1、圆锥曲线大题全攻略系列课程圆锥曲线大题全攻略系列课程 1. 求轨迹方程问题 2. 圆锥曲线中的定点问题 3. 圆锥曲线中的定值问题 4. 圆锥曲线中的最值问题 5. 点差法解决中点弦问题 6. 常见几何关系的代数化方法 7. 圆锥曲线中的非对称“韦达定理”问题处理技巧 8. 圆锥曲线中的三点共线问题 9. 巧用曲线系方程解决圆锥曲线中的四点共圆问题 10. 抛物线中阿基米德三角形的常见性质及应用 11. 圆锥曲线中的双切线题型 圆锥曲线圆锥曲线中的求轨迹方程问题中的求轨迹方程问题 解题技巧解题技巧 求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型， 求轨迹方程的主要方法有直译法、 相关点法、
2、定义法、参数法等。它们的解题步骤分别如下： 1. 直译法求轨迹的步骤直译法求轨迹的步骤： （1）设求轨迹的点为);,(yxP （2）由已知条件建立关于yx,的方程； （3）化简整理。 2. 相关点法求轨迹的步骤：相关点法求轨迹的步骤： （1）设求轨迹的点为),(yxP，相关点为),( OO yxQ; （2）根据点的产生过程，找到),(yx与),( OO yx的关系，并将 OO yx ,用x和y表示； （3）将),( OO yx代入相关点的曲线，化简即得所求轨迹方程。 3. 定义法求轨迹方程：定义法求轨迹方程： （1）分析几何关系； （2）由曲线的定义直接得出轨迹方程。 4. 参数法求轨迹的步骤
3、：参数法求轨迹的步骤： （1）引入参数； （2）将求轨迹的点),(yx用参数表示； （3）消去参数； （4）研究范围。 【例 1.】已知平面上两定点),(),(2020NM点P满足,MNPNMNMP求点P的 轨迹方程。 【例 2.】已知点P在椭圆1 4 2 2 y x 上运动，过P作y轴的垂线，垂足为Q，点M满足 ,PQPM 3 1 求动点M的轨迹方程。 【例 3.】已知圆),(,)(:02362 22 ByxA点P是圆A上的动点，线段PB的中垂线交 PA于点Q，求动点Q的轨迹方程。 【例 4.】过点),( 10的直线l与椭圆1 4 2 2 y x相交于BA,两点，求AB中点M的轨迹方 程。
4、专题练习专题练习 1. 在平面直角坐标系xOy中，点,4010BA若直线02myx上存在点P,使得 ,PBPA 2 1 则实数m的取值范围为_. 2. 已知QP, 24 为圆4 22 yxO:上任意一点， 线段PQ的中点为,M则OM的取值 范围为_. 3. 抛物线xyC4 2 :的焦点为,F点A在抛物线上运动，点P满足,FAAP2则动点P的 轨迹方程为_. 4. 已知定圆,)(:1004 22 yxM定点),( 40F动圆P过定点F且与定圆M内切， 则动 圆圆心P的轨迹方程为_. 5. 已知定直线,:2xl定圆,)(:44 22 yxA动圆H与直线l相切，与定圆A外切， 则动圆圆心H的轨迹方程
5、为_. 6. 直线033tytxl :与抛物线xy4 2 的斜率为 1 的平行弦的中点轨迹有公共点， 则实数t的取值范围为_. 7. 抛物线yx4 2 的焦点为,F过点),(10 M作直线l交抛物线于BA,两点， 以BFAF,为 邻边作平行四边形,FARB求顶点R的轨迹方程。 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l与椭圆1 1224 22 yx C :相交于BA,两点， O为坐标原点。 （1）若直线l的方程为, 062 yx求OBOA的值； （2）若,12OBOA求线段AB的中点M的轨迹方程。 直线过定点问题直线过定点问题 解题技巧解题技巧 证明动直线在一定的条件下过定点是解析几何中
6、的一类重要题型,这类问题解题一般有两 种解法. 【法 1】设直线，求解参数，一般的解题步骤为： (1).设出直线的方程bkxy或tmyx； (2).通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,找到k和mb,和t的关系，或者解出tb, 的值； (3) 根据(2)中得出的结果,找出直线过的定点. 【法 2】求两点，猜定点，证向量共线。一般的解题步骤为： (1) .通过题干条件，求出直线上的两个点BA,的坐标(含参)； (2).取两个具体的参数值，求出对应的直线AB，并求出它们的交点P，该点即为直线过的 定点； (3)证明PA与PB共线，得出直线AB过定点P。 注：上面的两个解法中，解法 2 的计算量通
7、常要大一些，故一般首选解法 1.当解法 1 失效 或处理起来较为复杂时再考虑解法 2. 【例一】已知椭圆01 2 2 2 2 ba b y a x C :的半焦距为c，离心率为 2 1 ，左顶点A到直线 c a x 2 扥距离为 6，点QP,是椭圆上的两个动点。 （1）求椭圆C的方程； （2）若直线AQAP ,求证：直线PQ过定点R，并求出R点的坐标。 【例二.】已知一动圆经过点02,M,且在y轴上截得的弦长为 4，设该动圆圆心的轨迹为曲 线C。 （1）求曲线C的方程； （2）过点01,N任意作两条互相垂直的直线 21 ll ,，分别交曲线C于不同的两点BA,和 ED,设线段DEAB,的中点分
