ( , )y c，( , )z a，( , )z b，( , )z c，( , )a b，( , )a c，( , )b c， 其中事件A包含的基本事件个数有 3 种，分别为：( , )a b，( , )a c，( , )b c， 选中的 2 人都读过红楼梦的概率为 31 155 P 故选：A 5 （5 分）若单
16、位向量a，b满足|2| 2 2ab，则向量a，b夹角的余弦值为( ) A 3 4 B 3 5 C 3 4 D 3 5 【解答】解：根据题意，设向量a，b夹角为， 若单位向量a，b满足|2| 2 2ab， 则有 222 (2)4454cos8ababa b ， 则有 3 cos 4 ， 故选：A 6 （5 分）已知( )f x是R上的奇函数，且对xR，有(2)( )f xf x 当(0,1)x时， ( )21 x f x ，则 2 (log 41)(f ) A40 B 25 16 C 23 41 D 41 23 【解答】解：根据题意，函数( )f x满足(2)( )f xf x ，则(4)(2)
17、( )f xf xf x ， 即( )f x是周期为 4 的周期函数， 第 8 页（共 19 页） 又由 222 log325log41log646，且( )f x为奇函数，则 2222 (log 41)(log 414)(log 416)(6log 41)ffff ， 而 2 6log 41(0,1)，则 2 641 2 6423 (6log 41)21 4141 log f ， 故选：C 7 （5 分）若函数 3 ( )2cossin()(*) 32 f xxxN 的图象的一条对称轴为 12 x ， 则的最小值为( ) A5 B3 C2 D1 【解答】解： 33cos211 ()2coss
18、in()2cos(sincoscossin)3sin2cos(2) 32332226 x fxxxxxxxx ， 由于图象的一条对称轴为 12 x ， 所以() 66 kkZ ， 解得61k， 当1k 时，5，即最小值 故选：A 8 （5 分）正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，E为BC的中点，则四面体 1 AEDC的体积为 ( ) A4 B 8 ? 3 C 4 ? 3 D2 【解答】解：由题意，四面体 1 AEDC的底面积为： 1 222 2 ，高为 2， 所以则四面体 1 AEDC的体积为： 14 22 33 故选：C 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20
19、 分，每小题分，每小题 5 分）分） 第 9 页（共 19 页） 9 （5 分）设 52345 012345 (1 2 ) xaa xa xa xa xa x，则满足 2 11 2 nnn aaa 的正整数n的 值可能为( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解：二项式的展开式的通项 155 (2 )2 nnnnn n TCxCx ， 所以 52 nn n aC，要使 2 11 2 nnn aaa ， 则 21111 555 (2 )222 nnnnnn CCC ， 即 222 5!5!5! ()222 !(5)!(1)!(6)!(1)!(4)! nn nnnnnn ， 化简得 2 560nn
20、，解得2n 或 3， 故选：BC 10 （5 分）已知23 x ，34 y ，则( ) A 3 2 x B2xy Cxy D2 2xy 【解答】解：23 x ，34 y ， 2 log 3x， 3 2log 2y ， 因为98， 23 32，故 3 22 2log 32log，即 2 2log 33， 3 2 x，所以选项A错误， 23 log 3 2log 22xy ，所以选项B正确， 223 344 logloglog 233 ， 23 34 1log1log 23 ， 即 23 log 3log 4，所以选项C正确， 由于B正确，所以22 2xyxy，所以选项D正确 故选：BCD 11
21、（5 分）已知双曲线 22 :1 42 xy C的右焦点为F，两条直线 1 22xyt， 2 22xyt 与C的交点分别为A，B，则可以作为| |FAFB的充分条件的是( ) A 1 1t ， 2 8t B 1 2t ， 2 3t C 1 2t ， 2 4t D 1 1t ， 2 4t 第 10 页（共 19 页） 【解答】解： 2 11 22 1 822 242 2 A txyt x xyt ，同理 2 2 2 8 2 2 B t x t ，要使| |FAFB，则 AB xx， 则 22 12 121 2 12 88 ()(8)0 2 22 2 tt ttt t tt ，又 12 tt，则
