1、义务教育教科书七年级下册义务教育教科书七年级下册 第六章第六章 实数实数 6.2 6.2 立方根立方根 目录目录 情景剧表情景剧表 演导入演导入 讲授新课讲授新课 总结归纳总结归纳 例题讲解例题讲解 归纳方法归纳方法 延伸探延伸探 究归纳究归纳 中考中考 链接链接 课堂课堂 小结小结 布置布置 作业作业 学习目标 理解立方根和开立方的定义、性质理解立方根和开立方的定义、性质 ； 掌握用立方与开立方的互逆运算求数掌握用立方与开立方的互逆运算求数 的立方根的技巧；的立方根的技巧； 培养生类比和分类讨论的数学意识培养生类比和分类讨论的数学意识 类比类比 立方根的定义立方根的定义 一般地，如果一个数的
2、平一般地，如果一个数的平 方等于方等于a a，那么这个数就叫，那么这个数就叫 做做a a 的的平方根平方根或或二次方根二次方根 回忆：平方根定义回忆：平方根定义 即即a a 的立方根是的立方根是X X 那么那么x x叫做叫做a a 的平方根的平方根. .即即a a 的平方根是的平方根是 X X 新知探究新知探究1 1 如果如果x x3 3 = =a a， 一般地，如果一个数的一般地，如果一个数的立方立方 等于等于a a，那么这个数就叫做，那么这个数就叫做a a 的的立方根立方根或或三次方根三次方根 那么那么X X叫做叫做a a 的的 立方根立方根 如果如果x x2 2 = =a a， ( )3
3、=8 ( )3= ( )3=0 ( )3=-64 ( )3=-0.729 数数a 2 -0.9 8 a的立的立 方根方根 填一填：填一填： 0 -64 4 3 64 27 64 27 求一个数的立方根的运算，叫做求一个数的立方根的运算，叫做开立方开立方 0 -4 正如开平方与平方互为逆运算一样，正如开平方与平方互为逆运算一样， 开立方与立方也互为逆运算。开立方与立方也互为逆运算。 -0.729 立方根的表示立方根的表示 其中其中a是是被开方数被开方数，是，是根指数根指数，符号“，符号“ ” 读做“读做“三次根号三次根号” a 被开方数被开方数 根指数根指数 三次根号三次根号 注：注：3不能不能
4、省略省略 3 2727的立方根表示为 3 6464-的立方根是 3 新知探究新知探究2 2 2的立方根是多少？的立方根是多少？ 6的立方根呢？的立方根呢？ 15的立方根呢？的立方根呢？ 根据立方根的意义填空根据立方根的意义填空.你能发现正数、你能发现正数、0和负数的立方根各有和负数的立方根各有 什么特点吗？什么特点吗？ 因为因为 ，所以，所以8的立方根是（的立方根是（ ）；）； 因为因为 ，所以，所以0.064的立方根是（的立方根是（ ）；）； 因为因为 ，所以，所以0的立方根是（的立方根是（ ）；）； 因为因为 ，所以，所以8的立方根是（的立方根是（ ）；）； 因为因为 ，所以，所以 的立方
5、根是（的立方根是（ ） 3 2 =8 0.064) ( 3 0) ( 3 8) ( 3 27 8 ) ( 3 27 8 2 0.4 0.4 0 0 -2 -2 2 3 - 新知探究新知探究3 3 2 3 - 正数正数的立方根是的立方根是正数正数 归纳性质：正数、正数、0、负数的立方根、负数的立方根 负数负数的立方根是的立方根是负数负数 0的立方根是的立方根是0 正正 数数 0 负负 数数 你能说说数的平你能说说数的平 方根与数的立方根方根与数的立方根 有什么不同吗？有什么不同吗？ 平方根平方根 立方根立方根 定义定义 性性 质质 符号符号 00 3 )(a 3 为任意数a)0(aa 若若x3=
6、a，则，则x叫叫 做做a的的立方根立方根 正数有正数有一个一个正的立方根正的立方根 负数负数有一个有一个负的立方根负的立方根 若若x2=a（a0）,则则 x叫做叫做a的的平方根平方根 正数有正数有两个两个平方根，平方根， 而且它们互为相反数而且它们互为相反数 负数负数没有没有平方根平方根 00 夯实基础A 【方法总结方法总结】 带分数化成假分数，再求立方根带分数化成假分数，再求立方根 立方根的符号与被开方数的符号一致立方根的符号与被开方数的符号一致 1 1、求下列各数的立方根、求下列各数的立方根： （1） （2） （3） 64 8 3 327 3 解：解： ）（ 1464 3 )3(327 3