8、别为QP,. 求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标； 求PQ的最小值。 专题练习专题练习 1. 设椭圆 01 2 2 2 2 ba b y a x E :的右焦点到直线022 yx的距离为 3， 且过点 2 6 1,。 （1）求E的方程； （2）设椭圆E的左顶点是A，直线0 tmyxl :与椭圆E交于不同的两点NM,（均 不与A重合） ，且以MN为直径的圆过点A。试判断直线l是否过定点，若是，求出定点坐 标；若否，说明理由。 2. 椭圆 01 2 2 2 2 ba b y a x C :的上顶点为B，右焦点为F，点FB,都在直线 033 yx上。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）NM,
9、为椭圆C上的两点，且直线BNBM,的斜率之积为 4 1 ，证明：直线MN过定 点，并求定点坐标。 3. 抛物线 02 2 ppxyC :上一点 01 00 yyM,满足2 MF，其中F为抛物线 的焦点。 （1）求抛物线C的方程； （2）设直线MA和MB分别与抛物线C交于不同于M点的BA,两点，若MBMA ，证 明：直线AB过定点，并求此定点的坐标。 4. 已知直线l的方程为2 xy，点P是抛物线xy4 2 上距离直线l最近的点，点A是 抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线交 于点B。 （1）求P点的坐标； （2）证明：直线AB恒过定点，并求这个定点的坐
10、标。 圆锥曲线中的定值问题圆锥曲线中的定值问题 解题技巧解题技巧 1.在圆锥曲线问题中,定值问题是常考题型,解题的一般步骤为: （1）设出直线的方程bkxy或tmyx、点的坐标; （2）通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,将需要用到的所有中间结果(如弦长、距 离等)表示成直线方程中引入的变量，通过计算得出目标变量为定值 2.解析几何大题计算过程中经常用到弦长公式,下面给出常用的计算弦长的公式: (1)若直线AB的方程设为,),(, 2211 yxByxAmkxy则 a kxxxxkxxkAB 2 21 2 21 2 21 2 1411 (2)若直线AB的方程设为,),(, 2211 yxB
11、yxAtmyx,则 a myyyymyymAB 2 21 2 21 2 21 2 1411 注:其中a指的是将直线的方程代入圆锥曲线方程后,化简得出的关于x或y的一元二 次方程的平方项系数,指的是该方程的判别式.通常用 a kAB 2 1或 a mAB 2 1计算弦长较为简便 【例 1.】设抛物线,: 2 xyC直线l经过点）（ 0 , 2且与抛物线交于A、B两点，证 明：OBOA为定值。 【例2.】已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C的离心率为 AOBObBaA),0 , 0(),0),0 ,( 2 3 ，（，的面积为 1. （1）求椭圆C的方程； （2）设P为C上
12、一点，直线PA与y轴交于点,M直线PB与x轴交于点.N求证： BMAN 为定值。 专题练习专题练习 1. 已知椭圆 01 2 2 2 2 ba b y a x C :的离心率为 2 2 ，且过点 12,。 （1）求椭圆C的方程； （2）设P是椭圆C长轴上的动点， 过P作斜率为 2 2 的直线l交椭圆C于BA,两点， 求证： 22 PBPA 为定值。 2. 已知点 01,F，直线Pxl,:1 为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q， 且FQFPQFQP 。 （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点F的直线交轨迹C与BA,两点，交l于点M，若BFMBAFMA 21 ,， 求 21 的值。
13、 3.已知抛物线pxyC2 2 :经过点 21,P过点 10,Q的直线l与抛物线C有两个不同的交 点BA,，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N。 （1）求直线l的斜率的取值范围； （2）设O为原点，QOQNQOQM ,，求证： 11 为定值。 4.已知椭圆 01 2 2 2 2 ba b y a x E :的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3 个 顶点，直线3 xyl :与椭圆E有且只有一个公共点T。 （1）求椭圆E的方程及点T的坐标； （2）设O为坐标原点，直线 l 平行于OT，与椭圆E交于不同的两点BA,，且与直线l交 于点P，证明：存在常数，使得PBPAPT 2 ，并求的值