22、1 2 8t t ， 故选：AC 12 （5 分）已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段MN的最小值为 31，则( ) A正方体的外接球的表面积为12 B正方体的内切球的体积为 4 3 C正方体的棱长为 2 D线段MN的最大值为2 3 【解答】 解： 设正方体的棱长为a， 则正方体的外接球的半径为对角线的一半， 即 3 2 a R ， 内切球为棱长的一半，即 2 a r ， 由于M和N为外接球和内切球上的动点， 对于C：所以 3 31 22 min aa MN，解得2a 故C正确； 对于A：所以外接球的表面积为 2 4( 3)12S，故A正确； 对于B：内切球的体积为 3 44
23、 1 33 V ，故B正确； 对于D：线段MN的最大值为 3 31 22 aa ，故D错误 故选：ABC 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病 毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分 布(0.1N， 2 0.3 )， 从已经生产出的测温门中随机取出一件， 则其测量体温误差在区间(0.4,0.7) 内 的 概 率 为 13.59% （ 附 ： 若 随 机 变 量服 从 正 态 分 布 2 ( ,)N ， 则 ()6
24、 8 . 2 7 %P，(22 )95.45%)P 【解答】解：由红外线自动测温门测量体温误差服从正态分布(0.1N， 2 0.3 )， 第 11 页（共 19 页） 得0.1，0.3 测量体温误差在区间(0.4,0.7)内的概率为： 1 (0.40.7)(2 ) (22 )()13.59% 2 PPPP 故答案为：13.59% 14 （5 分） 方程 22 2 1 2 xy kk 表示椭圆， 则实数k的取值范围是 ( 2，2)(2，) 【解答】解：方程 22 2 1 2 xy kk 表示椭圆， 可得 2 2 0 20 2 k k kk ，解得( 2k，2)(2，) 故答案为：( 2，2)(2
25、，) 15 （5 分）已知函数 1 ( ) |1|1| 2 f xxxx，若函数( )( )g xf xb恰有四个零点，则 实数b的取值范围是 3 ( 2 ，2) 【解答】解：函数( )( )g xf xb恰有四个零点，可转化为( )yf x与yb有四个交点， 3 1 2 1 2, 10 2 ( ) 1 2,01 2 3 ,1 2 x x xx f x xx x x ， 作出( )yf x的简图，结合图像，可得： 3 2 2 b 故答案为： 3 ( 2 ，2) 16 （5 分）如图，在正三棱柱 111 ABCABC中，3AB ， 1 4AA ，M为 1 AA的中点，P是 第 12 页（共 19
26、 页） BC上一点，且由点P沿棱柱侧面经过棱 1 CC到M的最短路线长为29，设这条最短路线 与 1 CC的交点为N，则该三棱柱的侧面展开图的对角线长为 97 ；PC的长为 【解答】解：因为正三棱柱 111 ABCABC的侧面展开图是一个长为 9，宽为 4 的矩形，其对 角线长 22 9497； 如图， 将侧面 11 BBC C绕棱 1 CC旋转120使其与侧面 11 AAC C在同一平面上， 点P运动到点 1 P 的位置，连接 1 MP， 则 1 MP就是由点P沿棱柱侧面经过棱 1 CC到点M的最短路线 设PCx，则 1 PCx，在 1 Rt MAP中，由勾股定理得 22 (3)229x 求
27、得2x 1 2PCPC； 故答案为：97，2 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （ 10 分 ） 在ABC中 ， 角A，B，C的 对 边 分 别 为a，b，c， 若 2 3s i nc o sc o sc o saBbBCcB （1）求角B的值； （2）若 6 A ，且ABC的面积为7 3，求BC边上的中线AM的长 【解答】解： （1）因为 2 3 sincoscoscosaBbBCcB， 第 13 页（共 19 页） 所 以 由 正 弦 定 理 可 得 2 3sinsinsincoscossincosABBBCCB， 可 得 3s i ns i nc
28、o s( s i nc o ss i nc o s)c o ss i nABBBCCBBA， 因为sin0A，可得3sincosBB，即 3 tan 3 B ， 由(0, )B，可得 6 B （2）由已知 6 A ，则ABC是等腰三角形， 2 3 C ，设2ACBCa， 可得 22 112 sin(2 ) sin3 223 ABC SAC BCACBaa ， 由已知ABC的面积为7 3，得 2 7a ，7a ，可得2 7ACBC， ACM中，由余弦定理， 222 2 2cos 3 AMCACMCA CM 22 1 (2 7)( 7)22 77() 2 49， 所以7AM 18 （12 分）随着