7、 327的立方根是 3 3 2 3 8 27 8 3 3)2( 3 3 2、求下列各式的值 解： 8 1 1）（ 3 64 37 12）（ 3 2 1 2 1 8 1 1 ）（ 3 4 3 64 27 64 37 12）（ 3 3 夯实基础B 【方法总结方法总结】 先把每个根号下的数化简，看是不是一个数的立方，先把每个根号下的数化简，看是不是一个数的立方， 再求值，注意符号问题。再求值，注意符号问题。 3、求下列各式中x的值： 解： 027641 3 x）（ 82x2 3 ）（ 解： 2764 3 x 4 3 x 64 27 3 x22x 4x 夯实基础C 【方法总结方法总结】 需转化为需转化
8、为 X X3 3=a =a 的简便形式的简便形式 将将(X(X- -2)2)3 3中的中的X X- -2 2看做一个整体看做一个整体 3 64 27 x 3 82 x 填空填空，你能发现其中的规律吗你能发现其中的规律吗？ 因为因为 ， 所以所以 因为因为 所以所以 3 8 3 8=_,- 3 8 _ 3 8； 3 27_, 3 27_, _27 3 3 27. 33 aa -2 -2 -3 -3 探究发现探究发现 求下列各数的值，并找规律。求下列各数的值，并找规律。 33 2 3 3 )2( 2 -2 33 )3( -3 33 3 3 33 4 33 0 4 0 aa 33 8 3 3 5 3
9、3 (8) 8 3 3 27 3 3 27 3 3 0 -27 0 3 3 8 27 5 aa 3 3 探究发现探究发现 填写下面的表格，并发现规律。填写下面的表格，并发现规律。 归纳：归纳：被开方数的小数点每向右（或向左）移动被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位三位， 立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位一位。 探究发现探究发现 被开方数被开方数 立方根立方根 0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0. 1 1 10 100 被开方数被开方数 立方根立方根 0.000008 0.008 8 8000 8000
10、000 0.02 0. 2 2 20 200 猜想：猜想： 验证：验证：(可使用计算器可使用计算器) 被开方数被开方数 立方根立方根 0.003 3 3000 0.1442 1.442 14.42 能力提升 1 1、立方根、立方根“搭桥搭桥” ” 平方根平方根 已知已知5x+32的立方根是的立方根是-2，求，求x+17的的 平方根。平方根。 2-的立方根是-8解： 8325x 405x 8x 917817x 。的平方根是317x 2 2、立方根、平方根、立方根、平方根“搭桥搭桥”新平方根新平方根 已知已知2a-1的平方根是的平方根是3,3a+b-1的立方根是的立方根是 3，求，求2（a+b）的
11、平方根。）的平方根。 39解：的平方根是 912 a 327的立方根是 2713ba 27115b 5a 13b 36)135(2)(2ba 6)(2的平方根为ba 中考链接 1、 的算术平方根是（的算术平方根是（ ） 8 3 2、若、若 则则a的绝对值是（的绝对值是（ ） 8 3 a 3、 的立方根是（的立方根是（ ） 2 )1( 3 2 2 1 已知 ，试求a的值。 11 22 3 aa 解：一个数的立方根等于它本身的数有解：一个数的立方根等于它本身的数有 0 0、1 1、- -1 1 分类讨论分类讨论 当当 a a2 2- -1=1=- -1 1时，时，a a2 2=0=0，a=0a=0