14、。 5.在平面直角坐标系xOy中， 椭圆 01 2 2 2 2 ba b y a x C :过点 2 3 1,， 右焦点为 01,F， 过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于BA,两点，点B关于原点的对称点为P，直 线PBPA,分别交直线4 x于NM,两点。 （1）求椭圆C的方程； （2）若B的坐标为 5 33 5 8 ,，求直线PA的方程； （3）记NM,两点的纵坐标分别为 NM yy,，问： NMy y是不是定值？ 6.过抛物线xy4 2 上一定点 222,P作两条直线分别交抛物线于不与P重合的 2211 yxByxA,两点。 （1）求该抛物线上纵坐标为 1 的点到其焦点的距离d； （2
15、）当PA与PB的倾斜角互补时，证明直线AB的斜率为非零的常 数，并求出此常数。 圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题 解题技巧解题技巧 求最值(范围)问题是圆锥曲线常考题型,这类题解题的一般步骤是： (1)设出直线的方程bkxy或tmyx、点的坐标； (2)将直线的方程代入圆锥曲线中,计算弦长、点到直线的距离等中间量； (3)将求范围的目标量表示成直线中引入的参数的函数关系式; (4)运用函数、均值不等式等基本方法求出最值(范围). 【例 1.】已知点),2, 0( A椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x E的离线率为F， 2 3 是椭圆 的焦点，直线AF的斜率为O， 3
16、 32 为坐标原点。 （1）求E方程； （2）设过点A的直线l与E相交于QP,两点，当OPQ的面积最大时，求l的方 程。 专题练习专题练习 1. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 BA, 10 点在直线3 y上，M点满足 MBAMBABMAOAMB,/ 点的轨迹为曲线C。 （1）求C的方程； （2）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值。 2. 已知椭圆 01 3 2 2 2 a y a x M :的一个焦点为 01, F，左、右顶点分别为BA,经 过点F的直线l与椭圆M交于DC,两点。 （1）求椭圆的方程； （2）记ABD与ABC的面积分别为 1 S和 2 S，求 21
17、 SS 的最大值。 3. 已知抛物线 02 2 ppyxC :， 过其焦点作斜率为 1 的直线l与C交于NM,两点， 16 MN。 （1）求抛物线C的方程； （2）已知动圆P的圆心在C上，且过定点 40,D，若动圆P与x轴交于BA,两点， DBDA ，求 DB DA 的最小值。 4. 已知椭圆 01 2 2 2 2 ba b y a x C :的左、右焦点分别为 21 FF ,，左顶点为A，离心 率为 2 2 ，点B是椭圆上的动点， 1 ABF面积的最大值为 2 12 。 （1）求椭圆C的方程； （2）设经过点的直线 1 F的直线l与椭圆C相交于不同的两点NM,，线段MN的中垂 线为 l ，若
18、直线 l 与l相交于点P，与直线2 x相交于点Q，求 MN PQ 的最小值。 5. 设圆0152 22 xyx的圆心为A，直线l过点 01,B且与x轴不重合，l交圆A 于DC,两点，过B作AC的平行线交AD于点E。 （1）证明EBEA 为定值，并写出点E的轨迹方程； （2）设点E的轨迹为曲线 1 C， 直线l交 1 C于NM,两点， 过B且与l垂直的直线与圆A 交于QP,两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。 6. 已知椭圆1 4 2 2 y x G:， 过点 0 ,m作圆1 22 yx的切线l交椭圆G与BA,两点。 （1）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （2）将AB表示为m的函数，并求AB的最
19、大值。 7. 如图，已知点 01,F为抛物线 02 2 ppyy的焦点，过F的 直线交抛物线与BA,两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G 在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧，记 CQGAFG ,的面积分别为 21 SS ,。 （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求 2 1 S S 的最小值及此时点G的坐标。 常见几何关系的代数化方法常见几何关系的代数化方法 解题技巧解题技巧 解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题，因此，积累一些 常见的几何关系的代数化方法是有必要的， 本专题归纳了一些常见的 几何关系的处理方法： （1）以 AB 为直径的圆过点0PBPAP; （2）
