1、2021 年兰州市高三诊断考试数学（理科）参考答案及评分标准 1A 2B 3A 4C 5 6D 7B 8C 9D 10B 11D 12B 11 【解析】由题意可知2a，故 2 3b，设切线斜率为k 由 22 2(2) 3412 yk x xy 得 222 (3 4)16 (1)163240kxk kxkk 222 16 (1)16(3 4)(481)16(243)0k kkkkk 1 8 k 12 【解析】由于0 x时( ) x x f x e ， 1 ( ) x x fx e 可知当01x时，函数单调递增，当1x时，函数单 调递减，当1x时函数有最大值 1 e ， 又由于当0 x时，( )0
2、f x，(0)0f，因此可以画 出函数(1)f x与2sinyx的图象如图，由图象可 知，在区间(1,6内两图象有 4 个交点，根据对称性，在区间 4,1)内也有 4 个与它们关于点(1,0)对称的交 点，这四对点的横坐标之和为2 48，再加(1,0)点横坐标，故各交点横坐标之和为 9 1380，8（第 1 空 2 分，第二空 3 分） 143 1523 16 27 1 16 【解析】在ABC中，0)2(=+BCACAB，)cos(cos2BacAbc=则有BacAbccoscos2=， 由余弦定理可知 ac bca a bc acb b 22 2 222222 + = + 可得 222 33
3、cba=，由正弦定理可知 CBA 222 sin3sin3sin=，由题 3 1 sin=C，所以 27 1 sinsin 22 =BA 17 【解析】 （）等差数列 n a的前n项和 2 )( 1n n aan S + =，得9 3 2 12 2 63 11 32 211 631 21 63 = + + = a a aa aa S S ）（ ）（ 由题21 11= a可得63 32 =a ，等差数列 n a的公差2=d,1 1= a, 所以通项公式12 = nan.6 分 （）由()可知 ()()()()12 1 12 1 ( 2 1 1212 1 + = + = nnnn bn的前n项和
4、) 12 1 12 1 (.) 5 1 3 1 () 3 1 1( 2 1 + += nn Tn，则 12 ) 12 1 1 ( 2 1 + = + = n n n Tn.12 分 18 【解析】 （）由题可知A是CD的中点，ACAB =，BCD中ADACAB= 所以CBD为直角三角形，=90CBD即BDBC 由题可知36=PB，12=PC,6=BC, 则有 222 BCPBPC+=,PBBC ,BBDPB= 所以BC平面PBD.6 分 （）法一：由（）可知BC平面PBD，取BD中点为G，连接AG,则 有BCAG/,所以AG平面PBD,作PBGH ,交PB于H，连接AH,则 AHG即为二面角的
5、平面角 由题可知36=PDBDPB,则 2 9 =GH,3 2 1 =BCAG 直角三角形AGH中， 2 133 22 =+=AGGHAH则 13 133 2 133 2 9 cos= AH GH AHG,所以二面角APBD的余弦值为 13 133 . 法二：由（）可知BC平面PBD，如图以B为坐标原点， DB，垂直于DB的直线，BC分别为zyx,轴，建立空间直角坐标系，则 )0 , 9 , 33(),3 , 0 , 33(=BPBA设平面PBA的一个法向量）（zyxn, 1= , 则 = = 0 0 1 1 BPn BAn 即 =+ =+ 0933 0333 yx zx ，令1=y，得），（
6、313 1 =n 平面PBD的一个法向量），（100 2 =n设二面角APBD的大小为，则 13 133 13 3 ,coscos 21 21 21 = = nn nn nn 如图所示二面角为锐角，则二面角APBD的余弦值为 13 133 .12 分 19.【解析】 x y z （）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件 A，该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目 为事件 B，根据题意可知： 12 3 113 ( )( )( ) 228 P AC， 2 11521217 ( )( )2 636335418 P B.5 分 （）设该考生报考甲大学通过的科目数为X，报考乙大学通过的科目数为Y，