29、视频传输和移动通信技术的日益成熟、以及新冠疫情的推动，直播电商 的模式正在全球范围内掀起热潮 目前， 国际上Amazon、Ra utenk等电商平台和以Facebook 为代表的社交类平台都纷纷上线了直播电商业务；在国内，淘宝、京东、抖音、拼多多、苏 宁等众多平台都已成为该赛道内的玩家根据中研产业研究院20202025年中国直播电 商行业市场深度分析及投资战略咨询研究报告显示，2020 年上半年， “直播经济”业态主 要岗位的人才达到 2019 年同期的 2.4 倍；2020 年“6 18”期间，带货主播和直播运营两大 岗位高达去年同期的 11.6 倍针对这一市场现象，为了加强监管，相关管理部
30、门推出了针 对电商的商品和服务的评价体系 现从评价系统中选出 200 次成功交易， 并对其评价进行统 计，对商品的好评率为 0.6，对服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易 为 80 次 （1）请完成关于商品和服务评价的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 对商品不满意 10 第 14 页（共 19 页） 合计 200 （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全为好 评的次数为随机变量X，求对商品和服务全为好评的次数X的分布列和数
31、学期望 附临界值表： 2 ()P K 卥 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 K的观测值： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd （其中)nabcd 【解答】解： （1）由题意可得关于商品和服务评价的22列联表如下： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 2 2 200 (80 1040 70) 11.111 10.828 150 50 12
32、0 80 K ， 故能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为商品好评与服务好评有关； （2）每次购物中，对商品和服务全为好评的概率为 2 5 ，且X的取值可以是 0，1，2，3， 其中 3 227 (0)(1) 5125 P X ， 12 3 2254 (1)(1) 55125 P XC， 22 3 2236 (2)( ) (1) 55125 P XC， 3 28 (3)( ) 5125 P X X的分布列为： X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 由于 2 (3, ) 5 XB，则X的数学期望 26 ()3 55 E X 19 （12 分）如
33、图，在平面直角坐标系xOy中，已知n个圆 1 C， 2 C， n C与x轴和直线 :3(1)l yx均相切，且任意相邻两圆外切，其中圆 222 :()()( iiii Cxaybr l i n剟， * iN， 21 18 n aaa ，0 i b ，0) i r （1）求数列 n a的通项公式； 第 15 页（共 19 页） （2）记n个圆的面积之和为S，求证： 243 8 S 【解答】解： （1）设直线l与x轴、y轴分别交于点P，Q， 根据题意可知，点 i C到x轴的距离和到直线l的距离均为半径， 所以圆心 i C都在QPO的平分线 3 (1) 3 yx上，且 ii br， 所以 3 (1)
34、 3 ii ba，则 11 3 (1)3 3 3 ba， 设圆 i C在x轴上的切点为(1 i A i ，2，3，)， 在 nn PC A和 11nn PCA 中，因为| nnn C Ab， 111 | nnn CAb ，30 nn C PA， 所以| 2 nn PCb， 11 | 2 nn PCb ， 因为相邻两圆外切，所以 11 | | nnnn PCPCC C ， 所以 11 22() nnnn bbbb ，即 1 1 3 nn bb ， 所以数列 n b是首项为3 3，公比为 1 3 的等比数列， 所以 5 1 2 11 3 3 ( )( ) 33 n n n b ， 因为 3 (1)
35、 3 nn ba，所以 1 1 ( )1 3 n n a ； （2）证明：如图，记圆 i C的面积为 i S，则 2 ii Sb， 由（1）可知， 5 2 1 ( ) 3 i i b ，代入上式可得， 225 1 ( ) 3 i ii Sb ， 从而这n个圆的面积之和 25 1 1 271( ) 1279243 9 ( ) 1 388 1 9 n n i i S 20 （12 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点的直线 11 :(0)l yxkk交拋物线 2 :2C yx于点P（异于原点)O，抛物线C上点P处的切线交y轴于点M，设线段OP的 第 16 页（共 19 页） 中点为N，连结线