20、点 P 在以 AB 为直径的圆内0PBPA; （3）点 P 在以 AB 为直径的圆外0PBPA; （4）四边形 PQRS 为平行四边形对角线 PR 与 QS 互相平分; （5）四边形 PQRS 为菱形对角线 PR 与 QS 互相垂直平分； （6）四边形 PQRS 为矩形对角线 PR 与 QS 互相平分且相等； （7）0ABPMPBPA,其中 M 为 AB 的中点； （8）直线 AB 与直线 MN 关于水平线或竖直线对称0 MNAB kk; （9）F 为PQM的垂心0QMPF 、 0PMQF 且 0PQMF . 【例一】已知圆 C：121 2 2 yx及点 F（1，0） ，点 P 在圆上，M,N
21、 分别为 PF， PC 上的点，且满足0PFMNMFPM,. （1）求 N 的轨迹 W 的方程； （2）是否存在过点 F（1，0）的直线l与曲线 W 相交于 A,B 两点，并且与曲线 W 上一点 Q，使得四边形 OAQB 为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存 在，说明理由。 【例二】在直角坐标系xOy中，曲线 4 2 x yC:与直线)(:0aakxyl交于 M,N 两点。 （1）当0k时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （2）在y轴上是否存在点 P， 使得当 k 变动时， 总有?OPNOPM说明理由。 专题练习专题练习 1. 已知 A,B,C 是椭圆1 4 2 2 y
22、 x W :上的三个点，O是坐标原点。 （1）当点 B 是 W 的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积； （2）当点 B 不是 W 的顶点，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由； 2. 已知椭圆01 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点为F,上顶点为OM,为坐标原点，若 OMF的面积为 2 1 ，且椭圆的离心率为 2 2 。 （1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线l交椭圆于QP,两点，且F点恰为PQM的垂心？若存在， 求出直线l的方程；若不存在，说明理由。 3. 直 线,:08 yxl圆,:36 22 yxO其 中O是 坐 标 原 点 ， 椭 圆 01 2 2
23、2 2 ba b y a x 的离心率为, 2 3 e直线l被圆O截得的弦长与椭圆C的长轴 长相等。 （1）求椭圆C的方程； （2）过点（3，0）的直线 l 与椭圆C交于BA,两点，设.OBOAOS是否存在 直线 l ，使?ABOS 若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由。 4. 设 21 FF ,分别是椭圆01 2 2 2 2 ba b y a x E :的左、右焦点，过 1 F作斜率为 1 的 直线l与E相交于BA,两点，且 22 BFABAF,成等差数列。 （1）求椭圆E的离心率； （2）设点),(10 P满足,PBPA 求E的方程。 5. 已知椭圆),(:09 222 mmy
24、xC直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C 有两个交点BA,，线段AB的中点为M. （1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （2）若l过点 m m , 3 ，延长线段OM与C交于点P四边形OAPB能否为平行四 边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。 6. 设BA,分别为椭圆01 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦 距，且过点., 2 6 2 （1）求椭圆的方程； （2）设P为直线4x上不同于点（4，0）的任意一点，若直线BPAP,分别与 椭圆相交于异于BA,的点NM,证明：点B在以MN为直径的圆内。 点差法解决中点弦问题点差法解决中点