12、 综上所述，综上所述，a a的值为的值为1 1 、0 0 、 解题策略：解题策略： 熟记立方根等于它本身的数，熟记立方根等于它本身的数， 以及运用分类讨论思想是解题关键。以及运用分类讨论思想是解题关键。 中考链接 当当 a a2 2- -1=0 1=0 时，时，a a2 2=1=1，a=a=1 1 ； 当当 a a2 2- -1=1 1=1 时，时，a a2 2=2=2，a=a= ； 2 2 我最大的收获是我最大的收获是 我自己和同伴的表现感到我自己和同伴的表现感到 我从同学身上学到了我从同学身上学到了 在实数庄园建园周年庆期间，各种实数从四面八方赶来，在庄园在实数庄园建园周年庆期间，各种实数
13、从四面八方赶来，在庄园 广场上列成两队接受检阅，最受人瞩目的是一些带着开方符号又开不尽方的广场上列成两队接受检阅，最受人瞩目的是一些带着开方符号又开不尽方的 数，其中最吸引人眼球的是平方根和立方根。数，其中最吸引人眼球的是平方根和立方根。 当晚，立方根当晚，立方根 敲开了平方根的门，平方根带着算数平方根敲开了平方根的门，平方根带着算数平方根 和和 她的孪生姐妹她的孪生姐妹 出门迎接。出门迎接。“两根两根”一见顿觉格外亲切，细查双方根源，他一见顿觉格外亲切，细查双方根源，他 们是同胞兄弟姐妹，同属们是同胞兄弟姐妹，同属“方根方根”家族。老二平方根家族。老二平方根 是对双胞胎，她们是对双胞胎，她们
14、 出生于平方世家，来自出生于平方世家，来自 ，其中，其中x是是a的平方根，即的平方根，即 。老三立方。老三立方 根根 出生于立方名门，来自出生于立方名门，来自 ，其中，其中x是是a的立方根，即的立方根，即 。 无论是在无论是在 还是还是 中，中，a都叫做被开方数，所不同的是都叫做被开方数，所不同的是 的被开的被开 方数方数a必须是非负数，不能是负数（否则没有意义），这就是人们常说的必须是非负数，不能是负数（否则没有意义），这就是人们常说的“负负 数没有平方根数没有平方根”；而；而 的被开方数的被开方数a可以是任意数。它们分别都有一个根指可以是任意数。它们分别都有一个根指 数数2和和3，在，在
15、中的根指数中的根指数“2”被省略掉了，但在被省略掉了，但在 中的根指数中的根指数“3”是不能是不能 被省略的。被省略的。 3 aa aa a ax 2 ax 3 aax 3 3 ax a 3 aa 3 a a 3 a 平方根和立方根还有无数的弟弟和妹妹平方根和立方根还有无数的弟弟和妹妹老四、老五、老六、老七、老四、老五、老六、老七、 老八老八，他们的名字分别按根指数来命名。老四名叫四次方根，来自四次，他们的名字分别按根指数来命名。老四名叫四次方根，来自四次 方，即如果方，即如果 ，则，则x叫做叫做a的四次方根。比如的四次方根。比如 ，所以，所以2是是16的四次的四次 方根，又方根，又 ，所以，
16、所以-2也是也是16的四次方根，所以的四次方根，所以16的四次方根是的四次方根是 。 老五名叫五次方根，来自五次方，即如果老五名叫五次方根，来自五次方，即如果 则则x叫做叫做a的五次方根。比如的五次方根。比如 ,所以所以2是是32的五次方根；的五次方根； 又又 ，所以，所以-2是是-32的五次方根。的五次方根。 老二、老四、老六老二、老四、老六这些排行偶数的方根具有相同的特征：正数的偶这些排行偶数的方根具有相同的特征：正数的偶 次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根。老三，老五，老次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根。老三，老五，老 七七这些排行奇数的方根具有相同的特性：正数的奇次方根是一个正数，这些排行奇数的方根具有相同的特性：正数的奇次方根是一个正数， 负数的奇次方根是一个负数。负数的奇次方根是一个负数。 ax 4 1624 16)2( 4 2 ax 5 322532)2( 5 完成数学小册完成数学小册P27-28页。页。
