1、【 ;百万教育资源文库 】 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (全国新 课标 卷 1) 理科数学答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 解： 集合 2 0 | 2 | 2 0A x x x x x x? ? ? ? ? ?或， | 2 5 5 0 A B x x? ? ? ? ?或 -，AB?R ， 故选 B 【提示】 根据一元二次不等式的解法，求出集合 A， 再根据的定义求出 AB和 AB 【考点】 并集及其运算 ， 一元二次不等式的解法 2.【答案】 D 【解析】 解： 复数 z 满足 (3 4i) |4 3i|z? ? ? ， |4 + 3 i | 5 5 (
2、3 4 i ) 3 4 i3 4 i 3 4 i 2 5 5 5z ? ? ? ? ? ，故 z 的虚部等于 45 ，故选 D 【提示】 由题意可得 |4+3i | 53 4i 3 4iz ?，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 34i55? ，由此可得 z的虚部 【考点】 复数代数形式的乘除运算 ， 复数求模 3.【答案】 C 【解析】 解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大 了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理 故选 C 【提示】
3、 若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样 【考点】 分层抽样方法 4.【答案】 C 【解析】 解：已知双曲线 C： 22 1( 0 0 )xy abab? ? ? ?，的离心率为 52，故有 222+54aba ?， 22 14ba ?，解得12ba? 故 C 的渐近线方程为 12yx? ，故选 C 【提示】 由题意可得 222+54aba ?，由此求得 12ba? ，从而求得双曲线的渐近线方程 【考点】 双曲线的简单性质 【 ;百万教育资源文库 】 5.【答案】 A 【解析】 解：由判断框中的条件为 1t? ，可得： 函数分为两段，即 1t? 与 1t? ，又由满足条
4、件时函数的解析式为： 3st? ； 不满足条件时，即 1t? 时，函数的解析式为： 24s t t? 故分段函数的解析式为：2 1314ttt t ts ? ? ?， ， ，如果输入的 1,3t? ，画出此分段函数在 1,3t? 时的图象，则输出的 s 属于 3,4? ， 故选 A 【提示】 根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为 1t? 我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式 【考点】 程序框图 6.【答案】 A 【解析】 解：设正方体上底面所在平面截球得小圆 M，则圆心 M 为正方体上底面正方形的中心
5、如图 设球的半径为 R，根据题意得球心到上底面的距离等于 ( 2)R cm? ，而圆 M 的半径为 4，由球的截面圆性质，得 2 2 2( 2) +4RR? ，解出 5R? ， 根据球的体积公式，该球的体积 3 3 34 4 500 53 3 3V R c m? ? ? ? 故选 A 【提示】 设正方体上底面所在平面截球得小圆 M，可得圆心 M 为正方体上底面正方形的中心设球的半径为 R，根据题意得球心到上底面的距离等于 ( 2)R cm? ，而圆 M 的半径为 4，由球的截面圆性质建立关于 R的方程并解出 5R? ，用球的体积公式即可算出该球的体积 【考点】 球的体积和表面积 7.【答案】
6、C 【解析】 解： 1 2m m ma S S ? ? ?， +1 +1 3m m ma S S? ? ?，所以公差 +1 1mmd a a? ? ? ， 1( + ) 02 mm m a aS ?，得1 2a? ，所以 2+ ( 1) 1 2mam? ? ? ?，解得 5m? ，故选 C 【提示】 由 an与 Sn的关系可求得 +1ma 与 ma ，进而得到公差 d，由前 n 项和公式及 0mS? 可求得 a1，再由通项公式及 2ma? 可得 m 值 【考点】 等差数列的性质 ， 等差数列的前 n 项和 【 ;百万教育资源文库 】 8.【答案】 A 【解析】 解：三视图复原的几何体是一个长方
7、体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是： 4， 2， 2，半个圆柱的底面半径为 2，母线长为 4. 长方体的体积 4 2 2 16? ? ? ? ，半个圆柱的体积 21 2 482 ? ? ? ? ? 所以这个几何体的体积是 16+8 ； 故选 A 【提示】 三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积 【考点】 由三视图求面积、体积 9.【答案】 B 【解析】 解： m 为正整数，由 2( +)mxy 展开式的二项式系数的最大值为 a，以及二项式系数的性质可得2mmaC? ，同理，由 2 +1( +) mxy
8、展开式的二项式系数的最大值为 b，可得 21mmbC? 再由 13 7ab? ，可得 2 2 113 7mmCC? ，即 (2 ) (2 +1)13 7! ! ! ( +1)!mmm m m m? ? ? ，即 2 +113 7 +1mm? ，即 13( +1) 7(2 +1)mm? 解得 6m? ，故选 B 【提示】 根据二项式系数的性质求得 a 和 b，再利用组合数的计算公式，解方程 13 7ab? ， 求得 m 的值 【考点】 二项式定理的应用 ， 二项式系数的性质 10.【答案】 D 【 解析 】设 11(),Ax y ， 22(),Bx y ， A， B 在椭圆上， 22112222
9、221,1,xyabxyab? ? ?（步骤 1） ? ，得 1 2 1 2 1 2 1 222( =0x x x x y y y yab? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即 2 1 2 1 221 2 1 2=y y y yba x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，（步骤 2） AB 的中点为 (1, )1? ， 12+2yy? ， 12+2xx? ，（步骤 3） 【 ;百万教育资源文库 】 而 12120 ( 1) 1=3 1 2AByyxx k? ?， 22 1=2ba （步骤 4） 又 229ab?， 2 18a? ， 2 9b? . 椭圆 E 的方程为 22=
10、118 9xy? 故选 D（步骤 5） 【 提示 】利用点差法求解中点弦坐在直线的斜率， 结合 运算求解能力和转化意识 ， 即可得到答案 【 考点 】椭圆的标准方程，几何性质以及直线与椭圆的位置关系 11.【答案】 D 【解析】由 | ( )|y f x? 的图象知： 当 0x? 时， y ax? 只有 0a? 时，才能满足 | ( )|f x ax? ，可排除 B， C（步骤 1） 当 0x? 时， 22| ( ) | | +2 | 2y f x x x x x? ? （步骤 2） 故由 | ( )|f x ax? 得 2 2x x ax? ? 当 0x? 时，不等式为 00? 成立 当 0
11、x? 时，不等式等价于 2xa? （步骤 3） 22x? ? ， 2a? 综上可知： ,02a? （步骤 4） 第 11 题图 【 提示 】 由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数 | ( )| fxy? 的图象，和函数 y ax? 的图象，由导数求切线斜率可得 l 的斜率，进而数形结合可得 a 的范围 【 考点 】分段函数，函数图象的判断与应用 12.【答案】 B 【解析】 1 1 120b a c? ? ? 且 11bc? ? 1 1 12a c c? ? 11ac? 1 1 1 1 1 1 120b a a c a a c? ? ? ? ? ? ? ?1 1b a c? ?