25、弦问题 解析技巧解析技巧 设直线与圆锥曲线交于BA,两点，AB中点为M，这类与圆锥曲线的弦和弦中点有关 的问题，一般叫做中点弦问题，点差法是解决中点弦问题的重要方法。其解题的一般步 骤是： （1）设BA,两点的坐标分别为 11 yxA,、 22 yxB,； （2）代入圆锥曲线的方程； （3）将所得方程作差， 结合中点公式 2 2 21 21 yx x yy y M M 、 斜率公式 21 21 xx yy kAB 等化简， 得出结果。 【例一】已知双曲线1 4 2 2 y x C :，点 14,P是双曲线一条弦的中点，则该弦所在直 线的方程为_. 【例二】已知椭圆1 2 2 2 y x 上两个
26、不同的点BA,关于直线 2 1 mxy对称，求实数 m的取值范围。 专题练习专题练习 1. 过椭圆1 416 22 yx 内一点 12,M引一条弦AB，使弦AB被M点平分，则直线AB 的方程为_. 2. 已知抛物线xyC6 2 :， 过点 14,P引抛物线C的一条弦AB， 使该弦被P点平分， 则这条弦所在直线的方程为_. 3. 已知抛物线C的顶点在原点， 准线方程为1 x， 直线l与抛物线C交于NM,两点， 线段MN的中点为 11,，则直线l的方程为_. 4. 椭圆364 22 yx的弦AB被点 24,平分，则直线AB的方程为_. 5. 已知抛物线 02 2 ppxyC :的焦点为F，过点 1
27、2,R的直线l与抛物线C交于 BA,两点，且5 FBFARBRA,，则直线l的斜率为 （ ） 2 3 .A 1 .B 2 .C 2 1 .D 6. 椭圆1 24 22 yx C :的斜率为 3 的弦AB的中点M的轨迹方程为_. 7. 抛物线xyC 2 :上存在不同的两点BA,关于直线 3 xmyl :对称， 则实数m的 取值范围为_. 8. 已知椭圆 09 222 mmyxC :， 直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有 两个交点BA,，线段AB的中点为M。证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定 值。 9.已知双曲线1 2 2 2 y x， 是否存在过点 11,P的直线l与双曲线交于BA
28、,两点， 且P恰 为AB的中点？ 10.已知椭圆 01 2 2 2 2 ba b y a x E :的半焦距为c，原点O到经 过两点 bc,00的直线的距离为 2 c 。 （1）求椭圆E的离心率； （2）如图，AB是圆 2 5 12 22 yxM :的一条直径，若椭圆E经过BA,两点， 求椭圆E的方程。 圆锥曲线中的非对称韦达定理问题处理技巧圆锥曲线中的非对称韦达定理问题处理技巧 解析技巧解析技巧 在圆锥曲线问题中， 将直线的方程与圆锥曲线方程联立， 消去x或y， 得到关键方程 （不 妨设方程的两根为 1 x和 2 x），结合韦达定理来进行其他的运算是常见的解题方法。能 够利用韦达定理计算的量
29、一般有 21 21 2 2 2 12121 11 xx xxxxxxxx ,等，但在某些 问题中，可能会涉及需计算两根系数不相同的代数式，例如，运算过程中出现了 2121 322xxxx ,等结构， 且无法直线通过合并同类项化为系数相同的情况处理，像这 种非对称的韦达定理结构，通常是无法根据韦达定理直接求出的，那么一般的处理方法 是局部计算、整体约分。需要通过适当的配凑，将分子和分母这种非对称的结构凑成一 致的，剩下的一般可以转化为对称的韦达定理加以计算，最后通过计算，发现分子、分 母可以整体约分，从而解决问题。下面通过几个例题来详细介绍这类的解题方法。 1. 平面内有两定点),1 , 0()
30、,1, 0(BA曲线C上任意一点),(yxM都满足直线AM与直线 BM的斜率之积为, 2 1 过点)0 , 1 (F的直线l与椭圆交于DC,两点，并与y轴交于点P, 直线AC与BD交于点.Q （1）求曲线C的轨迹方程； （2）当点P异于BA,两点时，求证：OQOP为定值。 【例 1.】已知椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C过点），（2 ,2P且离心率为. 2 2 （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的上、 下顶点分别为,BA过点）（ 4 , 0斜率为k的直线与椭圆C交于NM, 两点。求证：直线BM与AN的交点G在定直线上。 【例 2.】 椭圆有两个顶点),0 , 1
31、(),0 , 1(BA 过其焦点) 1 , 0(F的直线l与椭圆交于DC,两点， 并与x轴交于点P,直线AC与BD交于点Q. （1）当 2 23 CD时，求直线l的方程； （2）当P点异于BA,两点时，证明：OQOP为定值。 专题练习专题练习 1. 已知BA,分别是椭圆1 2 2 2 y x 的右顶点和上顶点，DC,在椭圆上， 且ABCD/， 设直线BDAC,的斜率分别为 1 k和 2 k，证明： 21k k为定值。 2. 已知椭圆 01 2 2 2 2 ba b y a x C :的左、右焦点分别为 NMcFcF,00 21 分 别为左、 右顶点， 直线1 tyxl :与椭圆C交于BA,两点