7、根据题意可知， 1 (3, ) 2 XB，则 13 ()3 22 E X 随机变量Y满足概率为： 515 (0)(1)(1) 6318 P Ymm 115251111 (1)(1)(1) 636363183 P Ymmmm 12115211 (2)(1) 63636392 P Ymmmm 121 (3) 639 P Ymm Y 0 1 2 3 P 5 (1) 18 m 111 183 m 11 92 m 1 9 m 111215 ( ) 183936 E Ymmmm，若要( )()E YE X，则 53 62 m，故 2 1 3 m.12 分 20 【解析】 （）由已知得(1,0)F，所以圆F
8、的方程为 22 (1)9xy 由 22 2 (1)9 4 xy yx 得 2 280 xx 解得：2x或4x，由于0 x，所以2x.5 分 （）设弦AB的中点为M， 2 1 1 (,) 4 y Ay， 2 2 2 (,) 4 y By， 00 (,)M xy 则 22 12 0 8 yy x， 22 0 2 yy y，设中垂线的方程为 00 (4)(0)yk xk， 则直线AB的斜率 12 22 12120 421 44 AB yy k yyyyyk 0 2yk 00 (4)(0)yk xk 0 2x 则直线AB的方程为 0 ()2k yyx 由 0 2 ()2 4 k yyx yx 得 2
9、0 2 4 y kyky，即 22 4880ykyk 222 16323216320kkk 2 02k 12 4yyk 2 12 88y yk 22 12 12 (1)(1) 44 yy FA FBy y 222 12 1212 1 ()() 1 44 y y yyy y 2222 3 4(1)4(88) 1 2 kkk 4 47k FA FB的范围是( 7,9).12 分 21 【解析】 （）解：由已知可得( )cos1g xx 当( )0g x时，2,xkkZ，由余弦函数的性质可知，当(2,2(1) ),xkkkZ时，( )0g x， 故函数( )( )g xf xx为减函数，无极值.5
10、分 （）证明：由于 24224242 112 ( )sin0cos221 333 f xxaxxxaxxxax 因此要证原命题成立，只需证 42 2 cos221 3 xxax成立 令 42 2 ( )cos22 3 h xxxax，则 3 8 ( )2sin24 3 h xxxax 令 3 4 ( )sin22 3 s xxxax， 则 2 ( )2cos242s xxxa 2 2(cos22)xxa 22 2(1 2sin2)xxa 由（）可知，当0 x时，( )(0)0g xg，即0sin xx， 22 sin xx 当x时，|sin| 1xx， 22 sin xx 因此，当0 x时，
11、22 sin xx 2222 ( )2(1 2sin2)2(1 22)2(1)0s xxxaxxaa 当0 x时( )s x为增函数 ( )(0)0s xs，即( )0h x 当0 x时( )h x为减函数 ( )(0)1h xh 原命题得证.12 分 22 【解析】 （）若3=r，曲线 2 C的直角坐标方程为：9)4( 22 =+yx，双曲线 1 C：4 22 = xy， 一条渐近线方程为:0= yx,圆心()04，到直线的距离22 2 04 = =d，189) 2 ( 2 = AB ，则 2=AB.5 分 另解：可知双曲线 1 C：4 22 = xy，一条渐近线方程为:0= yx，其极坐标
12、方程为() 4 R 由 2 8 cos70 4 得 2 4 270，故 12 4 2， 12 7 2 121212 | |()42AB （）若1=r ，曲线 2 C的直角坐标方程为：1)4( 22 =+yx，圆心()04，半径1=R， 设双曲线 1 C上任取点),( 00 yxP ，则 20824)4()4( 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 02 +=+=+=xxxxyxPC， 当2 0 =x时， 2min 2 3PC， 2 minmin 2 3 1PQPCR.10 分 23 【解析】 （）当 1a 时，函数的解析式可化为： + + = , 2, 32 , 2, 32 )( 2 2 x
13、xx xxx xf故函数图象如图 .5 分 （）当0a时，( )23f xxx在0 x时显然成立； 当0a时，由于0 x，20ax，故 2 ( )23f xaxx 2 ( )30f xxaxx，此式显然在0 x时成立； 当0a时， 当 2 0 x a 时， 2 ( )23f xaxx，当 1 (0,)x a 时函数增，当 1 2 (,x a a 时函数减， 当 2 x a 时， 2 ( )23f xaxx，函数为增函数 因此，当0 x时， 2 ( )( )(0)3f xff a 令( )g xx，若要( )f xx恒成立，只需 22 ( )3g aa ，所以 2 3 a 综上可知，当0a或 2 3 a时，满足条件.10 分