36、段MN交C于点T （1）求 | | TM MN 的值； （2） 过点P作圆 22 :(1)1Oxy的切线交C于另一点Q， 设直线OQ的斜率为 2 k， 证明： 12 |kk为定值 【解答】解： （1）设 2 ( 2 a P，)(0)a a ，则在点P处的切线方程为 2 () 2 a yxak，0k， 联立方程组 2 2 2 () 2 yx a yxa k ，消去x整理可得： 22 22 0 ya ya kk ， 由 2 2 42 4()0 a a kk ，解得 1 a k，则切线方程为 1 2 a yx a ， 则(0,) 2 a M， 2 (, ) 42 aa N， 联立方程组 2 2 2
37、yx a y ，解得 2 , 82 aa xy，即 2 (, ) 82 aa T即T为MN的中点， 所以 |1 |2 TM MN ； （2）证明：当直线PQ的斜率不存在时，其直线为2x ， 解得(2,2)P，(2, 2)Q， 1 1k， 2 1 k，则 12 | 2kk， 当直线PQ的斜率存在时，设方程为ymxb，由题意知0m ，0b ， 因为直线PQ与圆O相切，所以 2 | 1 1 mb m ，即 2 21bmb， 联立方程组 2 2yx ymxb ，得到 222 2(1)0m xmbxb， 第 17 页（共 19 页） 设 1 (P x， 1) y， 2 (Q x， 2) y， 12 0
38、x x ，则 2 1212 22 2(1) , mbb xxx x mm ， 又 12 12 12 , yy xx kk，则 1221122112 12 121212 ()() | | | | yyx yx yx mxbx mxb xxx xx x kk 22 21212 1212 12 ()() | |()4 | b xxm xxm xxx x x xbb 2222222 42 4(1)44(12)4(1)44 2 | mbm bmbmmbbb bmmbbb ， 综上可知 12 |kk为定值 2 21（12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD是直角梯形，ABAD，/ /AB
39、CD， PC 底面ABCD，222 2ABADCD，E是PB的中点 （1）求证：PACB； （2）若三棱锥DACE的体积为 1，求二面角PACE的正弦值 【解答】 （1）证明：PC 平面ABCD，BC 平面ABCD， BCPC， 因为直角梯形ABCD中，2 2,2ABADCD，所以2ACBC， 所以 222 ACBCAB，所以BCAC， 又ACPCC，所以BC 平面PAC 又因为PA平面PAC， 所以BCPA （2）解：以C为坐标原点，,CB CA CP为x，y，z轴的正方向建系如图， 易知(0C，0，0)，(2B，0，0)，(0A，2，0)， 设(0P，0，2 )h，则(1E，0，)h， 第
40、 18 页（共 19 页） 易知ACD的面积为 1 221 2 ， 由三棱锥DACE，即三棱锥EACD的体积为 1， 得 1 11 3 h ，故3h 即(0P，0，6)，(1E，0，3)， 由（1）知，(2,0,0)mCB是平面PAC的一个法向量， 设( , , )nx y z是平面EAC的一个法向量， (0,2,0)CA，(1CE ，0，3)， 则 0 0 n CA n CE ，即 20 30 y xz ，解得取1z ，则3x ， 故(3,0, 1)n ， 设二面角PACE大小为，则 63 cos |/ / |21010 m n mn ， 于是 110 sin 1010 22 （12 分）已
41、知函数 2 ( ) x f xeaxb的图象在点0 x 处的切线为yax （1）求函数( )f x的解析式； （2）当xR时，求证： 2 ( )f xxx； （3）若( )0f xkx对任意的(0,)x恒成立，求实数k的取值范围 【解答】 （1）解：函数 2 ( ) x f xeaxb的导数为( )2 x f xeax， 在点0 x 处的切线为yax，即有(0)fa，即为1a ， 即切线为yx， 又切点为(0,1)b，即10b，解得1b ， 第 19 页（共 19 页） 即有 2 ( )1 x f xex； （2）证明：令 2 ( )( )1 x xf xxxex， 则( )1 x xe，(
42、)0 x，则0 x ， 当0 x 时，( )0 x，( )x单调递减，当0 x 时，( )0 x，( )x单调递增， 则( )(0)0 min x，所以( ) 0 x， 所以 2 ( )f xxx； （3）解：若( )0f xkx对任意的(0,)x恒成立， 即为 ( )f x k x 对任意的(0,)x恒成立， 令 ( ) ( ) f x g x x ，0 x ， 则 2 ( )( ) ( ) xfxf x g x x ， 2 22 (2 )(1)(1)(1) xxx x exexxex xx ， 由（2）知，当0 x 时，10 x ex 恒成立，则当01x时，( )0g x，( )g x单调递增， 当1x 时，( )0g x，( )g x单调递减， 即有( )maxg xg（1）2e，则( )2 max kg xe， 即k的取值范围是(2,)e