32、， 当 3 3 t时，A是椭圆C 的上顶点，且 21F AF的周长为 6. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线BNAM,交于点T，求证：点T的横坐标 T x为定值。 3.已知F为椭圆1 34 22 yx 的右焦点，BA,分别为其左、右顶点，过F作直线l交椭 圆于不与BA,重合的NM,两点，设直线BNAM,的斜率分别为 1 k和 2 k，求证： 2 1 k k 为 定值。 圆锥曲线中的三点共线问题圆锥曲线中的三点共线问题 解题技巧解题技巧 平面解析几何中三点共线相关问题 三点共线问题是高考的热点问题，大题小题都有涉及。这类题处理的方法一般来说有两个： 斜率相等；向量共线。 证明三点共线问题的解
33、题步骤： （1）求出要证明共线的三点的坐标； （如果已给出，则无需这一步） （2）运用斜率相等或向量共线来证明三点共线。 特别提醒：三点共线问题的两个处理方法中，向量共线往往更方便，因为无需考虑斜率不存 在的情形，所以大题一般用向量共线，小题用斜率相等。 【例 1.】抛物线)(:0 2 1 2 1 px p yC的焦点与双曲线1 3 2 2 2 y x C :的右焦点的连线交 1 C于第一象限的点M， 若 1 C在点M处的切线平行于 2 C的一条渐近线， 则p（ ） 6 3 .A 8 3 .B 3 32 .C 3 34 .D 【例 2.】已知抛物线xy4 2 的焦点为F，过F的直线交抛物线于B
34、A,两点，设AB中点 为MBAM,在抛物线的准线上的射影分别为.,NDC （1）求直线FN与直线AB所成的夹角的大小； （2）证明：COB,三点共线。 专题习题专题习题 1. 抛物线yxC 3 8 2 1 :的焦点F与双曲线)(:01 3 2 22 2 b b yx C的右焦点T的连线交 1 C于第一象限的点M，若 1 C在点M处的切线平行于 2 C的一条渐近线，则b（ ） 2 .A 3.B 2.C 1 .D 2. 已知椭圆1 45 22 yx 的右焦点为F，设直线5xl:与x轴的交点为E，过点F的直 线 1 l与椭圆交于BA,两点，M为线段EF的中点。 （1）若直线 1 l的倾斜角为45，求
35、ABM的面积S； （2）过点B作直线lBN 与点N,证明：NMA,三点共线。 3. 已知椭圆)(:01 2 2 2 2 ba b y a x E的右焦点为F，椭圆的上顶点和两焦点的连线构成 一个等边三角形，且面积为.3 （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线)(:0mqmyxl与椭圆E交于不同的两点BA,，设点A关于椭圆长轴的 对称点为 1 A,试求BFA, 1 三点共线的充要条件。 4. 已知椭圆)(:01 2 2 2 2 ba b y a x M的离心率为, 3 6 焦距为.22斜率为k的直线l与 椭圆M有两个不同的交点BA,。 （1）求椭圆M的方程； （2）若, 1k求AB的最大值；
36、（3）设),(02P直线PA与椭圆M的另一个交点为,C直线PB与椭圆M的另一个交点 为,D若DC,和点),( 4 1 4 7 Q共线，求. k 5. 已知曲线)()()(:RmymxmC825 22 . （1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围； （2）设, 4m曲线C与y轴的交点分别为BA,（点A位于点B的上方） ，直线4 kxy 与曲线C交于不同的两点,NM直线1y与直线BM交于点,G求证：NGA,三点共线。 6. 已知两个定点 0101,NM ，动点P满足PNPM2 。 （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点M的直线l与曲线C交于不同的两点BA,，设点A关于x轴的对称点为Q
37、 （QA,两点不重合） ，证明：QNB,三点在同一直线上。 巧用曲线系方程解决圆锥曲线中的四点共圆问题巧用曲线系方程解决圆锥曲线中的四点共圆问题 解题技巧 圆锥曲线中的四点共圆问题在高考中是一大难点， 应用曲线系方程可以很好地解决这类问题。 1. 曲线系方程：设0),(yxf和0),(yxg分别表示平面上的两条曲线，则经过两曲线 交点的曲线系方程可以为.),(),(0yxgyxf 2. 高考中常见的四点共圆问题是两条直线与圆锥曲线交于不同的四点，判断四点是否在同 一圆上，如果是，需求出圆的方程。应用曲线系方程求解这类四点共圆问题的解题步骤是： （1）设经过圆锥曲线和两直线交点的曲线系方程为.)