12、? （步骤 1） 又 1 1 1b c a? 1 1 1 12a c c a? ? ? ? 112ca? 11 2ac? （步骤 2） 由题意，11 2nnnn bcb c a? ? ? ? 1 1 1 112 ( 2 )2n n n nb c a b c a? ? ? ? ? ?20n n nb c a? ? ? ? 20n n nb c a? ? ? ? 12nnb c a? ? ? （步骤 3） 【 ;百万教育资源文库 】 又由题意11 2nnnn cbbc? ? 11 1 1 12( 2 ) 2 nnn n na b bb a b a b? ? ? ? ? ? ?1 1 11 ()2n
13、nb a a b? ? ? ?11 1 1 1() 2nnb a b a? ? ? ? ?（步骤 4） 11 1 1 1() 2nnb a b a? ? ? ? ?， 11 1 1 1 12 ( ) 2nnnc a b a b a? ? ? ? ? ?112 1 1 1 11 1 1 1 1 1 13 3 3 311( ) ( )2 2 2 2 2 2nnn a a a aS a a b a a b a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?122211 1 131 ()4 4 4naa b a? ?
14、 ?单调递增（可证当 1n? 时 2 2111( ) 04a ba? ? ?） （步骤 5） 【 提示 】 由 1nnaa? ? 可知 n n nABC 的边 nnBC 为定值 1a ，由1 1 1 112 ( 2 )2n n n nb c a b c a? ? ? ?及 1 1 12b c a? 得12nnb c a? ，则在 n n nABC 中边长 1nnBC a? 为定值，另两边 n n n nAC AB、 的长度之和 12nnb c a? 为定值，由此可知顶点 nA 在以 nnBC、 为焦点的椭圆上，根据11 1 ()2n n n nb c b c? ? ?， 得 1111 ()2n
15、nnb c b c?，可知 n? 时 nnbc? ，据此可判断 n n nABC 的边 nnBC 的高 nh 随着 n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案 【 考点 】归纳推理 第 卷 二、填空题 13.【答案】 2t? 【解析】 (1 )c ta t b? ， 2(+1 ) | |bt bab t?（步骤 1） 又 | | | | 1ab?，且 a 与 b 夹角为 60? ， bc? ， 0 | c o s 6| 1| ( )0+ttab? ? ?， 10 +12tt? 2t? （步骤 2） 【 提示 】 由于 0bc? ，对式子 (1 )c ta t b? 两边与 b 作数量积可得
16、 0 | c o s 6| 1| ( )0+ab? ? ?，经过化简即可得出 【 考点 】平面向量的数量积 14.【答案】 1( 2)nna ? 【解析】 2133nnSa?， 当 2n? 时，112133nnSa? （步骤 1） ，得12233n n na a a ?，即1 2nnaa? ?（步骤 2） 【 ;百万教育资源文库 】 11 12133aaS? ?， 1 1a? na 是以 1 为首项， 2? 为公比的等比数列， 1( 2)nna ? （步骤 3） 【 提示 】 把 1n? 代入已知式子可得数列的首项，由 2n? 时， 1n n na S S ? ，可得数列为等比数列，且公比为
17、2? ，代入等比数列的通项公式可得答案 【 考点 】等比数列的概念，前 n 项和与通项公式的关系 15.【答案】 255?【解析】 125 s i n c o s5( ) s i n 2 c o s 5f x x xxx ? ? ? ?=，（步骤 1） 令 cos 15? ， sin 25? ? ，则 sin( ) ( )+fx x? ，（步骤 2） 当 2 + 2 ()x k k?Z- 时， sin()+x? 有最大值 1， ()fx有最大值 5 ，（步骤 3） 即 2 + 2 ()kk? ? ? Z，所以 2 2 5c o s 2 + c o s22c o s s i 55nk ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（步骤 4） 【 提示 】将三角函数进行化简求值 【 考点 】三角恒等变换，利用三角函数求最值 16.【答案】 16 【解析】由 ()fx图象关于直线 2x? 对称， 则 220 ( 1 ) ( 3 ) 1 ( 3 ) ( 3