38、,(),(0yxgyxf，其中 0),(yxf表示圆锥曲线方程，0),(yxg表示两直线构成的曲线的方程； （2）将.),(),(0yxgyxf展 开 ， 合 并 同 类 项 ， 与 圆 的 一 般 方 程 0 22 FEyDxyx比较系数，求出的值； （3）将反代回方程.),(),(0yxgyxf的展开式，化为圆的标准方程，从而得出四点 共圆且求出了圆的方程。 3. 圆锥曲线中四点共圆问题的结论：设两条直线和圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交 于四点，则四个交点在同一个圆上的充要条件是两直线的倾斜角互补。 【例 1.】已知抛物线xyC4 2 :的焦点为F,经过点F且斜率为 1 的直线l与抛物
39、线C交 于BA,两点，线段AB的中垂线和抛物线C交于NM,两点，证明NMBA,四点共圆， 并求出该圆的方程。 【例 2.】设椭圆1 2 2 2 y x E :的右焦点为F，经过点F且斜率为k的直线l与椭圆C交 于BA,两点，直线xy2与椭圆E交于DC,两点，若DCBA,四点共圆，求k的值以及 该圆的方程。 【例 3.】已知QT),(03是圆163 22 yxP)( :上一动点，线段QT的中垂线与直线 PQ交于点S. （1）求动点S的轨迹的E方程； （2）过点01,且斜率为2的直线 1 l与轨迹E交于BA,两点， 过原点且斜率为-2的直线 2 l与 轨迹E交于NM,两点，判断NMBA,四点是否在
40、同一圆上，若是，求出圆的方程。 专题练习专题练习 1. 已知抛物线xyE8 2 :的焦点为,F过F作两条互相垂直的直线分别与抛物线E交于 CA,和.,DB问：DCBA,四点是否共圆？若是，求出圆的方程；若不是，说明理由。 2. 已知双曲线001 2 2 2 2 ba b y a x C,:的一条渐近线方程为, 023 yx且过点 .,34 （1）求双曲线C的方程； （2）斜率为 2 1 的直线 1 l过点01,且与双曲线C交于BA,两点，斜率为k的直线 2 l过原 点且与双曲线C交于NM,两点，若NMBA,四点是否在同一圆上，求k的值及该圆的 方程。 3. 已知抛物线)(:02 2 ppxyC
41、的焦点为F,直线4y与y轴的交点为,P与C的交 点为,Q且.PQQF 4 5 （1）求C的方程； （2）过F的直线l与C相交于BA,两点，若AB的垂直平分线与C相交于NM,两点，且 NBMA,四点在同一圆上，求l的方程。 抛物线中的阿基米德三角形抛物线中的阿基米德三角形 解题技巧解题技巧 阿基米德三角形：如图，抛物线的一条弦以及弦端点处的两条切线所围成的三角形，叫做抛 物线中的阿基米德三角形。下面给出阿基米德三角形的一些常见性质。 如图，不妨设抛物线为 02 2 ppyx，抛物线上BA,两点处的切线交于点P，则 （1）设AB中点为M，则PM平行（或重合）于抛物线的对称轴； （2）PM的中点S在
42、抛物线上，且抛物线在S处的切线平行于弦AB； （3）若弦AB过抛物线内的定点Q，则点P的轨迹是直线；特别地，若弦AB过定点 00 mm,，则点P的轨迹是直线my ； （4）若弦AB过抛物线内的定点Q，则以Q为中点的弦与（3）中P点的轨迹平行； （5）若直线l与抛物线没有交点，点P在直线l上运动，则以P为顶点的阿基米德三角形 的底边过定点； （6）若AB过焦点F，则P点的轨迹为抛物线准线，,ABPFPBPA 且PAB面积 的最小值为 2 p； （7）PFBPFA ； （8） 2 PFBFAF 。 很多高考试题都以阿基米德三角形为背景命制， 熟悉这些性质对解题是有必要的， 下面通过 实例来证明上面
43、的部分结论。 【例一】已知抛物线yxC4 2 :的焦点为F，抛物线上BA,两点处的切线交于点P，AB 中点为M。 （1）证明：xPM 轴； （2）设PM的中点为S，证明：S在抛物线上，且抛物线在S处的切线平行于直线AB； （3）证明：PFBPFA ； （4）证明： 2 PFBFAF （5）若AB过点 11,Q，求点P的轨迹E的方程；当Q恰为AB中点时，判断AB与轨迹 E的位置关系； （6）若AB过点F，求点P的轨迹方程，并证明,ABPFPBPA 求出PAB面积的 最小值。 【例二】已知抛物线yxC4 2 :的焦点为F，点P是直线2 xyl :上的动点，过P作 抛物线的两条切线，切点分别为A和B
44、，证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标。 专题练习专题练习 1. 已知点 11, M和抛物线xyC4 2 :， 过C的焦点F且斜率为k的直线与C交于BA, 两点，若 90AMB，则 k_. 2. 已知抛物线yx4 2 的焦点为F，BA,是抛物线上两动点，且 0 FBAF，过 BA,两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，则ABFM 的值（ ） .A大于 0 .B等于 0 .C小于 0 .D无法判断 3. 已知抛物线xy4 2 的焦点为F，点M为直线2 x上的一动点，过点M向抛物线 xy4 2 作切线，切点为CB,，以点F为圆心的圆恰与直线BC相切，则该圆面积的取值 范围为（ ） ,. 0A ,
45、. 0B 40,.C 40,.D 4. 已知抛物线xyC4 2 :与点 11, M，过抛物线C的焦点F且斜率为k的直线与C交 于BA,两点，若0 MBMA，则 k（ ） 2 .A 2 3 .B 1 .C 4 .D 5. 已知F为抛物线yxC4 2 :的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A和 B，抛物线C在BA,两点处的切线交于点P，设mAB ，则PF的值为_.（结 果用 m 表示） 6. 已知F为抛物线yxC4 2 :的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A和 B，抛物线C在BA,两点处的切线交于点P，则 AB PF 32 的最小值为_. 7. 已知抛物线yx4 2 的焦点为
46、F，BA,是抛物线上的两动点，且 0 FBAF， 过BA,两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。 （1）证明：ABFM 为定值； （2）设ABM的面积为S，写出 fS 的表达式，并求S的最小值。 圆锥曲线中的双切线题型圆锥曲线中的双切线题型 解题技巧解题技巧 过圆锥曲线外一点P，作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称 之为双切线问题。这类问题一般的处理步骤是： （1）设切线的斜率为k，写出切线的方程； （2）将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程； （3）由（2）中方程满足判别式0 ，建立关于k的一元二次方程，两切线的 斜率 21 kk ,为方程的两根； （4）结合韦达定理
47、，计算 2121 kkkk, 等，并将之用于其他量的计算。 【例一】 设椭圆 01 2 2 2 2 ba b y a x E :的左、 右焦点分别为 21 FF ,， 其离心率 2 1 e， 且点 2 F到直线1 b y a x 的距离为 7 21 。 （1）求椭圆E的方程； （2）设点 00 yxP,是椭圆E上一点 1 0 x， 过点P作圆 11 22 yx的两条切线， 切线与y轴交于BA,两点，求AB的取值范围。 专题练习专题练习 1. 已知椭圆 01 2 2 2 2 ba b y a x C :的一个焦点为 05,，离心率为 3 5 。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若动点 00 y
48、xP,为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的 轨迹方程。 2. 设椭圆 2 3 32 1 4 2 2 2 2 b b yx C :，动圆 3 4 2 0 2 0 yyxxP:，其中 00 yxP,是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，过原点O作两条射线与圆P相切， 分别交椭圆于NM,两点，且切线长的最小值为 3 6 。 （1）求椭圆C的方程； （2）求证：MON的面积为定值。 3. 已知圆1 22 yxO:和抛物线OxyE,:2 2 为坐标原点。 （1）若直线l与圆O相切， 与抛物线E交于NM,两点， 且满足ONOM ， 求直线l的 方程； （2）过抛物线E上一点 00 yxP,作两条直线PRPQ,与圆O相切，且分别交抛物线E 交于RQ,两点，若直线QR的斜率为3 ，求点P的坐标。 4. 已知圆 MFyxC,:01161 22 是圆C上的一个动点， 线段MF的垂直平分 线与线段MC相交于点P。 （1）求动点P的轨迹方程； （2）记P点的轨迹为BAC, 1 是直线2 x上的两点，满足BFAF ，曲线 1 C的过 点BA,的两条切线（异于2 x）交于点Q，求四边形AQBF的面积的取值范围。
